1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。11.3空间中的平行关系11.3.1平行直线与异面直线必备知识自主学习一、平行直线1.空间平行线的传递性2.等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.(1)在等角定理中如果去掉方向相同,这两个角还相等吗?提示:可能相等,也可能互补,只有这两种情况.(2)等角定理有什么作用?提示:可以证明两个角相等.二、异面直线1.定义空间中既不平行也不相交的直线.2.画法3.异面直线的一种判断方法与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点
2、的直线异面.(1)空间中两条不相交的直线是异面直线吗?提示:不一定.空间中不相交的直线可能是异面直线,也可能是平行直线.(2)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗?提示:不一定. 可能平行、相交或异面.三、空间四边形1.空间四边形的定义顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形.其中4个点都是空间四边形的顶点.2.空间四边形的对角线连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线.(1)空间四边形与四面体是一回事吗?提示:不是一回事.空间四边形可以看成由一个四面体的四条棱构成的图形,空间四边形不是四面体.(2)梯形是空间四边形吗?提示:不是.因为梯形是一个平面图形,它的四个顶点在一个平面
3、上,所以它不是空间四边形.1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.()(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.()(3)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c是异面直线.()提示:(1).没有公共点的两条直线是平行直线或异面直线.(2).在空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,例如在长方体ABCD-ABCD中,AB,AD都与棱AA垂直,但是这两条直线相交. (3).若a,b是异面直线,a,c是异面直线,那么b,c可以平行,可以相交,可以异面.2.已知ABPQ,BCQR,若ABC=30,则PQR等于()A.30B.30或150C.150D.以上结
4、论都不对【解析】选B.因为ABPQ,BCQR,所以PQR与ABC相等或互补.因为ABC=30,所以PQR=30或150.3.(教材二次开发:例题改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为AA1,CC1的中点,则四边形D1PBQ是()A.正方形B.菱形C.矩形D.空间四边形【解析】选B.设正方体的棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为,又四边形D1PBQ是平行四边形,所以四边形D1PBQ是菱形.4.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段C1D,BC的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是_.【解析】直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF平面A
5、1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.答案:相交关键能力合作学习类型一两直线的平行(逻辑推理、直观想象)【典例】1.在如图所示三棱台中,平行的直线有几对?2.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,BAD=FAB=90,BCAD,BEFA,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)判断C,D,F,E四点是否共面?为什么?【思路导引】1.平行直线是在一个平面内没有公共点的直线,可在三个侧面中寻找.2. (1)证明四边形BCHG的一组对边平行且相等.(2)只需证明C,H,F,E四点共面,即可推出C,D,F,E四点共面.【解析】1.由题知三棱台中平行的直
6、线:ABA1B1,BCB1C1,ACA1C1,共有三对.2.(1)由已知FG=GA,FH=HD,可得GHAD.又BCAD,所以GHBC,所以四边形BCHG为平行四边形.(2)共面.理由:由BEAF,G为FA的中点知,BEFG,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EFBG.由(1)知BGCH,所以EFCH,所以EF与CH共面.又DFH,所以C,D,F,E四点共面.证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法.三角形中位线、平行四边形的性质等.(2)定义法.用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点.(3)空间平行线的传递性.用空间平
7、行线的传递性证明两条直线平行,只需找到直线b,使得ab,同时bc,由空间平行线的传递性即可得到ac.1.(2020佛山高一检测)已知正三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2,D为CC1的中点.(1)求多面体ABD-A1B1C1的体积;(2)设A1C与AD的交点为E,B1C与BD的交点为F,求证:A1B1EF.【解析】(1)多面体ABD-A1B1C1的体积等于三棱柱ABC-A1B1C1的体积减去三棱锥D-ABC的体积,即222-221=2-=.(2)在正方形ACC1A1中,=,在正方形BCC1B1中,=.所以=,所以在三角形DAB中,有EFAB,由于ABA1B1,所以A1B1EF.2.在梯形
8、ABCD中,ABCD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面DCEF沿EF翻折起来,使CD到CD的位置,G,H分别为AD和BC的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.【证明】因为在梯形ABCD中,ABCD,E,F分别为BC,AD的中点,所以EFAB且EF=(AB+CD),又CDEF,EFAB,所以CDAB.因为G,H分别为AD,BC的中点,所以GHAB且GH=(AB+CD)=(AB+CD),所以GHEF,所以四边形EFGH为平行四边形.类型二异面直线的定义及应用(逻辑推理、直观想象)【典例】1.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:ABEF;EF与MN是
