1、2.4 曲线与方程 第二章 平面解析几何 学 习 任 务核 心 素 养 1了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系 2理解曲线的方程和方程的曲线的概念(重点、易混点)3学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法1通过曲线与方程概念的学习，培养数学抽象素养 2借助数形结合理解曲线的方程和方程的曲线，提升直观想象和逻辑推理素养 学 习 任 务核 心 素 养 4掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的步骤 5掌握求轨迹方程的几种常用方法(重点、难点)6初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质3通过由方程研究曲线的性质
2、，培养直观想象素养 4借助由曲线求方程，提升逻辑推理、数学运算素养情境导学探新知 NO.1知识点1 知识点2 知识点3 笛卡尔被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之父”，他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学等方面都有研究且成就颇高有一个很有名的故事，笛卡尔给他的恋人写的一封信，内容只有短短的一个公式：ra(1sin)你知道这是何意？其实这就是笛卡尔的爱心函数，图形是心形线，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名同学们，你能说出一条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗？知识点 1 曲线与方程的概念 一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运
3、动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的_ 一个二元方程总可以通过移项写成 F(x，y)0 的形式，其中 F(x，y)是关于 x，y 的解析式 轨迹方程在平面直角坐标系中，如果曲线 C 与方程 F(x，y)0 之间具有如下关系：_都是方程 F(x，y)0 的解；以方程 F(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 那么，方程 F(x，y)0 称为_；曲线 C 称为_ 曲线C上的点的坐标曲线C的方程方程F(x，y)0的曲线1如果曲线与方程仅满足“以方程 F(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上”，会出现什么情况？举例说明 提示 如果曲线与方程仅满足“以方程 F(x，y)0 的解
4、为坐标的点都在曲线 C 上”，有可能扩大曲线的边界如方程 y 1x2表示的曲线是半圆，而非整圆 2如果曲线 C 的方程是 F(x，y)0，那么点 P(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是什么？提示 若点 P 在曲线 C 上，则 F(x0，y0)0；若 F(x0，y0)0，则点 P 在曲线 C 上，所以点 P(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是 F(x0，y0)0 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若以方程 F(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线上，则方程 F(x，y)0，即为曲线 C 的方程()(2)方程 xy20 是以 A(2，0)，B(0，2)为端点的线段的方程()(3)
5、在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得的曲线方程也不一样()(4)求轨迹方程就是求轨迹()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)曲线的方程必须满足两个条件(2)以方程的解为坐标的点不一定在线段 AB 上，如 M(4，6)就不在线段 AB 上(3)对于曲线上同一点，由于坐标系不同，该点的坐标就不一样，因此方程也不一样(4)求轨迹方程得出方程即可，求轨迹还要指出方程的曲线是什么图形 知识点 2 求曲线的方程的步骤 3解析几何研究的主要问题是什么？提示(1)由曲线求它的方程(2)利用方程研究曲线的性质 2平面上有三点 A(2，y)，B0，y2，C(x，y)若ABBC，则动点 C 的轨
6、迹方程为_ y28x(x0)AB2，y2，BCx，y2，由ABBC得 2xy240，即 y28x(x0)知识点 3 利用曲线的方程研究曲线的对称性及画法(1)由已知曲线的方程讨论曲线的对称性 设曲线 C 的方程为：F(x，y)0，一般有如下规律：如果以y 代替 y，方程保持不变，那么曲线关于 x 轴对称；如果以x 代替 x，方程保持不变，那么曲线关于 y 轴对称；如果同时以x 代替 x，以y 代替 y，方程保持不变，那么曲线关于原点对称 另外，易证如果曲线具有上述三种对称性中的任意两种，那么它一定还具有另一种对称性例如，如果曲线关于 x 轴和原点对称，那么它一定关于 y 轴对称事实上，设点 P
