1、基础诊断考点突破课堂总结第5讲 推理与证明 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.了解合情推理的含义，掌握演绎推理的基本形式，能利用它们进行简单的推理；2.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；3.了解间接证明的一种基本方法反证法；4.了解数学归纳原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的对象具有某种性质，推出这类事物的对象都具有这种性质的推理由到、由到类比推理根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理由到部分全部部分整体个别一般特殊特殊基础诊断考点突破课堂总
2、结2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断特殊基础诊断考点突破课堂总结3直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质 由因导果执果索因充分成立基础诊断考点突破课堂总结框图表示PQ
3、1 Q1Q2 QnQQP1 P1P2 得到一个明显成立的条件文字语言因为所以 或由得要证只需证即证基础诊断考点突破课堂总结4.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法(1)反证法的定义：假设原命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立不成立矛盾原命题成立基础诊断考点突破课堂总结5数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证
4、明当n取时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立第一个值n0(n0N*)nk1基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(4)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()基础诊断考点突破课堂总结2(2014山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有
5、一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根解析 因为“方程x3axb0至少有一个实根”等价于“方程x3axb0的实根的个数大于或等于1”，所以要做的假设是“方程x3axb0没有实根”答案 A基础诊断考点突破课堂总结3用数学归纳法证明等式：123n2n4n22(nN*)，则从 nk 到 nk1 时，左边应添加的项为()Ak21B(k1)2C.k14k122D(k21)(k22)(k23)(k1)2基础诊断考点突破课堂总结解析 nk时，等式左边123k2，nk1时，等式左边123k2(k2
6、1)(k22)(k1)2.比较上述两个式子，nk1时，等式的左边是在假设nk时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k21)(k22)(k1)2.答案 D基础诊断考点突破课堂总结4(2014福建卷)已知集合a，b，c0,1,2，且下列三个关系：a2；b2；c0有且只有一个正确，则100a10bc等于_解析 可分下列三种情形：(1)若只有正确，则a2，b2，c0，又a2且b2，c2与c0矛盾，此时不合题意；(2)若只有正确，则a2，b2与集合中元素的互异性矛盾，此时不合题意；(3)若只有正确，则a2，b2，c0，即有a2，b0，c1(符合题意)100a10bc10021001201.答案 201基
7、础诊断考点突破课堂总结5在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，类比上述性质，在等比数列bn中，若b91，则b1b2b3bn_.答案 b1b2b3b4b17n(n17，nN*)基础诊断考点突破课堂总结考点一 合情推理与演绎推理 【例 1】(1)若数列an是等差数列，则数列bnbna1a2ann也为等差数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn 的表达式应为()Adnc1c2cnnBdnc1c2cnnCdnn cn1cn2cnnnDdnn c1c2cn基础诊断考点突破课堂总结(2)(2014海口调研)如图是按一定规律排
8、列的三角形等式表，现将等式从左至右，从上到下依次编上序号，即第一个等式为20213，第二个等式为20225，第三个等式为21226，第四个等式为20239，第五个等式为212310，依此类推，则第99个等式为()2021320225 2122620239 212310 222312202417 212418 222420 232424A272138 320B2721416 512C2821416 640D282138 448基础诊断考点突破课堂总结解析(1)法一 从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故 dn 的表达式为 dnn c1c2cn.法二 若an是等差数列，则
9、a1a2anna1nn12d，bna1n12dd2na1d2，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则 c1c2cncn1q12(n1)cn1 ，dnn c1c2cnc1 ，即dn为等比数列，故选 D.基础诊断考点突破课堂总结(2)依题意，用(t，s)表示 2t2s，题中的等式的规律为：第一行为 3(0,1)；第二行为 5(0,2)，6(1,2)；第三行为 9(0,3)，10(1,3)，12(2,3)；第四行为 17(0,4)，18(1,4)，20(2,4)，24(3,4)；，又因为 99(12313)8，因此第 99 个等式应位于第14 行的从左到右的第 8 个位置，即是 2721416 51
