1、 15.1椭圆【考纲要求】 1、了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2、掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.3、了解椭圆的简单应用.4、理解数形结合的思想.【基础知识】1、 椭圆的定义平面内与两个定点距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆（这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 当平面内与两个定点距离的和等于常数的点的轨迹是线段; 当平面内与两个定点距离的和等于常数的点的轨迹不存在.2、 椭圆的标准方程设(是椭圆上任意一点，椭圆焦点的坐标分别为又点与点的距离的和等于常数则椭圆的标准方程是：（其中（2）设(是椭圆上任意一点，椭圆焦点的坐标分别为
2、又点与点的距离的和等于常数则椭圆的标准方程是：（其中3、 椭圆的简单几何性质 标准方程图形范围对称性既是中心对称，又是轴对称，原点是椭圆的对称中心，轴和轴是椭圆的对称轴顶点离心率，焦点焦距（其中）长轴长短轴长准线方程通径4、点和椭圆的位置关系（1）点在椭圆外（2）点在椭圆上（3）点在椭圆内5、求椭圆的方程，用待定系数法，先定位，后定量。如果不能确定，要分类讨论。 注意椭圆的一般方程为，有时使用它很简单，可以优化计算。6、椭圆的弦长公式：弦长公式对有斜率的直线才能使用，斜率不存在的直线;公式中表示直线的斜率，是直线和椭圆的方程组消去后化简后中的系数，是的判别式；不一定是一元二次方程；如果是先消去
3、，则弦长公式变为，其中是直线的斜率，是中的系数，是的判别式。7、点差法 在圆锥曲线中，如果已知弦的中点常利用点差法来构造方程组。其基本步骤是设两点代两点作差。使用点差法一般会得到直线的斜率和弦的中点的方程。8、椭圆中涉及焦点时，注意运用椭圆的定义来解题。【例题精讲】例1 设椭圆C：1(ab0)的离心率为e，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上一动点P(x0，y0)关于直线y2x的对称点为P1(x1，y1)，求3x14y1的取值范围解：(1)依题意知，2a4，a2.e，c，b.所求椭圆C的方程为1.(2)点P(x0，y0)关于直线y2x的对
4、称点为P1(x1，y1)，解得：x1，y1.3x14y15x0.点P(x0，y0)在椭圆C：1上，2x02，则105x010.3x14y1的取值范围为-10,10例2 已知中心在原点的椭圆C的一个焦点F(4,0)，长轴端点到较近焦点的距离为1，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)为椭圆上不同的两点(1)求椭圆的方程；(2)若x1x28，在x轴上是否存在一点D，使| | |？若存在，求出D点的坐标；若不存在，说明理由解：(1)由题设知c4，ac1，a5，b3.所求方程为1.(2)假设存在点D(x0,0)，由| | |，则点D在线段AB的中垂线上，又线段AB的中点为，线段AB的中垂线方程
5、为：y(x4) 又1，1，0.在中令y0，(x04)x0，存在点D为. 15.1椭圆强化训练【基础精练】1椭圆1的右焦点到直线yx的距离是 ()A.B. C1 D.2椭圆y21(a4)的离心率的取值范围是 ()A(0，) B(0，) C(，1) D(，1)3已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2y22x150的半径，则椭圆的标准方程是 ()A.1 B.1 C.y21 D.14.如图，A、B、C分别为=1(ab0)的顶点与焦点，若 ABC=90，则该椭圆的离心率为 ()A.B1 C.1 D.5已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
6、 ()A(0,1) B(0，C(0，) D，1)6已知椭圆1，过右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于A、B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则|NF|AB|等于 ()A. B. C. D.7已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是_8直线x2y20经过椭圆1(ab0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于_9.如图RtABC中，AB=AC=1，以点C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A、B两点，则这个椭圆的焦距长为.10.如图，已知椭圆=1(ab0)，F1、F2分别为椭 圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于
7、另 一 点B.(1)若F1AB=90，求椭圆的离心率；(2)若2，求椭圆的方程11已知椭圆1(ab0)的长轴长为4，离心率为，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P作椭圆的切线l，交y轴于点A，直线l过点P且垂直于l，交y轴于点B.(1)求椭圆的方程(2)试判断以AB为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由12已知直线l：ykx2(k为常数)过椭圆1(ab0)的上顶点B和左焦点F，直线l被圆x2y24截得的弦长为d.(1)若d2，求k的值；(2)若d，求椭圆离心率e的取值范围【拓展提高】1.设椭圆E：1(a，b0)过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点(1)求椭圆E的
