1、第二章 2.2 2.2.3 独立重复试验与二项分布 2 突破常考题型 题型一 1 理解教材新知 题型二 3 跨越高分障碍 4 应用落实体验 随堂即时演练 课时达标检测 知识点一 知识点二 2.2二项分布及其应用22.3 独立重复试验与二项分布独立重复试验提出问题要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验问题 1：试想每次试验的前提是什么？提示：条件相同问题 2：试验结果有哪些？提示：正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生问题 3：各次试验的结果有无影响？提示：无，即各次试验相互独立导入新知独立重复试验在条件下做的n次试验称为n次独立重复试验相同重复化解疑难对独立重复试验概念的理解(1)每次试
2、验都是在相同的条件下进行；(2)每次试验的结果相互独立；(3)每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生，要么不发生)，并且在任何一次试验中事件发生的概率均相等；二项分布在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮 3次，每次投篮的命中率都是 0.8.用 Ai(i1,2,3)表示第 i次投篮命中这件事，用 B1 表示仅投中 1 次这件事问题 1：试用 Ai表示 B1.提示：B1(A1 A 2 A 3)(A 1A2 A 3)(A 1 A 2A3)提出问题问题 2：试求 P(B1)提示：因为 P(A1)P(A2)P(A3)0.8，且 A1 A 2 A 3、A 1A2 A 3、A 1 A 2A3 两两互斥
3、，故 P(B1)P(A1 A 2 A 3)P(A 1A2 A 3)P(A 1 A 2A3)0.80.220.80.220.80.2230.80.22.问题 3：用 Bk 表示投中 k 次这件事，试求 P(B2)和P(B3)提示：P(B2)30.20.82，P(B3)0.83.问题 4：由以上结果你能得出什么结论？提示：P(Bk)Ck30.8k0.23k，k0,1,2,3.导入新知二项分布在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(Xk)(k0,1,2，n)此时称随机变量 X 服从二项分布，记作，并称 p 为Cknpk(1p)nkX
4、B(n，p)成功概率化解疑难二项分布实际上是对 n 次独立重复试验从概率分布的角度进一步阐述与 n 次独立重复试验恰有 k 次发生的概率相呼应，它应用十分广泛，利用二项分布的模型可以快速写出随机变量的概率分布列求有关二项分布的概率例 1 某安全监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格，则必须整改，设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是 0.5.计算：(1)恰有两家煤矿必须整改的概率；(2)至少有两家煤矿必须整改的概率解 设需整改的煤矿有 X 家，则 XB(5,0.5)(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率为：P(X2)C25(10.5)20.5
5、3 516.(2)“至少有两家煤矿必须整改”的对立事件为“5家都不用整改或只有一家必须整改”，其概率为：P(X0)P(X1)C05(10.5)00.55C15(10.5)10.54 316，所以至少有两家煤矿必须整改的概率为：1P(X0)P(X1)1 3161316.类题通法1二项分布的简单应用是求 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率解题的一般思路是：根据题意设出随机变量分析出随机变量服从二项分布找到参数 n，p写出二项分布的分布列将 k 值代入求解概率2二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率
6、的和，或者利用对立事件求概率活学活用1甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，求：(1)甲恰好击中目标 2 次的概率；(2)乙至少击中目标 2 次的概率；(3)乙恰好比甲多击中目标 2 次的概率解：(1)甲恰好击中目标 2 次的概率为 C2312212 38.(2)乙至少击中目标 2 次的概率为C2323213 C332332027.(3)设乙恰好比甲多击中目标 2 次为事件 A，乙恰好击中目标 2 次且甲恰好击中目标 0 次为事件 B1，乙恰好击中目标 3 次且甲恰好击中目标 1 次为事件 B2，则 AB1B2，B1，B2 为互斥事件P(A)P(
7、B1)P(B2)C2323213C03123C33233C1312 122 1181916.例 2 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有 60%，参加过计算机培训的有 75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响(1)任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选 3 名下岗人员，记 为 3 人中参加过培训的人数，求 的分布列求二项分布的分布列解 任选 1 名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件 A，“该人参加过计算机培训”为事件 B