10、2，故选B.答案(1)D(2)B基础诊断考点突破课堂总结规律方法 1.合情推理的过程概括为从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想2归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(2015济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下：1 3 7 13 21 5 9 15 23 11 17 25 19 27 29 则第 30 行从左到右第 3 个数是_基础诊断考点突破课堂总结解析 先求第 30 行的第 1 个数，再求
11、第 30 行的第 3 个数观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第 30 行的第 1 个数是 146810603026021929.又第 n 行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大 2n，第 3 个数比第 2 个数大 2n2，所以第 30 行从左到右的第 2 个数比第 1 个数大 60，第 3个数比第 2 个数大 62，故第 30 行从左到右第 3 个数是 92960621 051.答案 1 051基础诊断考点突破课堂总结【例 2】数列an的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，an1n2nSn(nN*)证明：(1)数列Snn 是等比数列；(2)Sn14an.基础诊断考点突破课堂总结证明(1)
12、an1Sn1Sn，an1n2n Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即 nSn12(n1)Sn.Sn1n12Snn，又S11 10，(小前提)故Snn 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)基础诊断考点突破课堂总结(2)由(1)可知 Sn1n14 Sn1n1(n2)，Sn14(n1)Sn1n14n12n1 Sn14an(n2)，(小前提)又 a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数 n，都有 Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)基础诊断考点突破课堂总结规律方法 演绎推理是从一般到特
13、殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略基础诊断考点突破课堂总结【训练2】“因为对数函数ylogax是增函数(大前提)，而yx是对数函数(小前提)，所以yx是增函数(结论)”，以上推理的错误是()A大前提错误导致结论错误B小前提错误导致结论错误C推理形式错误导致结论错误D大前提和小前提错误导致结论错误解析 当a1时，函数ylogax是增函数；当0a1时，函数ylogax是减函数故大前提错误导致结论错误答案 A基础诊断考点突破课堂总结考点二 综合法与分析法【例 3】(1)已知 ab0，求证：2a3b32ab2a2b.(2)
14、设 a，b，c 均为正数，且 abc1，证明：abbcac13；a2b b2c c2a1.证明(1)要证明 2a3b32ab2a2b 成立，只需证：2a3b32ab2a2b0，即 2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.基础诊断考点突破课堂总结ab0，ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0 成立，2a3b32ab2a2b.(2)由 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac 得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即 a2b2c22ab2bc2ca1.所以 3(abbcca)1，即 abbcca13.基础诊断考点突破课堂总结 因为a
15、2b b2a，b2c c2b，c2aa2c，故a2b b2c c2a(abc)2(abc)，即a2b b2c c2aabc.所以a2b b2c c2a1.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱；(2)分析法采用逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法基础诊断考点突破课堂总结【
16、训练 3】设实数数列an的前 n 项和 Sn 满足 Sn1an1Sn(nN*)(1)若 a1，S2，2a2 成等比数列，求 S2 和 a3；(2)求证：对 k3 有 0ak1ak43.基础诊断考点突破课堂总结(1)解 由题意S222a1a2，S2a2S1a1a2，得 S222S2，由 S2 是等比中项知 S20.因此 S22.由 S2a3S3a3S2解得 a3 S2S21 22123.基础诊断考点突破课堂总结(2)证明 由题设条件有 Snan1an1Sn，故 Sn1，an11 且 an1 SnSn1，Sn an1an11，从而对 k3 有ak Sk1Sk11 ak1Sk2ak1Sk21ak1
17、ak1ak11ak1 ak1ak111a2k1a2k1ak11.基础诊断考点突破课堂总结因 a2k1ak11ak1122340 且 a2k10，由得 ak0.要证 ak43，由只要证a2k1a2k1ak1143，即证 3a2k14(a2k1ak11)，即(ak12)20，此式明显成立因此 ak43(k3)基础诊断考点突破课堂总结最后证 ak1ak，若不然 ak1a2ka2kak1ak，又因 ak0，故aka2kak11，即(ak1)20，矛盾因此 ak1ak(k3)综上，当 k3 时有 0ak1ak43.基础诊断考点突破课堂总结考点三 反证法的应用【例 4】等差数列an的前 n 项和为 Sn，
