1、1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(一)教材要点要点一空间距离的向量求法分类向量求法两点距 设 A，B 为空间中任意两点，则 d_点面距设平面的法向量为 n，B，A，则 B 点到平面的距离 d|ABn|n|AB|方法技巧|AB n|n|表示向量AB 在法向量 n方向上的投影的大小，因此，点 B 到平面的距离也可以表示成AB n|n|或AB n|n|.要点二 空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为a，b，则cos|cosa，b|ab|a|b|(0，2直线与平面所成的角设直线l与平面所成的角为，l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin|
2、cosa，n|an|a|n|0，2二面角设二面角l的平面角为，平面，的法向量为n1，n2，则|cos|cosn1，n2|n1n2|n1|n2|0，方法技巧用平面的法向量求线面角的大小时，直线与平面所成的角和法向量与直线的方向向量的夹角之间的关系要区分清楚，设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u，线面角为.(1)当 a，u为锐角时，sin cos a，ua u|a|u|；(2)当 a，u为钝角时，sin cos a，ua u|a|u|.上可知，sin|a u|a|u|.答疑解惑二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？条件平面，的法向量分别为 u，v，所构成的二面角的大小
3、为，u，v图形关系计算cos cos cos cos 基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等()(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cosn1，n2 n1n2|n1|n2|.()(3)平面外一点A到平面的距离，就是点A与平面内一点B所成向量AB的长度()(4)二面角l的大小为，平面，的法向量分别为n1，n2，则n1，n2()2若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120 B60C30 D以上均错解析：设直线l与平面所成的角为，则sin|cos
4、120|12，又090，30.答案：C3若二面角l的大小为120，那么平面的法向量与平面的法向量的夹角为()A120 B60C120或60 D30或150解析：二面角为120时，其法向量的夹角可能是60，也可能是120.答案：C4已知平面的一个法向量为n(2，2,1)，点A(1,3,0)在平面内，则点P(2,1,4)到平面的距离为_解析：A(1,3,0)，P(2,1,4)AP(1，2,4)点P到平面的距离为d|APn|n|244|9103.答案：103题型一求空间距离例 1如图，BCD 与MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD，AB平面 BCD，AB2 3.求点 A 到平
5、面 MBC的距离建系求平面 MBC 的法向量利用点到平面的距离公式求解解析：取CD的中点O，连接OB，OM，则OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，所以MO平面BCD.以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示因为BCD与MCD都是边长为2的正三角形，所以OBOM 3，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，3)，B(0，3，0)，A(0，3，2 3)，所以BC(1，3，0)，BM(0，3，3)，BA(0,0,2 3)设平面MBC的法向量为n(x，y，z)，由nBC，nBM，得nBC0，nBM 0，即x 3y0，3y 3z0
6、，取x3，可得平面MBC的一个法向量为n(3，1,1)又BA(0,0,2 3)，所以所求距离d|BAn|n|2 155.方法技巧线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行点面距的求解步骤：1求出该平面的一个法向量；2找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；3求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离变式训练 1已知三棱锥 OABC，OAOB，OBOC，OCOA，且 OA1，OB2，OC2，则点 A 到直线 BC 的距离为()A.2B.3C.5D3解析：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设
7、可知A(1,0,0)，B(0，2,0)，C(0,0,2)，AB(1,2,0)，BC(0，2,2)，|AB|140 5，|ABBC|BC|2.点A到直线BC的距离d 52 3.答案：B题型二求空间角探究 1求两条异面直线所成的角例 2如图所示，三棱柱 OABO1A1B1 中，平面 OBB1O1平面 OAB，O1OB60，AOB90，且 OBOO12，OA 3，则异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值的大小为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，3)，A(3，0,0)，A1(3，1，3)，B(0,2,0)，A1B(3，1，3)，O1A(3，1，3)|cosA
8、1B，O1A|A1B O1A|A1B|O1A|3，1，3 3，1，3|7 717.异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为17.答案：17探究 2求直线与平面所成的角例 3在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC1，AA12，E 为 BB1 中点(1)证明：ACD1E.(2)求 DE 与平面 AD1E 所成角的正弦值建系写点的坐标求平面 AD1E 的法向量利用线面角公式求解.解析：(1)证明：连接BD，B1D1，ABCDA1B1C1D1是长方体，D1D平面ABCD又AC平面ABCD，D1DAC在长方形ABCD中，ABBC，BDAC又BDD1DD，AC平面BB1D1D而D1E平面BB1D1