8、方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由2.已知椭圆C： 1(ab0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值【基础精练参考答案】 1.B【解析】：右焦点F(1,0)，d.2.D【解析】：e，a4，e1.3.A【解析】：由x2y22x150，知r42aa2.又e，c1.4.A【解析】：|AB|2a2b2，|BC|2b2c2，|AC|2(ac)2.ABC90，|AC|2|A
9、B|2|BC|2，即(ac)2a22b2c2，2ac2b2，即b2ac.a2c2ac.1，即e1.解之得e，又e0，e.5.C【解析】：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c，0，M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆又M点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即cb，c2b2a2c2.e2，0e.6.B【解析】：本题适合于特值法不妨取直线的斜率为1.右焦点F(2, 0)直线AB的方程为yx2.进而得AB中点坐标，建立AB的中垂线方程，令y0，得到点N的坐标，然后分别得到|NF|和|AB|的值7. 1解析：由题意知，2c8，c4，e，a8，从而b2a2c248，方程是1.8. 【解析】
10、：由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x2y20与x轴、y轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b1，c2，从而a，e.9. .【解析】：设另一焦点为D，则由定义可知AD=.AC+AD=2a，AC+AB+BC=4a，又AC=1，AD=.在RtACD中焦距CD=.10解：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc.所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中，c，设B(x，y)由2(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B(，)将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2.又由(c，b)(，)b2c21
11、，即有a22c21.由，解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆方程为1.11.解：(1)2a4，a2，c1，b.椭圆的方程为1.(2)设点P(x0，y0)(x00，y00)，直线l的方程为yy0k(xx0)，代入1，整理，得(34k2)x28k(y0kx0)x4(y0kx0)2120.xx0是方程的两个相等实根，2x0，解得k.直线l的方程为yy0(xx0)令x0，得点A的坐标为(0，)又1，4y3x012.点A的坐标为(0，)又直线l的方程为yy0(xx0)，令x0，得点B的坐标为(0，)以AB为直径的圆的方程为xx(y)(y)0.整理，得x2y2()y10.令y0，得x1，以AB为直径
12、的圆恒过定点(1,0)和(1,0)12.解：(1)取弦的中点为M，连结OM由平面几何知识，OM1，OM=1.解得k2=3，k=.直线过F、B，k0，则k=.(2)设弦的中点为M，连结OM，则OM2=，d2=4(4-)()2，解得k2.e2=，0e.【拓展提高参考答案】当直线AB的斜率存在时，令直线AB的方程为ykxm，将其代入椭圆E的方程并整理得(2k21)x24kmx2m280.由根与系数的关系得x1x2，x1x2. 因为，所以x1x2y1y20. 把代入并整理得(1k2)x1x2km(x1x2)m20.联立得m2(1k2)因为直线AB和圆相切，因此R，由得R，所以存在圆x2y2满足题意当切
13、线AB的斜率不存在时，易得，由椭圆E的方程得，显然.综上所述，存在圆x2y2满足题意法一：当切线AB的斜率存在时，由得|AB| 4 .令t，则t1，因此|AB|232t(1t)(t)212.所以|AB|212，即|AB|2.当切线AB的斜率不存在时，易得|AB|，所以|AB|2.综上所述，存在圆心在原点的圆x2y2满足题意，且|AB|2.法二：过原点O作ODAB，垂足为D，则D为切点，设OAB，则为锐角，且|AD|，|BD|tan.所以|AB|(tan)因为2|OA|2，所以tan.令xtan，易证：当x，1时，|AB|(x)单调递减当x时，|AB|(x)单调递增所以|AB|2.2.解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意b1.所求椭圆方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当ABx轴时，|AB|，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm.由已知，得m2(k21)，把ykxm代入椭圆方程，整理得(3k21)x26kmx3m230x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)33(k0)34.当且仅当9k2，即k时等号成立|AB|2.当k0时，|AB|，综上所述，|AB|max2.当|AB|最大时，AOB面积取最大值，S|AB|max.