9、异面直线;MNCD.其中,正确结论的序号是()A.B.C.D.2.已知a,b,c是三条直线,且a与b异面,b与c异面,试判断a与c的位置关系,并画图说明.【思路导引】1.将正方体表面的展开图还原成正方体,在正方体中可以直观作出判断.2.选择恰当的平面作为衬托,画出可能出现的情况.【解析】1.选A.把正方体的平面展开图还原到原来的正方体如图所示,ABEF,EF与MN是异面直线,MNCD,只有正确.2.直线a与c的位置关系有三种,如图所示.直线a与c可能平行(如图所示),也可能相交(如图所示),还可能异面(如图所示). 1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、
10、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.2.判定两条直线是异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交.(2)利用结论:与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.1.如图,a,b是异面直线,A,Ba,C,Db,E,F分别是线段AC和BD的中点,判断EF和a,EF和b的位置关系,并证明你的结论.【解析】假设EF和a共面,设这个平面为,则EF ,a.所以A,B,E,F,所以BF,AE.又因为CAE,DBF,所以C,D.于是b.从而a,b共面于,这与题设条件a,b是异面直线相矛盾.所以EF和a共面的假设不成
11、立,所以EF和a是异面直线.同理可得EF和b也是异面直线.2.如图所示,已知=a,b,ab=A,且c,ca.求证:b,c为异面直线.【证明】假设b,c不是异面直线,则b,c一定相交或平行.若b,c相交于一点P,b,c,又=a,则Pb,且Pc,所以交点P一定在,的交线上,即Pa,所以ac=P,这与已知ac矛盾,故b,c不可能相交.若bc,又已知ac,则ab,这与已知条件ab=A矛盾,故b,c不可能平行.综上可知b,c为异面直线.类型三等角定理的应用(逻辑推理、直观想象)【典例】在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.求证:(
12、1)四边形EFF1E1为平行四边形.(2)EA1F=E1CF1.【思路导引】(1)欲证四边形EFF1E1为平行四边形可证其一组对边平行且相等.(2)可结合(1)利用等角定理证明.【证明】(1)连接BD,B1D1,在ABD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EFBD,同理E1F1B1D1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AA1DD1,AA1BB1,所以B1BDD1,所以四边形BDD1B1是平行四边形,所以BDB1D1,所以EFE1F1.所以四边形EFF1E1为平行四边形.(2)取A1B1的中点M,连接BM,F1M,因为MF1B1C1,B1C1BC,所以MF1BC,所以四边形BCF
13、1M是平行四边形,所以MBCF1,因为A1MEB,所以四边形EBMA1是平行四边形,所以A1EMB,所以A1ECF1,同理可证:A1FE1C,又EA1F与F1CE1两边的方向均相反,所以EA1F=E1CF1.证明角相等的方法一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形.(2)求证:BMC=B1M1C1.【证明】(1)因为ABCD-A1B1C1D1为正方体.所以AD=A1D1,且ADA1D1,又M,M1分别为棱AD,A1D1的中点,所以AM=A1M1且AMA1M1,所以四边形A
14、MM1A1为平行四边形,所以MM1=AA1且MM1AA1.又AA1=BB1且AA1BB1,所以MM1=BB1且MM1BB1,所以四边形BB1M1M为平行四边形.(2)方法一:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,所以B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,所以C1M1CM.因为BMC和B1M1C1方向相同,所以BMC=B1M1C1.方法二:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,所以B1M1=BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,所以C1M1=CM.又因为B1C1=BC,所以BCMB1C1M1,所以BMC=B1M1C1.课堂检测素养达标1.如果两条异面直线称为“一对
15、”,那么正方体的12条棱中,异面直线共有()A.12对B.24对C.36对D.48对【解析】选B.如图所示,正方体中与AB异面的棱有CC1,DD1,B1C1,A1D1.因为各棱具有相同的位置,且正方体有12条棱,排除两棱的重复计算,所以异面直线共有=24对.2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交【解析】选B.假设a与b是异面直线,而ca,则c显然与b不平行(否则cb,则有ab,矛盾),因此c与b可能相交或异面.3.(多选题)(教材二次开发:练习改编)下列结论中,错误的是()A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那
16、么这两个角相等B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补D.如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线互相垂直【解析】选AD.A中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故选项A错误;B中,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等,故选项B正确;C中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,两角相等或互补,故选项C正确;D中,如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线可能为异面直线,故选项D错误.4.如图,在三棱
17、柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AEEB=AFFC,则EF与B1C1的位置关系是_. 【解析】在ABC中,因为AEEB=AFFC,所以EFBC.又在三棱柱ABC-A1B1C1中,BCB1C1,所以EFB1C1.答案:平行5.已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点,求证:DNM=D1A1C1.【证明】如图,连接AC,在ACD中,因为M,N分别是CD,AD的中点,所以MN是ACD的中位线,所以MNAC,MN=AC.由正方体的性质,得ACA1C1,AC=A1C1,所以MNA1C1,又因为NDA1D1,所以DNM与D1A1C1相等或互
