1、模块综合测评(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么()A它的首项是2，公差是3B它的首项是2，公差是3C它的首项是3，公差是2D它的首项是3，公差是2A由题意得即解得a12，d321与1的等比中项是()A1B1C1DC设x为1与1的等比中项，则x2(1)(1)1，x13一辆汽车按规律sat21做直线运动，若汽车在t2时的瞬时速度为12，则a()A B C2 D3D由sat21得v(t)s2at，依题意v(2)12，所以2a212，得a34曲
2、线f(x)4xx3在点(1，3)处的切线方程是()Ay7x4 Byx4Cy7x2 Dyx2Df(x)43x2，f(1)1，切线方程为y3x1，即yx25已知等差数列an的前n项和为Sn，若2a4a23，则S11()A30 B33 C36 D66Ba2a62a4，2a4a2a63，因此，S1111a611333故选B6已知等比数列an(a1a2)的公比为q，且a7，a1，a4成等差数列，则q等于()A1或BCD1B在等比数列an中，由a1a2，得q1，因为a7，a1，a4成等差数列，所以a7a42a1，即a4(q31)2，所以q6q320，解得q31(舍)或q32所以q7下列函数中，x0是其极值
3、点的函数是()Af(x)x3 Bf(x)cos xCf(x)sin xxDf(x)B对于A，f(x)3x20恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f(x)sin x，当x(，0)时，f(x)0，故f(x)cos x在x0的左侧区间(，0)内单调递减，在其右侧区间(0，)内单调递增，所以x0是f(x)的一个极小值点；对于C，f(x)cos x10恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)在x0处没有定义，所以x0不可能成为极值点综上可知，答案选B8设Sn为数列an的前n项和，且Sn(an1)(nN*)，则an()A3(3n2n) B3n2nC3n D32n1C由Sn(an1)(n
4、N*)可得Sn1(an11)(n2，nN*)，两式相减可得ananan1(n2，nN*)，即an3an1(n2，nN*)又a1S1(a11)，解得a13，所以数列an是以3为首项，3为公比的等比数列，则an3n二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9若直线yxb是函数f(x)图像的一条切线，则函数f(x)可以是()Af(x)Bf(x)x4Cf(x)sinxDf(x)exBCD直线yxb的斜率为k，由f(x)的导数为f(x)，即切线的斜率小于0，故A不正确；由f(x)x4的导数为f(x)4x
5、3，而4x3，解得x，故B正确；由f(x)sin x的导数为f(x)cos x，而cos x有解，故C正确；由f(x)ex的导数为f(x)ex，而ex，解得xln 2，故D正确，故选BCD10已知Sn是等差数列an的前n项和，且S32a1，则下列结论正确的是()Aa40BS4S3CS70Dan是递减数列ABC设等差数列an的公差为d，由S32a1，得3a13d2a1，即a13d0，所以a40，S4S3，S77a121d7(a13d)0，故选ABC11已知函数f(x)x2tan x，其导函数为f(x)，设g(x)f(x)cos x，则()Af(x)的图像关于原点对称Bf(x)在R上单调递增C2是
6、g(x)的一个周期Dg(x)在上的最小值为2ACf(x)x2tan x的定义域是，其定义域关于坐标原点对称，且f(x)x2tan(x)x2tan x(x2tan x)f(x)，所以f(x)是奇函数，所以f(x)的图像关于原点对称，故A项正确；由f(x)x2tan x，得f(x)1，则g(x)f(x)cos xcos xf(x)10恒成立，所以f(x)在(kZ)上单调递增，并不是在R上单调递增，故B项错误；由g(x)cos x，得函数g(x)的定义域是，g(x2)cos(x2)cos xg(x)，故C项正确；设tcos x，当x时，t(0，1)，此时h(t)g(x)t，t(0，1)，根据对勾函数
7、的单调性，h(t)在(0，1)上单调递减，g(x)h(1)3，故D项错误，故选AC12在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫作格点若函数图像恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数已知函数：ysin x; ycos；yex1；yx2其中为一阶格点函数的序号有()A B C DAC对于，注意到ysin x的值域是1，1；当sin x0时，xk(kZ)，此时相应的整数x0；当sin x1时，xk(kZ)，此时没有相应的整数x，因此函数ysin x仅过唯一的整点(0，0)，该函数是一阶格点函数同理可知，对于，函数ycos不是一阶格点函数对于，令yex1k(kZ)得exk10，xln(k1)，仅
8、当k0时，x0Z，因此函数yex1是一阶格点函数对于，注意到函数yx2的图像经过多个整点，如点(0，0)，(1，1)，因此函数yx2不是一阶格点函数综上所述知选AC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13已知正项递增等比数列an的前n项和为Sn，若a4a720，a4a764，则_设正项递增等比数列an的公比为q，且q1，由 ，且a7a4，解得： ，因为a7a4q3，即164q3，解得q34，所以14已知f(x)x(2 020ln x)，f(x0)2 021，则x0_1f(x)2 020ln x12 021ln x，又f(x0)2 021，f(x0)2 021
