1、高考资源网（） 您身边的高考专家第三节基本不等式最新考纲考情分析核心素养1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.本节是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件.1.数学运算2.逻辑推理3.数学建模知识梳理1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：a0，b0(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)2(a，b同号)(3)ab(a，bR)(4)(a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.3算术平均数与几何平均数设a0
2、，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数常用结论基本不等式的变形公式：ab2，ab(当且仅当ab时，等号成立)(a0，b0)a2(a0)(当且仅当a1时，等号成立)；a2(a0，b0，当且仅当ab时，等号成立)ab(a，bR，当且仅当ab时，等号成立)基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)ab成立的条件是ab0.()(3)“x0且y0”是“2”的充要条件. ()(4)若a0，则a3的最小值是2.()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修5P99例
3、1(2)改编)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A80B77C81D82答案：C3(必修5P100A组T2改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_m2.答案：25三、易错自纠4(2019届阜阳模拟)下列结论正确的是()A若a，bR，则2B若x0，则x2 4C若ab0，则abD若x2解析：选D对于A，当ab0时不成立，因此A选项不成立；对于B，若x0，则x24，当且仅当x2时，等号成立，因此B选项不成立；对于C，取a1，b2，ab3，因此C选项不成立；对于D，若x0，2x0，2x2x22成立故选D5已知a0，b0，且1，则a2b的最小值是()A32B3
4、2C2D4解析：选Ba0，b0，且1，则a2b(a2b)33232，当且仅当a1，b1时取等号故选B6(2019届沈阳模拟)已知实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值为_解析：因为x2y2xy1，所以x2y21xy.所以(xy)213xy13，当且仅当xy时等号成立，即(xy)24，解得2xy2.所以xy的最大值为2.答案：2多维探究利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容常见的命题角度有：(1)通过配凑法利用基本不等式求最值；(2)通过常数代换法利用基本不等式求最值；(3)通过消元法利
5、用基本不等式求最值；(4)利用两次基本不等式求最值命题角度一通过配凑法利用基本不等式求最值【例1】(1)(2020届惠州调研)已知x，则函数y4x的最小值为_(2)函数y(x1)的最小值为_解析(1)当x时，y4x4x55257，当且仅当4x5，即x时取等号，即y4x的最小值为7.(2)y(x1)222.当且仅当(x1)，即x1时，等号成立答案(1)7(2)22名师点津通过配凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键命题角度二通
6、过常数代换法利用基本不等式求最值【例2】(1)已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则的最小值是()A2B2C4D2(2)已知a0，b0，a2b3，则的最小值为_解析(1)因为lg 2xlg 8ylg 2，所以lg(2x8y)lg 2，所以2x3y2，所以x3y1.因为x0，y0，所以(x3y)2224，当且仅当x3y，即x，y时取等号所以的最小值为4.故选C(2)由a2b3得ab1，所以2 .当且仅当a2b，即a，b时取等号答案(1)C(2)名师点津通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)(2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1
7、”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式(4)利用基本不等式求解最值命题角度三通过消元法利用基本不等式求最值【例3】已知正数x，y，z满足x2y2z21，则s的最小值为_解析由条件得，x2y21z2(1z)(1z)，0z1，01z0，y0，x2y5，则的最小值为_解析2.由x2y5得52，即，即xy，当且仅当x2y时等号成立所以224，当且仅当2，即xy3时取等号，结合xy可知，xy可以取到3，故的最小值为4.答案4名师点津利用两次基本不等式求最值的注意点当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否都能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性|跟踪训练|1(201
8、9届常州调研)若实数x满足x4，则函数f(x)x的最小值为_解析：x4，x40，f(x)xx44242，当且仅当x4，即x1时取等号故函数f(x)x的最小值为2.答案：22若正数x，y满足x26xy10，则x2y的最小值是_解析：因为正数x，y满足x26xy10，所以y.由即解得0x1.所以x2yx2 ，当且仅当，即x，y时取等号故x2y的最小值为.答案：【例5】(2019届孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50x120)的关系可近似表示为y(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A，B两地相距120 km，假定该
9、型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解(1)当x50，80)时，y(x2130x4 900)(x65)2675，当x65时，y有最小值，为6759；当x80，120时，函数y12单调递减，故当x120时，y有最小值，为10.因为910，所以该型号汽车的速度为65 km/h时，每小时耗油量最低(2)设总耗油量为l，由题意可知ly，当x50，80)时，ly16，当且仅当x，即x70时，l取得最小值，最小值为16；当x80，120时，ly2为减函数，故当x120时，l取得最小值，最小值为10，因为100，0)，则的最小值为()A16B8C4D2解析由题意可知，4，又B，P，D三点共线，由三点共线的充分必要条件可得41，又因为0，0，所以(4)88216，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为16.故选A答案A名师点津利用基本不等式求最值常与向量、三角、直线与圆、数列等知识交汇考查，求解时注意交汇知识运用及等号成立条件的确定|跟踪训练|(2019届广东汕尾3月联考)若直线axby20(a0，b0)经过圆x2y22x4y10的圆心，则的最小值为()A4BCD6解析：选B把圆的一般方程化成标准方程得(x1)2(y2)24，圆心为(1，2)圆心(1，2)在直线axby20上，a2b2(a0，b0)，(a2b)52.故选B- 8 - 版权所有高考资源网
