1、3从速度的倍数到向量的数乘3.1向量的数乘运算学 习 目 标核 心 素 养1.掌握向量数乘的运算及其运算律(重点)2理解数乘向量的几何意义(重点)1.通过向量数乘概念的学习，培养数学抽象素养；2通过向量数乘的运算及其运算律的应用，培养数学运算素养.1数乘运算的定义(1)实数与向量a的乘积是一个向量，记作a.(2)|a|a|.(3)方向：a的方向(4)几何意义：当0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|倍；当0，2a的方向与a的方向相同(2)假命题|2a|a|2|a|3a|.(3)真命题.1.(4)真命题ab与ab是一对相反向量，且(ab)ab，ab与ab是一对相反向量对数乘向量的
2、三点说明(1)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.(2)当0或a0时，a0.反之，也成立，(3)数乘向量的运算不满足消去律.1已知R，a0，则在下列各命题中，正确的命题有()当0时，a与a的方向一定相同；当0时，a与a的方向一定相反；当a与a的方向相同时，0；当a与a的方向相反时，0.A1个B2个C3个D4个D由与向量a的积a的方向规定，易知正确向量的线性运算【例2】计算下列各式：(1)2(ab)3(ab)；(2)3(a2bc)(2ab3c)；(3)2.解(1)原式2a3a2b3ba5b；(2)原式3a6b3c2ab3ca7b6c；(3)原式ababab0.1向量的
3、数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”，但这里的“同类项”指向量，实数看作是向量的系数2对于线性运算，把握运算顺序为：正用分配律去括号逆用分配律合并2(1)化简；(2)设向量a3i2j，b2ij，求(2ba)解(1)原式ab；(2)原式abab2baabab(3i2j)(2ij)iji5j.向量线性运算的应用探究问题1若D是ABC的边BC的中点，如何用，表示？提示：由三角形法则知，两式相加得2，所以.2在ABC中，若，则D是否是ABC的边BC的中点？提示：设D是边BC的中点，则，又，则，所以D与D重合，所以D是边BC的中点【例3】已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的
4、中点求证：()证明取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图E为AD的中点，.F是BC的中点，()又，()().()()用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程3在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点求证：.证明D为AB的中点，.E是AC的中点，.1实数与向量a可作数乘，但实数不能与向量a进行加、减运算，如a，a都是无意义的还必须明确a是一个向量，的符号与a的方向相关，|的大小与a的模有关2利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理
5、，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)若a0则0()(2)对于非零向量a，向量2a与向量a方向相反()(3)当a是非零向量，a是与向量a反向的单位向量()答案(1)(2)(3)2设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于()ABCDC()2.3若2(cb3x)b0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x_.abc据向量的加法、减法整理、运算可得xabc.4已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由(1)2a的方向与3a的方向相反，且2a的模是3a模的倍；(2)ab与ba是一对相反向量解(1)真命题2a与a同方向，3a与a同方向，由于a与a反方向，故2a与3a反方向，又|2a|2|a|，|3a|3|a|，所以2a的模是3a模的倍(2)真命题ba(ab)，ab与ba是一对相反向量
