1、2012届高三文科培优材料-三角函数【考纲解读】1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出,的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,.3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间(-,)内的单调性.4.了解函数的物理意义；能画出的图象，了解对函数图象变化的影响.5.会用向量的数量积推导两角差
2、的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【考点预测】从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角
3、函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.【要点梳理】1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式.2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:(1)方程思想:, ,三者中,知一可求二;(2)“1”的替换: ;(3)切弦互化:弦的齐次式可化为切；(4)角的替换:,;(5)公式变形:, ,;(6)构造辅助角(以特殊角为主):.3.函数的问题:(1)“五点法”画图:分别令、，求出五个特殊点；(2)给出的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是
4、,一般从“五点法”中取靠近轴较近的已知点代入突破;(3)求对称轴方程:令, 求对称中心: 令;(4)求单调区间:分别令;,同时注意A、符号.4.解三角形:(1)基本公式:正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式；(2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化.【考点在线】考点1 三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法.考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值故f(x)的定义域为（）由已知条件得从而 【名师点睛】本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同
5、角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识.【备考提示】：熟练掌握三角函数公式与性质是解答好本类题的关键.练习1: （2011年高考福建卷文科9)若（0， ），且，则的值等于( ) DA. B. C. D. 【解析】因为（0， ），且，所以,即,所以=或(舍去),所以,即,选D.考点2 考查的图象与性质 考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用，会用数形结合的思想来解题. 【备考提示】：三角函数的图象及性质是高考考查的热点内容之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键.练习2.(2011年高
6、考江苏卷9)函数是常数，的部分图象如图所示，则【答案】【解析】由图象知：函数的周期为，而周期，所以，由五点作图法知：，解得，又A=，所以函数，所以.考点3 三角函数与向量等知识的综合三角函数与平面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条件.例3.（2009年高考江苏卷第15题）设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：.【解析】【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力.【备考提示】：熟练三角公式与平面向量的基础知识是解决此类问题的关键.练习3.（天津市十二区
7、县重点中学2011年高三联考二理）（本小题满分13分）已知向量，（I）若,求值；（II）在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围.【解析】（I） -1分= -3分= -4分 =-6分 （II）， 由正弦定理得 -8分- -9分，且 -10分 -11分 -12分 -13分考点4. 解三角形解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.例4. (2011年高考安徽卷文科16) 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，求边BC上的高.【解析】ABC180，所以BCA，又，即，又0A180，所以A60.在ABC中，由正弦定理得，又，所以B
8、A，B45，C75，BC边上的高ADACsinC.【名师点睛】本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力.【备考提示】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可.练习4. （2011年高考山东卷文科17)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cosB=，【解析】(1)由正弦定理得所以=,即,即有,即,所以=2.(2)由(1)知=2,所以有,即c=2a,又因为的周长
9、为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：，即，解得a=1，所以b=2.【历年高考再现（2009-2011）】高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )1、（2011）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，求边BC上的高.解：ABC180，所以BCA，又，即，又0A180，所以A60.在ABC中，由正弦定理得，又，所以BA，B45，C75，BC边上的高ADACsinC2、（2011）已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值。解：（1），函数的最小正周期为；（2），当即时，函数取得最大值2；当即时，函数取得最小值；3
10、、（2011）已知等比数列的公比，前3项和() 求数列的通项公式；() 若函数在处取得最大值，且最大值为，求函数的解析式解：()由得，所以；()由()得，因为函数最大值为3，所以，又当时函数取得最大值，所以，因为，故，所以函数的解析式为。4、（2011）设函数f(q)sinq cosq，其中，角q的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0qp。（）若P的坐标是(，)，求f(q)的值； （）若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角q的取值范围，并求函数f(q)的最小值和最大值。解：（）f(q)2；（） q0时f(q)min1，q时f(q)min2。5、（2