18、补.而DNM与D1A1C1均是直角三角形的一个锐角,所以DNM=D1A1C1.课时素养评价十五平行直线与异面直线(15分钟30分)1.两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形()A.全等B.不相似C.仅有一个角相等D.相似【解析】选D.由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,所以这两个三角形相似.2.在三棱锥S-ABC中,与SA是异面直线的是()A.SBB.SCC.BCD.AB【解析】选C.如图所示,SB,SC,AB,AC与SA均是相交直线,BC与SA既不相交,也不平行,是异面直线.3.如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN
19、是异面直线的图形有.【解析】题干图中,GHMN,因此,GH与MN共面.题干图中,G,H,N三点共面,但M平面GHN,因此直线GH与MN异面.题干图中,连接MG,GMHN,因此,GH与MN共面.题干图中,G,M,N三点共面,但H平面GMN,所以GH与MN异面.答案:4.已知在三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列四个结论:MN(AC+BD);MN(AC+BD);MN=(AC+BD);MN(AC+BD).其中正确的是.【解析】设BC中点为P,连接MP,PN.在MPN中,MNMP+PN,所以MN(AC+BD),故正确.答案:5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直
20、线的位置关系.(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是;(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是.【解析】(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1BD1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.答案:(1)平行(2)异面6.如图,E,F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中点.求证:四边形B1EDF是平行四边形.【证明】设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1,因为E是AA1的中点,所以EQA1D1.又在矩形A1B1C1D1中,A1D1B1C1
21、,所以EQB1C1,所以四边形EQC1B1为平行四边形,所以B1EC1Q.又因为Q,F是矩形DD1C1C两边的中点,所以QDC1F,所以四边形DQC1F为平行四边形,所以C1QDF,又因为B1EC1Q,所以B1EDF,所以四边形B1EDF为平行四边形.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若AOB=A1O1B1且OAO1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是()A.OBO1B1且方向相同B.OBO1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1
22、不一定平行【解析】选D.如图所示,OB与O1B1不一定平行.2.以下选项中,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是()【解析】选C.本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断,仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择.A,B中,PQRS,D中,PQ和RS共面.3.如图所示的正方体的平面展开图,在这个正方体中:MNED;CN与BE是异面直线;DMBN.以上四个结论中正确的序号是()A.B.C.D.【解析】选C.如图所示,把正方体的平面展开图还原到原来的正方体,显然MN与ED为异面直线,故不成立,而CNBE,故不
23、成立,又四个选项中仅有选项C不含,故选C.4.已知a,b是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是()A.若ab,b,则直线a平行于平面内的无数条直线B.若,a,b,则a与b是异面直线C.若,a,则aD.若=b,a,则a,b一定相交【解析】选A.A中,ab,b,则a或a,所以不管a在平面内还是平面外,结论都成立,故A正确;B中,直线a与b没有交点,所以a与b可能异面,也可能平行,故B错误;C中,直线a与平面没有公共点,所以a,故C错误;D中,直线a与平面有可能平行,故D错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.a,b,c是
24、空间中的三条直线,下列说法中正确的是()A.若ab,bc,则acB.若a与b相交,b与c相交,则a与c也相交C.若a,b分别在两个相交平面内,则这两条直线可能平行、相交或异面D.若a与c相交,b与c异面,则a与b异面【解析】选AC.由平行线的传递性知A正确;若a与b相交,b与c相交,则a与c可能平行、相交或异面,B错误;易知C正确;若a与c相交,b与c异面,则a与b可能相交、平行或异面,故D错误.6.(多选题)如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中正确的是()A.M,N,P,Q四点共面B.QME=CBDC.BCDMEQD.四边形MN
25、PQ为梯形.【解析】选ABC.由中位线定理,易知MQBD,MEBC,QECD,NPBD.对于A,有MQNP,所以M,N,P,Q四点共面,故A说法正确;对于B,根据等角定理,得QME=CBD,故B说法正确;对于C,由等角定理,知QME=CBD,MEQ=BCD,所以BCDMEQ,故C说法正确;由三角形的中位线定理,知MQBD,NPBD,所以MQNP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D说法不正确.【补偿训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论正确的是()A.直线AM与CC1
26、是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线【解析】选CD.直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故A,B错误,直线BN与MB1是异面直线,直线AM与DD1是异面直线,故C,D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线,(1)DBC的两边与的两边分别平行且方向相同;(2)DBC的两边与的两边分别平行且方向相反.【解析】(1)B1D1BD,B1C1BC并且方向相同,所以DBC的两边与D1B1C1的两边分别平行且方向相同.
