1、第三篇 三角函数、解三角形(必修4、必修5)第 4 节 函数 yAsin(x)的图象及应用最新考纲2.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.1.了解函数 yAsin(x)的物理意义；能画出函数 yAsin(x)的图象，了解参数 A，对函数图象变化的影响.返回导航返回导航【教材导读】1得到 yAsin(x)的图象有哪些方法？提示：有两种方法：一是用五点作图法，列表、描点、连线成图，二是由 ysin x 平移伸缩变换得到2如果将函数 yAsin x 的图象向左平移 m 个单位或向右平移 m(m0)个单位，得函数 yAsin(xm)或 yAsin(xm)的
2、图象吗？返回导航提示：不是，常说的“左加右减”指的是向左平移 m 个单位时，x 加上 m，向右平移 m 个单位时，x 减去 m，而不是 x 加上或减去 m，即由 yAsin x 向左平移 m 个单位得 yAsin(xm)，由 yAsin x 向右平移 m 个单位得 yAsin(xm)3利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移长度一致吗？返回导航提示：不一致，“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为|.故当 1 时平移的长度不相等1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT2f1
3、T2 _返回导航x2.用“五点法”作函数 yAsin(x)(A0，0)的图象的一般步骤(1)定点：如表.返回导航【重要结论】1“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为T4.2在正弦函数图象、余弦函数图象中，相邻的两个对称中心以及相邻的两条对称轴之间的距离均为半个周期3正弦函数和余弦函数一定在对称轴处取得最值返回导航1如果函数 f(x)sin(x)(02)的最小正周期为 T，且当 x2 时，f(x)取得最大值，那么()(A)T2，2(B)T1，(C)T2，(D)T1，2返回导航A 解析：T2 2，当 x2 时，由 222k(kZ)得 32 2k(kZ)，又 02，2.故选 A.2.函数 ysin
4、(x)(0)的部分图象如图，则 等于()(A)5 (B)4(C)3 (D)2返回导航B 解析：由图象可知T2x04x04，即 T22，故 4.3定义a1 a2a3 a4 a1a4a2a3，若函数 f(x)sin 2x cos 2x1 3，则将 f(x)的图象向右平移3个单位所得曲线的一条对称轴的方程是()(A)x6(B)x4(C)x2(D)x返回导航A 解析：由定义可知，f(x)3sin 2xcos 2x2sin2x6，将 f(x)的图像向右平移3个单位得到 y2sin2x3 6 2sin2x56，由 2x562k(kZ)，得对称轴为 x23 k2(kZ)，当 k1 时，对称轴为 x23 26
5、.故选 A.返回导航4将函数 ysin x 的图象向左平移2个单位，得到函数 yf(x)的图象，则下列说法正确的是()(A)yf(x)是奇函数(B)yf(x)的周期为(C)yf(x)的图象关于直线 x2对称(D)yf(x)的图象关于点2，0 对称返回导航D 解析：函数 ysin x 的图象向左平移2个单位，得到函数 f(x)sinx2cos x 的图象，f(x)cos x 为偶函数，排除选项 A；f(x)cos x 的周期为 2，排除选项 B；因为 f2cos 20，所以 f(x)cos x 的图象不关于直线 x2对称，排除选项 C；f2cos20，所以 f(x)cos x 的图象关于点2，0
6、 对称返回导航5若将函数 f(x)sin2x4的图象向右平移 个单位，所得图象关于y 轴对称，则 的最小正值是_返回导航解析：由题意知，平移后所得函数为 f(x)sin 2x24，若其图象关于 y 轴对称，则 sin 241，所以24k2(kZ)，所以 k2 8(kZ)，当 k1 时，取得最小正值38.返回导航答案：38 返回导航考点一 函数 yAsin(x)(A0，0)的图象及其变换(1)将函数f(x)sin(x)0，22 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6个单位长度得到 ysin x 的图象，则 f6 _.(2)已知函数 f(x)2cos xsinx3 3sin
7、2xsin xcos x2(xR)，该函数的图象可由 ysin x(xR)的图象经过怎样的变换得到？解：(1)先将 ysin x 按照题目中相反的方向变换可得函数 f(x)的表达式，再求 f6 的值将 ysin x 的图象向左平移6个单位长度可得 ysinx6 的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 2 倍可得 ysin12 x6 的图象，故 f(x)sin12 x6.所以 f6 sin1266 sin 4 22.返回导航(2)f(x)2cosx(12sin x 32 cos x)3sin2xsin xcos x22sin xcos x 3(cos2xsin2x)2sin 2x 3cos 2
8、x22sin(2x3)2.变换途径为：将 ysin x 的图像向左平移3个单位，得到 ysin(x3)的图像，保持图像上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到 ysin(2x3)的图像，保持图像上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得到 y2sin(2x3)的图像，将所得图像向上平移 2 个单位，得到 y2sin(2x3)2 的图像返回导航【反思归纳】(1)要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；(2)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；(3)当 0 时，先利用诱导公式化为“0”型，再确定平移方向返回导航【即时训练】(1)(2017
9、 全国卷)已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin(2x23)，则下面结论正确的是()(A)把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2(B)把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2返回导航(C)把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2(D)把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2返回导航(2)(2016 高考全国卷)已知
