1、【课标要求】1.会利用诱导公式,通过图像平移得到余弦函数的图像.2.会用五点法画出余弦函数在0,2上的图像.3.掌握余弦函数的性质及应用.自主学习 基础认识|新知预习|1余弦函数图像的画法(1)变换法:ysinx 图像向左平移2个单位即得 ycosx 的图像(2)五点法:利用五个关键点(0,1),2,0,(,1),32,0,(2,1)画出0,2上的图像,再左右扩展即可2余弦函数的性质函数性质 余弦函数 ycosx 图像 定义域R值域1,1 最值当 x2k(kZ)时,ymax1当 x(2k1)(kZ)时,ymin1周期性是周期函数,最小正周期为 2奇偶性是偶函数,图像关于 y 轴对称 单调性在(
2、2k1),2k(kZ)上是递增的在2k,(2k1)(kZ)上是递减的|自我尝试|1判断正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)余弦函数 ycosx 是偶函数,图像关于 y 轴对称,对称轴有无数多条()(2)余弦函数 ycosx 的图像既是轴对称图形,也是中心对称图形()(3)函数 yacosx(a0)的最大值为 a,最小值为a.()(4)函数 ycosx(xR)的图像向左平移2个单位长度后,得到函数 yg(x)的图像,则 g(x)sinx.()2下列对函数 ycosx 的图象描述错误的是()A在0,2和4,6上的图象形状相同,只是位置不同B介于直线 y1 与直线 y1 之间C关于 x 轴对称D
3、与 y 轴只有一个交点解析:观察余弦函数的图象知:ycosx 关于 y 轴对称,故 C错误 答案:C3用“五点法”作出函数 y3cosx 的图像,下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是()A(,1)B(0,2)C.2,3D.32,3解析:由五点作图法知五个关键点分别为(0,2),2,3,(,4),32,3,(2,2)答案:A4函数 y3cosx2 的值域为()A1,5 B5,1C1,1 D3,1解析:因为1cosx1,所以13cosx25.答案:A5已知函数 y34cosx,x0,2,则其递增区间为_解析:当 x0,2时,函数 ycosx 在0,上是减函数,在,2上是增函数,所以函数 y34
4、cosx 在0,上是增函数,在,2上是减函数 答案:0,课堂探究 互动讲练类型一用“五点法”作三角函数的图象例 1 用“五点法”作出下列函数的简图:y1cosx,x0,2【解】列表:x02322 cosx101011cosx01210描点连线,其图象如图所示:方法归纳 跟踪训练 1 画出函数 y32cosx 的简图解:(1)列表,如下表所示 x02322 ycosx10101y32cosx53135(2)描点,连线,如图所示:类型二与余弦函数有关的定义域问题例 2 求下列函数的定义域(1)f(x)2cosx1;(2)f(x)log2(12cosx)9x2.【解】(1)要使 y 2cosx1有意
5、义,则必须满足 2cosx10,即 cosx12.结 合 余 弦 函 数 的 图 像 得y 2cosx1 的 定 义 域 为x2k23 x2k23,kZ.(2)要使函数有意义,则12cosx0,9x20,即cosx12,x29,cosx12的解集为x32kx32k,kZ,x29 的解集为x|3x3,取交集得x3x0,cosx 22,故所求定义域为 x2k4x2k4,kZ.类型三余弦函数的单调性及应用例 3(1)函数 y12cosx 的单调增区间是_;(2)比较大小 cos263 _cos133 .【思路点拨】(1)y12cosx 的单调性与 ycosx 的单调性相同,与 ycosx 的单调性相
6、反(2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较 2k,2k【解析】(1)由于 ycosx 的单调减区间为2k,2k(kZ),所以函数 y12cosx 的增区间为2k,2k(kZ)(2)由于 cos263 cos823 cos23,cos133cos133cos43 cos3,ycosx 在0,上是减少的 由3cos23,即 cos263 0 时,其单调性同 ycosx 的单调性一致;当 a0 时,其单调性同 ycosx 的单调性恰好相反(2)比较 cos 与 cos 的大小时,可利用诱导公式化为0,内的余弦函数值来进行跟踪训练 3(1)比较大小:cos235 与 cos174 ;(2)求
7、函数 ylog 12(cos2x)的增区间解析:(1)cos235 cos235 cos435 cos35,cos174 cos174 cos44 cos4.0435,且 ycosx 在0,上递减,cos35 cos4,即 cos235 0 且 ycos2x 递减 x 只须满足:2k2x2k2,kZ,kxk4,kZ,ylog 12(cos2x)的增区间为k,k4,kZ.类型四余弦函数值域(最值)例 4 求下列函数的最值(1)ycos2xcosx;(2)y3cos2x4cosx1,x3,23.【解】(1)ycosx12214.1cosx1,当 cosx12时,ymax14.当 cosx1 时,y
8、min2.函数 ycos2xcosx 的最大值为14,最小值为2.(2)y3cos2x4cosx1 3cosx23213.x3,23,cosx12,12,从而当 cosx12,即 x23 时,ymax154;当 cosx12,即 x3时,ymin14.函数在区间3,23 上的最大值为154,最小值为14.方法归纳 求值域或最大值、最小值问题,一般依据为:(1)sinx,cosx 的有界性;(2)sinx,cosx 的单调性;(3)化为 sinxf(x)或 cosxf(x),利用|f(x)|1 来确定;(4)通过换元转化为二次函数跟踪训练 4 求下列函数的值域(1)y2cosx1;(2)ycos
9、2x3cosx2.解析:(1)1cosx1,22cosx2,32cosx11.函数 y2cosx1 的值域为3,1(2)令 tcosx,xR,t1,1 原函数可化为 yt23t2t32214,易知该二次函数的图像开口向上,且对称轴为直线 t32,t1,1为二次函数的单调递减区间 t1 时,ymax6;t1 时,ymin0.函数 ycos2x3cosx2 的值域为0,6|素养提升|1余弦函数性质与图像的关系(1)余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法(2)余弦函数的性质可以由图像直接观察,但要经过解析式或单位圆推导才能下结论即数形结合思想的运用2余弦函数的对称性(1)余弦函数是中心对称图形
10、,其所有的对称中心坐标为k2,0(kZ),即余弦曲线与 x 轴的交点,此时的余弦值为 0.(2)余弦曲线是轴对称图形,其所有的对称轴方程为 xk(kZ),即对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点,此时余弦值取得最大值或最小值3余弦函数的周期性类比正弦函数的周期性,余弦函数的最小正周期为 2,余弦函数的周期不唯一,2k(kZ,且 k0,1)也是余弦函数的周期,根据诱导公式 cos(x2k)cosx(kZ),容易得出4对余弦函数最值的两点说明(1)明确余弦函数的有界性,即1cosx1.(2)对有些函数,其最值不一定是 1 或1,要依赖函数定义域来决定|巩固提升|1函数 f(x)cosx4 的图象的一条对称轴是()Ax4 Bx2Cx4 Dx2解析:作出函数 f(x)cosx4 的图像(图略),由图像知,其一条对称轴是 x4.答案:A2函数 f(x)3sin23x152是()A周期为 3 的偶函数B周期为 2 的偶函数C周期为 3 的奇函数D周期为43 的偶函数解析:f(x)3sin23x1523sin23x32 3cos23x,f(x)为偶函数,且 T2233.答案:A3函数 y 2cosx 2的定义域是_解析:要使函数有意义,只需 2cosx 20,即 cosx 22.由余弦函数图像知(如图),所求定义域为42k,42k,kZ.答案:42k,42k,kZ