11、011） 6（2011）已知函数，（1）求的值；（2）设求的值解：（1）（2）7、（2011）设的内角所对的边分别为.已知，.（）求的周长；（）求的值.解：（）的周长为.（）， ，,故为锐角，. 8、（2011）在中，角所对的边分别为且满足（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小解：（I）由正弦定理得因为所以（II）由（I）知于是 取最大值2综上所述，的最大值为2，此时9、（2011）在ABC中，角A、B、C所对应的边为（1）若 求A的值； （2）若，求的值.解：（1）（2）在三角形中,由正弦定理得：，而.（也可以先推出直角三角形） (也能根据余弦定理得到)10、（201
12、1）在中，角、的对边分别是，已知.（1）求的值；（2）若，求边的值.解：（1）由已知得，即，由得即，两边平方得：（2）由知，则，即，则由得由余弦定理得，所以.11、（2011）在中，的对边分别是，已知.（1）求的值；(2)若，求边的值 解：（1）由 正弦定理得： 及：所以。 （2）由，展开易得： ， 正弦定理： 12、（2011）ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a（I）求；（II）若c2=b2+a2，求B解：（I）由正弦定理得，即 故 6分（II）由余弦定理和由（I）知故可得 12分13、（2011） ABC的内角A、B、C的对边分别为a、
13、b、c.已知A-C=90，求C.解：由A-C=90，得A=C+90（事实上）由，根据正弦定理有：即 14、（2011）的内角的对边分别为.己知 ()求B；（）若解：()由正弦定理可变形为，即，由余弦定理又,所以（）首先由正弦定理，同理15、（2011）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求的值； （2）若cosB=，,求的面积.解：（）由正弦定理得所以=,即,即有,即,所以=2.（）由（）知: =2,即c=2a,又因为,所以由余弦定理得：，即,解得,所以c=2,又因为cosB=，所以sinB=，故的面积为=.16、（2011）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，
14、b，c.已知.（）求的值； （）若cosB=，解：（）由正弦定理得所以=,即,即有,即,所以=2.（）由得，又得17、（2011）叙述并证明余弦定理解：叙述:余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有， ， .证明：（证法一） 如图， 即 同理可证 ， （证法二）已知中，所对边分别为，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，即 同理可证 ， 18、（2011）已知函数，xR（）求的最小正周期和最小值；（）已知，求证：解：（） ，的最小正周期，最小值（）证明：由已知得，两式相加得，则19、（2011）
15、已知函数（）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值（）若，求的值解：（）由得所以函数的最小正周期为因为，所以所以，即时，函数为增函数，而在时，函数为减函数，所以为最大值，为最小值（）由（）知，又由已知，则因为，则，因此，所以，于是，20、（2011）在中， （）证明：（）若求的值解：（）在中，由及正弦定理得，于是，即，因为，则，因此，所以（）由和（）得，所以，又由知，所以所以21、（2011）已知函数，（）求的最大值和最小值；（）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围解：（） 3分又，即，7分（），9分且，即的取值范围是14分22、（2011）已知函数，的部分图像，如图所示，、分别为该图
16、像的最高点和最低点，点的坐标为（）求的最小正周期及的值；（）若点的坐标为，求的值解：（）由题意得，因为的图象上，所以又因为，所以（）设点Q的坐标为，由题意可知，得连接PQ，在，由余弦定理得解得又 23、（2011）设，满足，求函数在上的最大值和最小值解：（1）；（2）当时，函数递增；当时，函数递减；所以在上的最大值为又，所以在上的最小值为。 24、（2011）设函数 .()求的最小正周期; ()若函数的图象按,平移后得到函数的图象,求在,上的最大值.解：()，所以函数的最小正周期为；()由，为增函数，所以在上的最大值为。25（2010年高考山东卷文科17）已知函数（）的最小正周期为， （）求的
17、值； （）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最小值. 解：因此 1g（x），故 g（x）在此区间内的最小值为1.26（2010年高考天津卷文科17）在ABC中，。（）证明B=C： （）若=-，求sin的值。解：（）证明：在ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0. 所以B=C. （）解：由A+B+C=和（）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.又02B,于是sin2B=. 从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=. 所以。27(
18、2010年高考北京卷文科15)已知函数（）求的值；（）求的最大值和最小值解：（）= （） 因为,所以，当时取最大值2；当时，去最小值-1。28(2010年高考江西卷文科19)已知函数（1）若，求；（2）若，求的取值范围解：（1） ， 由得， ，所以（2）由（1）得， 由得，所以， 从而29. (2010年高考浙江卷文科18)（本题满分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为ABC的面积，满足。（）求角C的大小； （）求的最大值。解：()由题意可知absinC=,2abcosC.所以tanC=.因为0C， 所以C=.（)由已知sinA+sinB=sinA+sin(-C-A)=s
19、inA+sin(-A)=sinA+cosA+sinA=sin(A+).当ABC为正三角形时取等号， 所以sinA+sinB的最大值是.30(2010年高考安徽卷文科16) 的面积是30，内角所对边长分别为，。 ()求；()若，求的值。解：（1）根据同角三角函数关系，由得的值，再根据面积公式得；直接求数量积.由余弦定理，代入已知条件，及求a的值.解：由，得.又，.（）.（），.31（2010年高考上海卷文科19）已知，化简：.解：原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)-lg(sinx+cosx)2=032（2010年高考上海卷文科22）若实数、满足，则称比接近.（1）若比3
20、接近0，求的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数、，证明：比接近；（3）已知函数的定义域.任取，等于和中接近0的那个值.写出函数的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.解：(1) x(-2,2)；(2) 对任意两个不相等的正数a、b，有，因为，所以，即a2b+ab2比a3+b3接近；(3) ,kZ，f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期T=p，函数f(x)的最小值为0，函数f(x)在区间单调递增，在区间单调递减，kZ33（2010年高考辽宁卷文科17）在中，分别为内角的对边，且（）求的大小；（）若，试判断的形状.解：（）由已知，根据正弦定理得即 ，