18、a11 2，S393 2.(1)求数列an的通项 an 与前 n 项和 Sn；(2)设 bnSnn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列基础诊断考点突破课堂总结(1)解 由已知得a1 21，3a13d93 2，d2，故 an2n1 2，Snn(n 2)(2)证明 由(1)得 bnSnn n 2.假设数列bn中存在三项 bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则 b2qbpbr.即(q 2)2(p 2)(r 2)(q2pr)2(2qpr)0.基础诊断考点突破课堂总结p，q，rN*，q2pr0，2qpr0.pr22pr，(pr)20.pr，与 pr 矛盾数
19、列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，明确作假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去基础诊断考点突破课堂总结【训练 4】设an是公比为 q 的等比数列(1)推导an的前 n 项和公式；(2)设 q1，证明数列an1不是等比数列(1)解 设an的前 n 项和为 Sn，当 q1 时，Sna1a1a1na1；当 q1 时，Sna1a1qa1q2a1q
20、n1.qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sna11qn1q，Snna1，q1，a11qn1q，q1.基础诊断考点突破课堂总结(2)证明 假设an1是等比数列，则对任意的 kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2k12ak11akak2akak21，a21q2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列基础诊断考点突破课堂总结考点四 数学归纳法及应用 【例 5】已知数列xn满足 x112，xn111xn，nN*.(1)猜想数列x2n的单调性，并证明你的结
21、论；(2)证明：xn1xn 1625n1.(1)解 由 x112及 xn111xn得 x223，x458，x61321.由 x2x4x6 猜想：数列x2n是递减数列基础诊断考点突破课堂总结下面用数学归纳法证明：当 n1 时，已证命题成立假设当 nk(k2 且 kN*)时命题成立，即 x2kx2k2，易 知 xn 0，那 么 x2k 2 x2k 4 11x2k1 11x2k3 x2k3x2k11x2k11x2k3x2kx2k21x2k1x2k11x2k21x2k30，即 x2(k1)x2(k1)2.也就是说，当 nk1 时命题也成立结合和知，命题成立基础诊断考点突破课堂总结(2)证明 当 n1
22、时，xn1xn|x2x1|16，结论成立；当 n2 时，易知 0 xn11，1xn12，xn11xn112，(1xn)(1xn1)111xn1(1xn1)2xn152，|xn1xn|11xn11xn1|xnxn1|1xn1xn1 25|xnxn1|252|xn1xn2|25n1|x2x1|1625n1.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据基础诊断考点突破课堂总结【训练 5】设数列an的前 n 项和为 Sn，且方程 x2anxan0 有一根为
23、Sn1(nN*)(1)求 a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出证明解(1)当 n1 时，方程 x2a1xa10 有一根为 S11a11，(a11)2a1(a11)a10，解得 a112.基础诊断考点突破课堂总结当 n2 时，方程 x2a2xa20 有一根为 S21a1a21a212，a2122a2a212 a20，解得 a216.(2)由题意知(Sn1)2an(Sn1)an0，当 n2 时，anSnSn1，代入上式整理得SnSn12Sn10，解得 Sn12Sn1.由(1)得 S1a112，S2a1a2121623.基础诊断考点突破课堂总结猜想 Sn nn1(nN*)下面用数学归纳法
24、证明这个结论当 n1 时，结论成立假设 nk(kN*，k1)时结论成立，即 Sk kk1，当 nk1 时，Sk112Sk12 kk1k1k2k1k11.即当 nk1 时结论成立由、知 Sn nn1对任意的正整数 n 都成立.基础诊断考点突破课堂总结【训练 6】(2012安徽卷改编)数列xn满足 x10，xn1x2nxnc(nN*)(1)证明：xn是递减数列的充要条件是 c0；(2)若 0c14，证明数列xn是递增数列证明(1)充分性：若 c0，由于 xn1x2nxncxncxn，数列xn是递减数列必要性：若xn是递减数列，则 x2x1，且 x10.又 x2x21x1cc，c0.故xn是递减数列
25、的充要条件是 c0.基础诊断考点突破课堂总结(2)若 0 xn，也就是证明 xn c.下面用数学归纳法证明当 0c14时，xn c对任意 n1 成立()当 n1 时，x10 c12，结论成立()假设当 nk(k1，kN*)时结论成立，即 xk c.因为函数 f(x)x2xc 在区间，12 内单调递增，所以 xk1f(xk)f(c)c，当 nk1 时，xk1 c成立基础诊断考点突破课堂总结故 xnxn，即xn是递增数列.基础诊断考点突破课堂总结思想方法1一般来说，由归纳和类比得到的结论未必正确，但出现在高考试题或者模拟试题中的归纳和类比，不会设计成漫无目标的归纳和类比试题，而是指向性很强、能得到
26、正确结论的归纳和类比问题考生在解答这类试题时，一定要在得出结论的过程中注重演绎推理的应用，不要被表面现象所迷惑基础诊断考点突破课堂总结2分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来3利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的基础诊断考点突破课堂总结4利用归纳假设的技巧，在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用基础诊断考点突破课堂总结易错防范1注意推理的严谨性，在证明过程中每一步推理都要有充分的依据，这些依据就是命题的已知条件和已经掌握了的数学结论，不可盲目使用正确性未知的自造结论在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等2在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设.
