1、5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数5.2.2导数的四则运算法则必备知识基础练1.(多选题)下列结论中,正确的是()A.若y=1x3,则y=-3x4B.若y=3x,则y=3x3C.若y=1x2,则y=-2x-3D.若f(x)=3x,则f(1)=32.若曲线运动的方程为s=1-tt2+2t2,则当t=2时的速度为()A.12B.10C.8D.43.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f(x)0的解集为()A.(0,+)B.(2,+)C.(-1,0)D.(-1,0)(2,+)4.设正弦曲线y=sin x上的任意一点P,以点P为切点的曲线y=sin x的切线为直线l,则直线l的倾斜角的取值
2、范围是()A.0,434,B.0,)C.4,34D.0,42,345.(多选题)(2021湖南三湘名校联盟高二联考)已知函数f(x)=x2+f(0)x-f(0)cos x+2,其导函数为f(x),则()A.f(0)=-1B.f(0)=1C.f(0)=1D.f(0)=-16.已知函数f(x)=f4cos x+sin x,则f4的值为.7.求下列函数的导数:(1)y=5x3;(2)y=log2x2-log2x;(3)y=cosxx;(4)y=-2sinx21-2cos2x4.关键能力提升练8.如图,有一个图象是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(aR,且a0)的导函数的图象,则f(
3、-1)等于()A.13B.-13C.73D.-13或539.(2021湖南长沙长郡中学高二期中)若函数f(x),g(x)满足f(x)+xg(x)=x2-1,且f(1)=1,则f(1)+g(1)=()A.1B.2C.3D.410.(2021江西新八校高三联考)若曲线y=ex-m的一条切线为y=1ex+n(e为自然对数的底数),其中m,n为正实数,则m+n的值是()A.eB.1eC.2eD.e211.(多选题)(2021河北高二联考)已知函数f(x)=xcos x的导函数为f(x),则()A.f(x)为偶函数B.f(x)为奇函数C.f(0)=1D.f2+f2=212.(多选题)已知函数f(x)及其
4、导数f(x),若存在x0使得f(x0)=f(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.给出下列四个函数,存在“巧值点”的是()A.f(x)=x2B.f(x)=e-xC.f(x)=ln xD.f(x)=tan x13.已知函数y=x2(x0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,其中kN*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是.14.已知函数f(x)=x3-4x,则过点P(-1,4)可以作出条f(x)图象的切线.15.已知直线y=x+b是曲线y=ax2+1的切线,也是曲线y=ln x的切线,则a=,b=.学科素养创新练16.(2021江苏如皋中学高二月考)法国数学家
5、拉格朗日于1778年在其著作解析函数论中提出一个定理:如果函数y=f(x)满足如下两个条件:(1)其图象在闭区间a,b上是连续不断的;(2)在区间(a,b)上都有导数.则在区间(a,b)上至少存在一个数,使得f(b)-f(a)=f()(b-a),其中称为拉格朗日中值.函数g(x)=ln x+x在区间1,2上的拉格朗日中值=.17.等比数列an中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a8),则f(0)=.参考答案5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数5.2.2导数的四则运算法则1.ACD由(x)=x-1知,y=1x3=x-3,则y=-3x-4=-3x4,选项A
6、正确.y=3x=x13,则y=13x-233x3,选项B错误.y=1x2=x-2,则y=-2x-3,选项C正确.由f(x)=3x知f(x)=3,f(1)=3,选项D正确.故选ACD.2.C由题意知,s=1-tt2+(2t2)=t-2t3+4t,所以当t=2时的速度为s|t=2=2-28+8=8.3.Bf(x)=x2-2x-4lnx,f(x)=2x-2-4x=2x2-2x-4x(x0),f(x)=2x2-2x-4x0等价于x2-x-20,即(x-2)(x+1)0,解得x2.4.A设点P(x,y)是曲线y=sinx上的任意一点,则过点P的曲线y=sinx的切线的斜率是k=(sinx)=cosx,由
7、于xR,所以-1k1,即-1tan1,又0,),所以0,434,.5.BC因为f(x)=x2+f(0)x-f(0)cosx+2,所以f(0)=2-f(0).因为f(x)=2x+f(0)+f(0)sinx,所以f(0)=f(0).故f(0)=f(0)=1.故选BC.6.1f(x)=-f4sinx+cosx,f4=-f422+22,得f4=2-1.f(x)=(2-1)cosx+sinx,f4=1.7.解(1)y=x35=35x35-1=35x-25.(2)y=log2x2-log2x=log2x,y=(log2x)=1xln2.(3)(方法1)y=1xcosx=1xcosx+1x(cosx)=x-
8、12cosx-1xsinx=-12x-32cos x-1xsin x=-cosx2x3sinxx=-cosx2xxsinxx=-cosx+2xsinx2xx.(方法2)y=cosxx=(cosx)x-cosx(x)(x)2=-sinxx-12x-12cosxx=-xsinx+cosx2xx=-cosx+2xsinx2xx.(4)y=-2sinx21-2cos2x4=2sinx22cos2x4-1=2sinx2cosx2=sinx,y=(sinx)=cosx.8.Bf(x)=x2+2ax+a2-1,图与图中,抛物线的对称轴都是y轴,此时a=0,与题设不符合,故图中的图象是函数f(x)的导函数的图
9、象.由图知f(0)=0,即f(0)=a2-1=0,得a2=1,又由图得对称轴为-2a2=-a0,则a0)的图象在点(ak,ak2)处的切线方程为y-ak2=2ak(x-ak).又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),ak+1=12ak,即数列ak是首项a1=16,公比q=12的等比数列,a3=4,a5=1,a1+a3+a5=21.14.2设切点坐标为(x0,x03-4x0),由f(x)=x3-4x,得f(x)=3x2-4.f(x0)=3x02-4,因此切线方程为y-(x03-4x0)=(3x02-4)(x-x0),把P(-1,4)的坐标代入切线方程中,化简得2x03+3x02=0,解得x0=0
10、或x0=-32,所以过点P(-1,4)可以作出两条f(x)图象的切线.15.18-1由y=lnx,得y=1x.因为直线y=x+b是曲线y=lnx的切线,所以1x=1,解得x=1,所以y=ln1=0,即切点为(1,0),所以0=1+b,解得b=-1,即y=x+b=x-1.由y=ax2+1,得y=2ax,因为直线y=x-1是曲线y=ax2+1的切线,所以2ax=1,解得x=12a,所以y=14a+1,即切点为12a,14a+1,所以有14a+1=12a-1,即14a=2,解得a=18.16.1ln2函数g(x)=lnx+x的导数为g(x)=1x+1,则g()=1+1.由拉格朗日中值的定义可知函数g(x)=lnx+x在区间1,2上的拉格朗日中值满足g(2)-g(1)=g()(2-1),所以g()=g(2)-g(1)=ln2+2-1=ln2+1.所以g()=1+1=ln2+1,即1=ln2,则=1ln2.17.4 096因为f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a8)+(x-a1)(x-a2)(x-a8)x=(x-a1)(x-a2)(x-a8)+(x-a1)(x-a2)(x-a8)x,所以f(0)=(0-a1)(0-a2)(0-a8)+0=a1a2a8.因为数列an为等比数列,所以a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=8,所以f(0)=84=4096.