7、(x，y)在曲线上，因为曲线关于 x 轴对称，所以点 P1(x，y)必在曲线上；因为曲线关于原点对称，所以 P1 关于原点的对称点 P2(x，y)必在曲线上因为 P(x，y)，P2(x，y)都在曲线上，所以曲线关于 y 轴对称(2)根据曲线的方程画曲线 对于这类问题，往往要把方程进行同解变形注意方程的附加条件和 x，y 的取值范围，有时要把它看作 yf(x)的函数关系，利用作函数图像的方法画出图形 对于变形过程一定要注意其等价性，否则作出的曲线与方程不符 注意方程隐含的对称性特征，并充分予以运用，从而减少描点量 3方程 xy2x2y2x 所表示的曲线()A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称
8、C关于原点对称D关于直线 xy0 对称 C 将(x，y)代入 xy2x2y2x，方程不变，故选 C合作探究释疑难 NO.2类型1 类型2 类型3 类型4 类型 1 曲线与方程关系的应用 【例 1】已知方程 x2(y1)210(1)判断点 P(1，2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点 Mm2，m 在此方程表示的曲线上，求 m 的值 解(1)12(21)210，(2)2(31)2610，点 P(1，2)在方程 x2(y1)210 表示的曲线上，点 Q(2，3)不在方程 x2(y1)210 表示的曲线上(2)点 Mm2，m 在方程 x2(y1)210 表示的曲线上，xm2，ym 适
9、合上述方程，即m22(m1)210，解得 m2 或 m185，m 的值为 2 或185 1判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上2已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题 跟进训练 1若曲线 y2xy2xk 通过点(a，a)(aR)，则 k 的取值范围是_ 12，由曲线 y2xy2xk 通过点(a，a)，所以(a)2a(a)2ak，即 k2a22a2a12212，所以 k12 类型 2 利用方程研究曲线的性质 【例 2】已知曲线 C 的方程是 x4y21关于
10、曲线 C 的几何性质，给出下列三个结论：曲线 C 关于原点对称；曲线 C 关于直线 yx 对称；曲线 C 所围成的区域的面积大于 其中，所有正确结论的序号是_ 将方程中的 x 换成x，y 换成y 方程不变，所以曲线 C关于原点对称，故正确；将方程中的 x 换成 y，y 换成 x，方程变为 y4x21 与原方程不同，故错误；在曲线 C 上任取一点 M(x0，y0)，x40y201，|x0|1，x40 x20，x20y20 x40y201，即点 M 在圆 x2y21 外，故正确 故正确结论的序号是 讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面：(1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本
11、的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围；(2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点；(3)研究曲线的对称性(关于 x 轴、y 轴、原点)；(4)研究曲线的变化趋势，即 y 随 x 的增大或减小的变化情况；(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线 跟进训练 2画出方程 y x22|x|1的曲线 解 y x22|x|1|x|12|x|1|，易知 xR，y0 用x 代替 x，得|x|1|x|1|y，所以曲线关于
12、 y 轴对称 当 x0 时，y|x1|x1x1，1x0 x1，分段画出该方程的图像，即为 y 轴右侧的图像，再根据对称性，便可以得到方程 y x22|x|1的图像，如图所示 类型 3 直接法求曲线方程 【例 3】(对接教材人教 B 教 P120 例 4)已知平面上两定点 A，B，|AB|2a，平面上一动点 M 到 A，B 的距离之比为 21，求动点 M的轨迹方程 解 以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系(图略)设 A(a，0)，则 B(a，0)，设 M(x，y)为所求轨迹上任意一点，那么点 M属于集合 PM|MA|MB|21 由距离公式，得点 M
13、 适合的条件可表示为 xa2y2 xa2y221，两边平方化简，得 3x23y210ax3a20，即为动点 M 的轨迹方程 直接法求轨迹方程的 2 种常见类型及解题策略直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出 x，y 之间的关系并化简主要有以下两类常见题型：(1)题目给出等量关系，求轨迹方程可直接代入即可得出方程(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程可利用已知条件寻找等量关系，得出方程 提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程所表示的曲线上的点一个也不能多，一个也不能少 跟进训练 3如图，线段 AB 与 CD 互相垂直平分于点 O，|AB|2a(a0)，|CD
14、|2b(b0)，动点 P 满足|PA|PB|PC|PD|，求动点 P 的轨迹方程解 以 O 为坐标原点，直线 AB，CD 分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则 A(a，0)，B(a，0)，C(0，b)，D(0，b)，设 P(x，y)是曲线上的任意一点，由题意知，|PA|PB|PC|PD|，即 xa2y2xa2y2 x2yb2x2yb2，化简得 x2y2a2b22 故动点 P 的轨迹方程为 x2y2a2b22 类型 4 代入法求曲线方程 【例 4】已知动点 M 在曲线 x2y21 上移动，M 和定点 B(3，0)连线的中点为 P，求 P 点的轨迹方程 当所求动点 P 的运动很明显