8、，由题设知，事件 A与 B 相互独立，有 P(A)0.6，P(B)0.75.(1)法一：任选 1 名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 P1P(AB)P(A)P(B)0.40.250.1，所以该人参加过培训的概率是 P21P110.10.9.法二：任选 1 名下岗人员，该人参加过一项培训的概率是P3P(A B)P(A B)0.60.250.40.750.45.该人参加过两项培训的概率是 P4P(AB)0.60.750.45.所以该人参加过培训的概率是 P5P3P40.450.450.9.(2)因为每个人对培训项目的选择是相互独立的，所以3 人中参加过培训的人数 服从二项分布 B(3,0.9)
9、，P(k)Ck30.9k0.13k，k0,1,2,3，即 的分布列是0123P0.0010.0270.2430.729 类题通法解此类问题，一定要掌握如何建模，这一点至关重要，利用二项分布求解时，注意 n 是独立重复试验的次数，p是每次试验中某事件发生的概率活学活用2袋中有 8 个白球、2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球有放回抽样时，求取到黑球的个数 X 的分布列解：有放回抽样时，取到的黑球数 X 可能的取值为 0,1,2,3.又每次取到黑球的概率均为15，3 次取球可以看成 3 次独立重复试验，则 XB3，15.P(X0)C03150453 64125，P(X2)C23
10、152451 12125，P(X3)C33153450 1125.X 的分布列为X0123P64125481251212511256.理解“至少”“至多”中的误区 典例 某气象台预报每天天气的准确率为 0.8，则在未来3 天中，至少有 2 天预报准确的概率是_解析 至少有 2 天预报准确，即为恰有 2 天或恰有 3 天预报准确概率为 C230.820.2C330.830.896.所以至少有 2 天预报准确的概率为 0.896.答案 0.896易错防范1求解时对“至少有 2 天”的含义理解出错，误认为“恰有 2 天”，实际是“恰有 2 天”和“有 3 天”两种情况2在解题过程中，要明确事件中的“
11、至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义成功破障在本例条件下，求至少有一个连续 2 天预报都准确的概率是多少？解：至少有一个连续 2 天预报都准确，即为恰有一个连续2 天预报都准确或 3 天预报都准确，概率为：20.820.20.830.768.所以至少有一个连续2天预报都准确的概率为 0.768.随堂即时演练1任意抛掷三枚硬币，恰有两枚正面朝上的概率为()A.34 B.38C.13D.14解析：每枚硬币正面朝上的概率为12，正面朝上的次数XB3，12，故所求概率为 C231221238.答案：B2某电子管正品率为34，次品率为14，现对
12、该批电子管进行测试，设第 次首次测到正品，则 P(3)()AC2314234BC2334214C.14234D.34214解析：3 表示第 3 次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是14234.答案：C3下列说法正确的是_某同学投篮的命中率为 0.6，他 10 次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且 XB(10,0.6)；某福彩的中奖概率为 P，某人一次买了 8 张，中奖张数X 是一个随机变量，且 XB(8，P)；从装有 5 个红球、5 个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数 X 是随机变量，且 XBn，12.解析：显然满足独立重复试验的条件，而虽然是有放回地摸
13、球，但随机变量 X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义答案：4设 XB(4，p)，且 P(X2)827，那么一次试验成功的概率p 等于_解析：P(X2)C24p2(1p)2 827，即 p2(1p)2132232，解得 p13或 p23.答案：13或235甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是23和34，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响(1)求甲射击 4 次，至少 1 次未击中目标的概率；(2)求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率解：设“甲、乙两人各射击一次目标击中分别记为 A、B”，则 P(A)23，P(B)34.(1)甲射击 4 次，全击中目标的概率为C44P4(A)1P(A)023 41681.所以甲射击 4 次至少 1 次未击中目标的概率为116816581.(2)甲、乙各射击 4 次，甲恰好击中 2 次，概率为C24P2(A)1P(A)2623 213 2 827.乙恰好击中 3 次，概率为 C34P3(B)1P(B)12764.故所求概率为 827276418.课时达标检测
