1、变化率与导数知能提升导数是微积分的核心概念之一，学好导数必须正确理解变化率、导数的概念以及其几何意义，下面通过例题来对变化率与导数的知识进行归纳梳理，望能对同学有所启迪。1变化率问题例1 求在到之间的平均变化率（）。分析：本题的自变量在分母中出现，因此题目中给出了“”的条件，在一些特殊的情况下，如果题干中未给出这一条件，就需要进行分类讨论。本题只需直接套用公式就可以了。解析：当自变量从变到时，函数的平均变化率。评注：本题运算量相对较大，可对分子运用平方差公式。2瞬时速度问题例2 已知一物体的运动方程为，求此物体在和时的瞬时速度。分析：要求瞬时速度就是求，本题是分段函数，求解时要根据的取值选取函
2、数的解析式。解析：当时，当时的瞬时速度为6。当时，当时的瞬时速度为6。评注：在某时刻的速度即瞬时速度，应区别于平均速度。3切线问题例3 已知直线，求曲线上和已知直线垂直的切线方程。分析：利用斜率之间的关系求解。解析：所求切线与直线垂直，切线的斜率为。又，即切点为。故所求切线方程为，即。评注：充分利用垂直的条件和导数的几何意义是解决该类问题的关键。4倾斜角问题例4 已知曲线上的一点，则过点的切线的倾斜角为（ ）2 4 6分析：先求出切线的斜率，再确定倾斜角的大小。解析：， ，。点处切线的斜率等于1，故切线的倾斜角为。答案应选评注：若存在，则其为切线的斜率，切线自然存在，从而倾斜角可求。5面积问题例5 求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积。分析：由题意知切线与两坐标轴所围成的三角形为直角三角形，故需求出切线方程及其在两坐标轴上的截距。解析：，在点处的切线方程为，即。此切线与轴、轴的交点分别为，故所求三角形的面积为。评注：本题将曲线的切线与求三角形的面积联系在一起，可先作出草图，帮助解题。