21、 由余弦定理得故（）由（）得又，得 因为，故 所以是等腰的钝角三角形。34（2010年高考广东卷文科16）设函数，且以为最小正周期（1）求；w_w（2）求的解析式；（3）已知，求的值w_w*w.k_s_5 u.c*o*m 35（ 2010年高考全国卷文科18）已知的内角，及其对边，满足，求内角解：由及正弦定理得, ,从而 ，.又故 , 所以 .36（2010年高考全国卷文科17）中，为边上的一点，求。解：本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。由与的差求出，根据同角关系及差角公式求出的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。37（2010年高考四川卷文科19）（）证明
22、两角和的余弦公式； 由推导两角和的正弦公式.（）已知，求42.(2009年广东卷文)已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值（2）若，,求的值解：（）,即又, ,即,又,(2) , ,即 又 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 38.（2009浙江文）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值解：（） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又，而，所以，所以的面积为：（）由（）知，而，所以所以39（2009北京文）已知函数.（）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值.【解析】（），函数的最小正周期为.（）由，在区间上的最大值为1，最小值为.40.（2
23、009江苏卷）设向量 （1）若与垂直，求的值； （2）求的最大值; （3）若，求证：. 41.(2009山东卷文)设函数f(x)=2在处取最小值.(1)求.的值;(2)在ABC中,分别是角A,B,C的对边,已知,求角C.解: （1） 因为函数f(x)在处取最小值，所以,由诱导公式知,因为,所以.所以 （2）因为,所以,因为角A为ABC的内角,所以.又因为所以由正弦定理,得,也就是,因为,所以或.当时,;当时,.42.（2009全国卷文）设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.解析：解：由 cos（AC）+cosB=及B=（A+C）得 cos（AC）cos（A+C）=， co
24、sAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=, sinAsinC=.又由=ac及正弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故 ， 或 （舍去），于是 B= 或 B=. 又由 知或 所以 B=。43.（2009安徽卷文） 在ABC中，C-A=， sinB=。（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积。【解析】（1） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又 （2）如图，由正弦定理得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 44.（2009江西卷文）在中，所对的边分别为，（1）求；（2）若，求,，解：（1）由 得 则有 = 得 即.（2） 由 推出
25、 ；而,即得,则有 解得 45.（2009天津卷文）在中，（）求AB的值。（）求的值。 【解析】（1）解：在 中，根据正弦定理，于是（2）解：在 中，根据余弦定理，得于是=，从而46.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。【解析】（I）为锐角， 6分（II）由（I）知， 由得，即 又 12分47.（2009湖南卷文）已知向量（）若，求的值； （）若求的值。 解：（） 因为，所以于是，故（）由知，所以从而，即，于是.又由知，所以，或. 因此，或 48.（2009辽宁卷文）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔
26、的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） （18）解： 在中，30，6030， 所以CDAC0.1 又180606060， 故CB是底边AD的中垂线，所以BDBA 在中， 即AB因此，故B、D的距离约为0.33km。 12分49.（2009陕西卷文） 已知函数（其中）的周期为，且图象上一个最低点为. ()求的解析式；（）当，求的最值.解析:（1）由最低点为 由由点在图像上得即所以故又，所以所以（）因为所以当时，即x=
27、0时，f(x)取得最小值1；50.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】（I）为锐角， 6分（II）由（I）知， 由得，即又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12分51.（2009湖北卷文） 在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且()确定角C的大小： （）若c,且ABC的面积为,求ab的值。解（1）由及正弦定理得， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 是锐角三角形，（2）解法1：由面积公式得由余弦定理得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由变形得解法2：前同解法1
28、，联立、得消去b并整理得解得所以故 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 52.（2009宁夏海南卷文）如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求DEF的余弦值。 解：作交BE于N，交CF于M ， ， 在中，由余弦定理，. 53.（2009福建卷文）已知函数其中，（I）若求的值； （）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。解法一：（I）由得 即又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）由（I）得
29、， 依题意，又故函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为是偶函数当且仅当即从而，最小正实数54.（2009重庆卷文）设函数的最小正周期为（）求的最小正周期 （）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间解：（）依题意得，故的最小正周期为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）依题意得: 由 解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故的单调增区间为: 55.（2009上海卷文） 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .（1）若/，求证：ABC为等腰三角形； （2）若，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 .证明：（1）即，其中R是三角形ABC外接圆半径， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 为等腰三角形解（2）由题意可知由余弦定理可知， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )
