1、专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第二讲 三角变换与解三角形【最新考纲透析】1 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。2 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。3 能利用两角差的余弦公式导出两角各的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。4 能运用和与差、二倍角的三角函数公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。5 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。6 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。【核心要点突破】要点考向1：三角变
2、换及求值考情聚焦：1利用两角和差的三角函数公式进行三角变换、求值是高考必考内容。2该类问题出题背景选择面广，解答题中易出现与新知识的交汇题。3该类题目在选择、填空、解答题中都有可能出现，属中、低档题。考向链接： 1在涉及两角和与差的三角函数公式的应用时，常用到如下变形（1）；（2）角的变换；（3）。2利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角。例1：已知向量,且()求ta
3、nA的值； ()求函数R)的值域 解析：（）由题意得mn=sinA-2cosA=0,因为cosA0,所以tanA=2. （）由（）知tanA=2得 因为xR,所以.当时，f(x)有最大值， 当sinx=-1时，f(x)有最小值-3 所以所求函数f(x)的值域是 要点考向2：正、余弦定理的应用考情聚焦：1利用正、余弦定理解决涉及三角形的问题，在近3年新课标高考中都有出现，预计将会成为今后高考的一个热点。2该类问题多数是以三角形或其他平面图形为背景，考查正、余弦定理及三角函数的化简与证明。3多以解答题的形式出现，有时也在选择、填空题中出现。考向链接：1在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热
4、点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。2在解三角形时，三角形内角的正弦值一定为正，但该角不一定是锐角，也可能为钝角（或直角），这往往造成有两解，应注意分类讨论，但三角形内角的余弦为正，该角一定为锐角，且有惟一解，因此，在解三角形中，若有求角问题，应尽量避免求正弦值。例2：（2010辽
5、宁高考理科17）在ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （）求A的大小；（）求的最大值.【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。【思路点拨】（I）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角（II）由（I）知角C60-B代入sinB+sinC中，看作关于角B的函数，进而求出最值【规范解答】（）由已知，根据正弦定理得即 由余弦定理得 故 ，A=120 （）由（）得： 故当B30时，sinB+sinC取得最大值1。【方法技巧】(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a替换sinA，用b替换sinB,用c
6、替换sinC。sinA,sinB,sinC的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C60要点考向3：三角函数的实际应用考情聚焦：1有关解三角形及实际应用在高考中有时出现。2该类问题以实际问题为背景，其建模后为解三角形问题，与三角函数及三角变换等知识交汇。3多以解答题的形式出现，题目不会太难。例3：（2010江苏高考7）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角ABE=，ADE=。(1) 该小组已测得一组、的值，算出了tan=1.2
7、4，tan=1.20，请据此算出H的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？【命题立意】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及 不等式的应用。【思路点拨】（1）分别利用表示AB、AD、BD，然后利用ADAB=DB求解；（2）利用基本不等式求解.【规范解答】（1），同理：，。 ADAB=DB，故得，解得：。因此，算出的电视塔的高度H是124m。（2）由题设知，得，（当且仅当时，取等号）故当时，最大。因为，则，由的单调性可知：当时，-最大。故所求的是m。【高考真
8、题探究】1（2010福建高考文科2）计算的结果等于（ ）A. B. C. D.【命题立意】本题考查利用余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并进行三角的化简求值。【思路点拨】 直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可。【规范解答】选B，。 【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才能进行灵活的恒等变换。如倍角公式：，的逆用公式为“降幂公式”，即为，在三角函数的恒等变形中，降幂公式的起着重要的作用。2（2010 海南宁夏高考理科T16）在中，D为边BC上一点，BD=DC,=120，AD=2，若的面积为，则= .【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.【思路点拨】利用
9、三角形中的余弦定理极其推论。列出边与角满足的关系式求解.【规范解答】设，则，由的面积为可知，可得，由余弦定理可知，所以，所以由，及可求得【答案】60【方法技巧】熟练三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系，列出等式求解.3（2010天津高考理科7）在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则A= ( )（A） （B） （C） （D）【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。【规范解答】选A，根据正弦定理及得：，。【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转
10、化为角。4（2010北京高考理科0）在ABC中，若b = 1，c =，则a = 。【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。【思路点拨】对利用余弦定理，通过解方程可解出。【规范解答】由余弦定理得，即，解得或（舍）。【答案】1【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。5（2010天津高考理科7）已知函数（）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（）若，求的值。【命题立意】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦公式、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力。 【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式；变角，【规范解答】（1）由，得所以
11、函数的最小正周期为因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1（）由（1）可知 又因为，所以由，得从而所以6（2010陕西高考理科7）如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正、余弦定理，考查了解决三角形问题的能力，属于中档题。【思路点拨】解三角形【规范解答】【跟踪模拟训练】一、选择题（本大题共6
12、个小题，每小题6分，总分36分）1（2010届山东省实验高三一诊（文）已知点在第四象限, 则角的终边在 ( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2若，则的值为( ) A B C D3函数的最小正周期T= （ ）（A）2（B）（C）（D）4若函数y=f（x）同时具有下列三个性质：（1）最小正周期为，（2）图象关于直线 对称；（3）在区间上是增函数，则y=f（x）的解析式可以是（ ）ABC D5（2010届广东高三六校联考（理）如图，RtABC中，ACBC，D在边AC上，已知BC2，CD1，ABD45，则AD（ ）A2B5C4D16（ ）二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分1
13、8分）7在中，角，所对的边分别是，若，且，则的面积等于_8若定义在区间上的函数对上的任意个值，总满足，则称为上的凸函数已知函数在区间上是“凸函数”，则在中，的最大值是_9.已知ABC的三个内角A，B，C满足cosA(sinB+cosB)+cosC=0,则A=_.三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）10（本小题满分12分）已知（1）求；（2）求的值11已知函数的最小正周期为.（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）求函数图象上与坐标原点最近的对称中心的坐标.12在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且 ()确定角C的大小（）若c,且ABC的面积为,求a
14、b的值。参考答案1C2C3B4C5B6【解析】选A.依题意，画出图形. CAO是等腰三角形， DCO=COA=-2.在RtCOD中，CD=COcosDCO=cos（-2）=-cos2，过O作OHAC于H点，则CA=2AH=2OAcos=2cos.f()=AC+CD=2cos-cos2.789【解析】cosA(sinB+cosB)+cosC=0，cosAsinB+cosAcosB+cos-(A+B)=0，cosAsinB+cosAcosB-cos(A+B)=0，cosAsinB+cosAcosB-cosAcosB+sinAsinB=0，即cosAsinB+sinAsinB=0.又sinB0,cosA+sinA=0,又 A是三角形的内角,A= .答案： 10解析：（1） ， （2） 原式 = 11解析: （1） 当时， 当时，取得最大值为，最小值为（2）令，得 当时，当时，满足要求的对称中心为 12解析：（1）由及正弦定理得， 3分是锐角三角形， 6分（2）解法1：由面积公式得 9分由余弦定理得由变形得 12分解法2：前同解法1，联立、得 9分消去b并整理得解得所以故 12分【备课资源】