27、(2)B1D1BD,D1A1BC并且方向相反,所以DBC的两边与B1D1A1的两边分别平行且方向相反.答案:(1)D1B1C1(2)B1D1A1【补偿训练】已知角和角的两边分别平行且一组边的方向相同,另一组边的方向相反,若=45,则=.【解析】由等角定理可知=135.答案:1358.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点MAB1,NBC1,且AM=BN,有以下结论:AA1MN;A1C1MN;MN与A1C1是异面直线.其中正确结论的序号是.【解析】考虑极端:M为A,N为B,排除;M为B1,N为C1,排除.故填.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.在平行六面体ABCD-A1B1
28、C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:NMP=BA1D.【证明】如图,连接CB1,CD1,因为CDA1B1,所以四边形A1B1CD是平行四边形,所以A1DB1C.因为M,N分别是CC1,B1C1的中点,所以MNB1C,所以MNA1D.因为BCA1D1,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1BCD1.因为M,P分别是CC1,C1D1的中点,所以MPCD1,所以MPA1B,所以NMP和BA1D的两边分别平行且方向都相反,所以NMP=BA1D.10.如图,ABCD-ABCD为长方体,底面是边长为a的正方形,高为2a,M,N分
29、别是CD和AD的中点.(1)判断四边形MNAC的形状.(2)求四边形MNAC的面积.【解析】(1)连接AC.因为M,N分别是CD和AD的中点,所以MNAC.因为ABCD-ABCD为长方体.所以四边形ACCA为矩形.所以ACAC,所以MNAC,所以四边形MNAC是梯形.在AAN和CCM中,因为AAN=CCM=90,AA=CC=2a,AN=CM=a,所以AANCCM.所以AN=CM.所以四边形MNAC是等腰梯形.(2)由AC=a,MN=a,AN=CM=a,得梯形高h=a,所以四边形MNAC的面积S=a2.1.如图,在正方体ABCD-A1B
30、1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是棱AB,BC,A1B1,BB1,C1D1,CC1的中点,则下列结论正确的是()A.直线GH和MN平行,GH和EF相交B.直线GH和MN平行,MN和EF相交C.直线GH和MN相交,MN和EF异面D.直线GH和EF异面,MN和EF异面【解析】选B.易知GHMN,又因为E,F,M,N分别为所在棱的中点,所以FNEM,所以EF与MN相交.2.如图所示,E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边上的点,且有AEEB=AHHD=m,CFFB=CGGD=n.(1)证明:E,F,G,H四点共面;(2)m,n满足什么条件时EFGH是平行四边形;(3)在(2)的条件下,若ACBD,试证明EG=FH.【解析】(1)因为AEEB=AHHD,所以EHBD,又CFFB=CGGD,所以FGBD,所以EHFG,所以E,F,G,H四点共面.(2)当且仅当EHFG时,四边形EFGH为平行四边形.因为=,所以EH=BD,同理FG=BD,由EH=FG得m=n.故当m=n时,四边形EFGH为平行四边形.(3)当m=n时,AEEB=CFFB,所以EFAC,又因为ACBD,所以FEH是AC与BD所成的角,所以FEH=90,从而EFGH为矩形,所以EG=FH.关闭Word文档返回原板块