10、函数 f(x)sin(x)0，|2，x4为 f(x)的零点，x4为 yf(x)图象的对称轴，且 f(x)在18，536 上单调，则 的最大值为()(A)11(B)9(C)7(D)5返回导航解析：(1)易知 C1：ycos xsinx2，把曲线 C1 上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数 ysin2x2 的图像，再把 所 得 函 数 的 图 像 向 左 平 移 12 个 单 位 长 度，可 得 函 数 y sin2x 12 2 sin2x23 的图像，即曲线 C2，故选 D.返回导航(2)先根据函数的零点及图象对称轴，求出，满足的关系式，再根据函数 f(x)在18，536 上
11、单调，则18，536 的区间长度不大于 Z(x)周期的12，然后结合|2计算 的最大值因为 f(x)sin(x)的一个零点为 x4，x4为 yf(x)图象的对称轴，所以T4k2(k 为奇数)又 T2，所以 k(k 为奇数)返回导航又函数 f(x)在18，536 上单调，所以 12122，即 12.若 11，又|2，则 4，此时，f(x)sin11x4，f(x)在18，344 上单调递增，在344，536 上单调递减，不满足条件若 9，又|2，则 4，此时，f(x)sin9x4，满足 f(x)在18，536 上单调的条件故选 B.返回导航答案：(1)D(2)B考点二 求函数 yAsin(x)B
12、的解析式 已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0,02)的部分图象如图所示，则 f(x)的解析式是()(A)f(x)2sin(2x3)(B)f(x)2sin(x3)(C)f(x)2sin(2x6)(D)f(x)2sin(x6)返回导航B 解析：由图像知函数的最大值为 2，即 A2，函数的周期 T476 23 22，解得 1，即 f(x)2sin(x)，由题图知23，解得 3，故 f(x)2sinx3.返回导航【反思归纳】确定 yAsin(x)B(A0，0)的解析式的步骤(1)求 A，B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 AMm2，BMm2.(2)求，确定函数的周期 T，则 2T.返回
13、导航(3)求，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口返回导航【即时训练】(1)如图所示，函数 f(x)sin(x)(0，|2)离y 轴最近的零点与最大值均在抛物线 y32x212x1 上，则 f(x)()返回导航(A)f(x)sin16x3 (B)f(x)sin12x3(C)f(x)sin2x3 (D)f(x)sin2x6 (2)已知函数 f(x)sin(x)0，22的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为 2 2，且过点 2，12，则函数的解析式为_返
14、回导航解：(1)令 y0，得32x212x10，解得 x23或 x1，点(23，0)在函数 f(x)的图象上，230，即 23 .令 x2，得 x2.把代入得，x 223，令 y1，得32x212x11，解得 x0 或 x13，即 22313，解得 12，233，f(x)sin2x3.故选 C.返回导航(2)据已知两个相邻最高点和最低点距离为 2 2，可得T221122 2，解得 T4，故 2T 2，即 f(x)sinx2.又函数图象过点 2，12，故 f(2)sin()sin 12.返回导航又22，解得 6，故 f(x)sinx2 6.返回导航答案：(1)C(2)f(x)sinx2 6考点三
15、 三角函数模型的应用 青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长 580 米，宽 40余米的沙滩，是亚洲较大的海水浴场这里三面环山，绿树葱茏，现代的高层建筑与传统的别墅建筑巧妙地结合在一起，景色非常秀丽海湾内水清浪小，滩平坡缓，沙质细软，自然条件极为优越已知海湾内海浪的高度 y(米)是时间 t(0t24，单位：时)的函数，记作 yf(t)下表是某日各时刻记录的浪高数据：返回导航t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数 yAcos tb 的图象的一部分(1)根据以上数据，求函数 yAcos tb 的最小正周期
16、 T，振幅 A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对沖浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内 800 至 2000 之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？返回导航解：(1)由表中数据，知周期 T12，2T 2126，由 t0，y1.5，得 Ab1.5；由 t3，y1.0，得 b1，A0.5，振幅为12，y12cos 6t1.返回导航(2)由题知，当 y1 时才可对冲浪者开放，令12cos6t11，即 cos6t0，2k26t2k2，kZ.即 12k3t12k3，kZ.0t24，故可令中的 k 分别为 0,1,2，得 0t3，或 9t15，或 21t24.在规定时间 8
17、00 到 2000 之间，有 6 小时的时间可供冲浪者运动，即 900 到 1500.返回导航【反思归纳】三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模返回导航【即时训练】如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置 P(x，y)若初始位置为 P032，12，当秒针从 P0(注：此时 t0)正常开始走时，那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系式为()返回导航(A
18、)ysin30t6 (B)ysin 60t6(C)ysin 30t6 (D)ysin 30t3返回导航答案：C三角函数图象与性质的交汇命题分析(2018 全国卷)若 f(x)cos xsin x 在a，a上是减函数，则 a 的最大值是()A.4B.2C.34D返回导航审题指导关键点所获信息函数 f(x)cos xsin x可化为 f(x)2cosx4函数 f(x)在a，a上是减函数求 f(x)的减区间解题突破：由解析或结合三角函数图象求单调减区间.返回导航解析：f(x)cos xsin xcosx4，f(x)递减时，2kx42k(kZ)，x2k4，2k34(kZ)即a，a4，34.0a4，a 的最大值是4.返回导航命题意图：(1)本题由函数解析式结合函数图象求单调区间，考查三角函数性质的应用能力；(2)在数学思想上，用转化与化归思想把条件转化为结果返回导航返回导航课时作业 点击进入word.返回导航谢谢观看！