15、地依赖于一已知曲线上的动点 Q 的运动时，怎样求 P 点的轨迹？提示 设所求动点 P 的坐标为(x，y)，再设与 P 相关的已知点坐标为 Q(x0，y0)，找出 P，Q 之间的坐标关系，并表示为 x0f(x)，y0f(y)，根据点 Q 的运动规律得出关于 x0，y0 的关系式，把 x0f(x)，y0f(y)代入关系式中，即得所求轨迹方程 解 设 P(x，y)，M(x0，y0)，P 为 MB 的中点 xx032，yy02，即x02x3，y02y，又M 在曲线 x2y21 上，(2x3)24y21，P 点的轨迹方程为(2x3)24y21 1(变换条件)本例中把条件“M 和定点 B(3，0)连线的中
16、点为 P”改为“MP 2PB”，求 P 点的轨迹方程 解 设 P(x，y)，M(x0，y0)，则MP(xx0，yy0)，PB(3x，y)，由MP 2PB得xx03x2，yy02y，由MP 2PB得xx03x2，yy02y，即x03x6，y03y，又M 在曲线 x2y21 上，(3x6)29y21，点 P 的轨迹方程为(3x6)29y21 2(变换条件)本例中把条件“M 和定点 B(3，0)连线的中点为 P”改为“一动点 P 和定点 B(3，0)连线的中点为 M”，试求动点 P 的轨迹方程 解 设 P(x，y)，M(x0，y0)，M 为 PB 的中点 x0 x32，y0y2，又M 在曲线 x2y
17、21 上，x322y221，即(x3)2y24，P 点轨迹方程为(x3)2y24 代入法求解曲线方程的步骤(1)设动点 P(x，y)，相关动点 M(x0，y0)；(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系x0fx，y，y0gx，y；(3)代入相关动点的轨迹方程；(4)化简、整理，得所求轨迹方程 其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”跟进训练 4设动点 P 是曲线 y2x21 上任意一点，定点 A(0，1)，点M 分 PA 所成的比为 21，则点 M 的轨迹方程是()Ay6x213 By3x213 Cy3x21Dx6y213 A 设点 M 的坐标为(x0，y0)，因为点 A(0，1)，点 M 分
18、 PA所成的比为 21，所以点 P 的坐标为(3x0，3y02)，代入曲线 y2x21，得 y06x2013，即点 M 的轨迹方程是 y6x213 当堂达标夯基础 NO.31 3 5 2 4 1下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是()A B C D 1 3 5 2 4 D 对于 A，点(0，1)满足方程，但不在曲线上，排除 A；对于 B，点(1，1)满足方程，但不在曲线上，排除 B；对于 C，曲线上第三象限的点，由于 x0，y0，不满足方程，排除 C 1 3 5 2 4 2若 M(1，2)在曲线 x2ay22 上，则 a 的值为()A14 B4 C13 D3 A 因为 M(1，
19、2)在曲线 x2ay22 上，代入曲线方程可得 a14 1 3 5 2 4 3(多选题)下列结论正确的是()A过点 A(3，0)且垂直于 x 轴的直线的方程为 x3 B到 x 轴距离为 3 的直线方程为 y3 C到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程为 xy1 DABC 的顶点 A(0，3)，B(1，0)，C(1，0)，D 为 BC 的中点，则中线 AD 所在直线的方程为 x0 1 3 5 2 4 ACD 易知 A 正确到 x 轴距离为 3 的直线方程还有一个为 y3，B 错误到两坐标轴的距离的乘积等于 1 的点的轨迹方程应为|x|y|1，即 xy1，C 正确易知中线 AD 所在直线的
20、方程为 x0，D 正确 1 3 5 2 4 4方程(x24)2(y24)20 表示的图形是_ 4 个点 由方程得x240，y240，表示 4 个点 1 3 5 2 4 5曲线 y 1x2和 yx 2公共点的个数为_ 1 由y 1x2，yx 2，得x 2 1x2，两边平方并整理得(2x1)20，所以 x 22，y 22，故公共点只有一个22，22 回顾本节知识，自我完成以下问题：1曲线的方程和方程的曲线必须满足哪两个条件？提示 曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上 2求得曲线方程后，如何避免出现“增解”或“漏解”？提示 在化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“漏解”或“增解”3曲线方程一般化简到什么程度？提示 方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程 F(x，y)0 化成 x，y 的整式如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点 4“轨迹”与“轨迹方程”有何异同？提示“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状 点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