9、ln x02 021，则ln x00，x0115已知数列an的通项公式an(1)n(2n1)，则a1a2a3a10_10观察可知a1a22，a3a42，a9a102，故a1a2a3a101016函数f(x)sin 2x在原点(0，0)处的切线方程为_，请你举出与函数f(x)sin 2x在原点处具有相同切线的一个函数是_(本题第1空2分，第2空3分)y2xyx22x(答案不唯一)由f(x)sin 2x得f(x)2cos 2x，所以函数f(x)在原点(0，0)处的切线斜率为kf(0)2，所以函数f(x)在原点(0，0)处的切线方程为：y2x与函数f(x)sin 2x在原点处具有相同切线的一个函数，
10、则函数在原点(0，0)处的导数值为2的函数即可yx22x，y2x2，所以函数在原点(0，0)处的切线方程为：y2x四、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在S872，S56a2，S6S4a5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答问题：已知等差数列an的前n项和为Sn，a36，_，若数列bn满足bn2an，求数列bn的前n项和Tn注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解(1)选择，设公差为d，由S872，a36得， ，解得，所以an2n，又因为bn2an，所以bn22n4n，所以数列bn是以4为首项，4为公比的等比数
11、列，所以Tnb1b2bn41424n(4n1)(2)选择，设公差为d，因为S56a2，所以可得5a36a2，又因为a36，所以a25，所以d1，所以ann3又因为bn2an，所以bn2n382n，所以数列bn是以16为首项，2为公比的等比数列，所以Tnb1b2bn8(21222n)816(2n1)(3)选择，设公差为d，因为S6S4a5，可得S6S4a5，即a6a5a5，所以a60，又因为a36，所以d2所以an2n12又因为bn2an，所以bn22n1221222n，Tnb1b2bn21221221218(本小题满分12分)已知函数f(x)x32ax2bx，其中a、bR，且曲线yf(x)在点
12、(0，f(0)处的切线斜率为3(1)求b的值；(2)若函数f(x)在x1处取得极大值，求a的值解(1)f(x)a2x24axb，由题意得f(0)b3b3(2)函数f(x)在x1处取得极大值，f(1)a24a30，解得a1或a3当a1时，f(x)x24x3(x1)(x3)，x、f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值由上表知，函数f(x)在x1处取得极大值，符合题意当a3时，f(x)9x212x33(3x1)(x1)，x、f(x)、f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值由上表知，函数f(x)在x1处取得极
13、小值，不符合题意综上所述，若函数f(x)在x1处取得极大值，a的值为119(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，a26，Snan11(1)证明：数列Sn1为等比数列，并求出Sn；(2)求数列的前n项和Tn解(1)证明：由已知Sn(Sn1Sn)1，整理得Sn13Sn2，所以Sn113(Sn1)，令n1，得S1a214，所以S113，所以Sn1是以3为首项，3为公比的等比数列，所以Sn1(S11)3n13n，所以Sn3n1(2)由(1)知，Sn3n1，当n2时，anSnSn13n123n1，当n1时，a1S14，所以an 所以 所以Tn20(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种
14、商品，据调查统计，当投资额为x(x0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)a(x1)2，g(x)6ln(xb)(a0，b0)已知投资额为零时收益为零(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润解(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)a20，g(0)6ln b0，解得a2，b1(2)由(1)可得f(x)2x，g(x)6ln (x1)设投入经销B商品的资金为x万元(0x5)，则投入经销A商品的资金为(5x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)2(5x)6ln (x1
15、)6ln (x1)2x10(0x5)S(x)2，令S(x)0，得x2当0x2时，S(x)0，函数S(x)单调递增；当2x5时，S(x)0，函数S(x)单调递减所以，当x2时，函数S(x)取得最大值，S(x)maxS(2)6ln 3612.6万元所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元21(本小题满分12分)已知等差数列an满足a34，a56，数列log2bn是以1为首项，公差为1的等差数列(1)求an和bn；(2)若cnanbn，求数列cn的前n项和Tn解(1)设等差数列an的公差为d，依题意，2da5a3642，d1，a12，an2(n1)
16、1n1数列log2bn是以1为首项，公差为1的等差数列，log2bn1(n1)1n，即bn2n(2)由(1)得cn(n1)2n，Tn221322423(n1)2n，2Tn222323424n2n(n1)2n1，得Tn2212223242n(n1)2n12(n1)2n1n2n1，Tnn2n122(本小题满分12分)已知函数f(x)x33ax23x1(1)当a时，讨论f(x)的单调性；(2)若x2，)时，f(x)0，求a的取值范围解(1)当a时，f(x)x33x23x1，f(x)3x26x3令f(x)0，得x11，x21当x(，1)时，f(x)0，f(x)在(，1)上是增函数；当x(1，1)时，f(x)0，f(x)在(1，)上是增函数(2)由f(2)0，得a当a，x2，)时， f(x)3(x22ax1)33(x2)0，所以f(x)在2，)上是增函数，于是当x2，)时，f(x)f(2)0综上，a的取值范围是8