9、D，ACD1E.(2)如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,1)，B(1,1,0)，AE(0,1,1)，AD1(1,0,2)，DE(1,1,1)设平面AD1E的法向量为n(x，y，z)，则x2z0yz0令z1，则n(2，1,1)cosn，DE 2113 6 23所以DE与平面AD1E所成角的正弦值为 23.方法技巧求直线与平面所成角的步骤1分析图形关系，建立空间直角坐标系；2求出直线的方向向量 a 和平面的法向量 n；3求出夹角a，n；4判断直线和平面所成的角和a，n的关系，求出角.探究 3求二面角例 4如图所示，AE平面 ABCD，四边形 AEF
10、B 为矩形，BCAD，BAAD，AEAD2AB2BC4.(1)求证：CF平面 ADE；(2)求平面 CDF 与平面 AEFB 所成锐二面角的余弦值建系写点的坐标求平面 CDF 与平面 AEFB 的法向量利用二面角公式求解.解析：(1)证明：四边形ABFE为矩形BFAE又BF平面ADE，AE平面ADEBF平面ADE又BCAD，同理可得：BC平面ADE又BFBCB，BF，BC平面BCF平面BCF平面ADE又CF平面BCFCF平面ADE.(2)如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则C(2,2,0)，D(0,4,0)，F(2,0,4)AD(0,4,0)，CD(2,2,0)，CF(0，2,
11、4)设n(x，y，z)是平面CDF的一个法向量，则nCD 0nCF0即xy0y2z0 令y2，解得x2z1 n(2,2,1)又AD 是平面AEFB的一个法向量，cos n，AD nAD|n|AD|23平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为23.方法技巧利用法向量求二面角的大小的一般步骤1建立适当的空间直角坐标系2分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量3求出两个法向量的夹角的余弦值4确定二面角的平面角的大小，方法有：(1)根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而决定其余弦值的正负；(2)依据“同进同出互补，一进一出相等”求解；(3)在二面角的一个半平面内取一点 P，过
12、P 点作另一个半平面所在平面的垂线，若垂足在另一个半平面内，则所求二面角为锐二面角，若垂足在另一个半平面的反向延长面上，则所求二面角为钝二面角变式训练 2如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，ABAD，ABPA，BC2AB2AD4BE，平面 PAB平面 ABCD，直线 PE与平面 PAC 所成的角的正弦值为 55.(1)求异面直线 PB 与 CD 所成的角；(2)求二面角 APCD 的余弦值解析：平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，ABPA，PA平面ABCD，又ABAD，故可建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，不妨设BC4，AP(0)，则有D(0,2,0)，E(2,1,0
13、)，C(2,4,0)，P(0,0，)，AC(2,4,0)，AP(0,0，)，DE(2，1,0)，PE(2,1，)，DE AC4400，DE AP0，DEAC，DEAP，又ACAPA，DE平面PAC.平面PAC的一个法向量是DE(2，1,0)，设直线PE与平面PAC所成的角为，sin|cosPE，DE|415 52 55，解得2.0，2，即P(0,0,2)(1)B点的坐标为(2,0,0)，PB(2,0，2)，又DC(2,2,0)，cosPB，DC 444 4412，PB，DC 3，故异面直线PB与CD所成的角为3.(2)设平面PCD的法向量为n(x，y，z).DC(2,2,0)，DP(0，2,2
14、)，由n DC，n DP，得2x2y0，2y2z0，不妨令x1，则n(1，1，1)cosn，DE 213 5 155.显然二面角APCD的平面角是锐角，二面角APCD的余弦值为 155.易错辨析混淆二面角与面面角的大小例 5已知 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，设 PAABa，AD2a，求平面 BPC 与平面 DPC 夹角的余弦值解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(a,0,0)，C(a,2a,0)，P(0,0，a)，D(0,2a,0)，BC(0,2a,0)，BP(a,0，a)，CD(a,0,0)，PD(0,2a，a)设平面BPC、平面DPC的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，
15、n2(x2，y2，z2)，则有2ay10ax1az10 和ax20ay2az20.取n1(1,0,1)，n2(0,1,2)，则cosn1，n2 n1n2|n1|n2|105，故平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为 105.【易错警示】易错原因纠错心得本题易错的地方是认为平面 BPC 与平面 DPC 的夹角就是二面角 BPCD，得到错解：求得 cosn1，n2 n1n2|n1|n2|105 后，观察图形知二面角 BPCD 为钝角，得平面 BPC 与平面 DPC夹角的余弦值为 105.事实上，二面角的取值范围是0，面面角的取值范围是0，2，不要将两者混淆了.求二面角的大小时，通过求二面角两个半平面的法向量的夹角，把问题转化为向量的运算，需注意两法向量的夹角与二面角相等或互补，在解题中，可根据法向量的方向来进行判断，以便准确求出二面角的大小一般地，如果二面角为锐角，cos|cos|uv|u|v|；如果二面角为钝角，cos|cos|uv|u|v|(u，v 为二面角两个半平面的法向量).谢谢 观 看
