1、章末检测一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分)1在ABC 中，E、F 分别为 AB，AC 的中点，则有 EFBC，这个问题的大前提为_答案 三角形的中位线平行于第三边解析 这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF 为ABC 的中位线；结论：EFBC.2对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22133213542135723353379114313151719根据上述分解规律，若 m213511，n3 的分解中最小的正整数是 21，则 mn_.答案 11解析 m2135111112636，m6.2335,337911，4
2、313151719，532123252729，n3 的分解中最小的数是 21，n353，n5，mn6511.3用反证法证明命题“2 3是无理数”时，其反证假设是_答案 2 3是有理数解析 应对结论进行否定，则 2 3不是无理数，即 2 3是有理数4已知 f(x1)2fxfx2，f(1)1(xN*)，猜想 f(x)的表达式为_答案 2x1解析 当 x1 时，f(2)2f1f1223 221，当 x2 时，f(3)2f2f2224 231；当 x3 时，f(4)2f3f3225 241，故可猜想 f(x)2x1.5对“a，b，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；
3、ab 与 bc 及 ac 中至少有一个成立；ac，bc，ab 不能同时成立其中判断正确的个数为_答案 1解析 若(ab)2(bc)2(ca)20，则 abc，与“a，b，c 是不全相等的正数”矛盾，故正确ab 与 bc 及 ac 中最多只能有一个成立，故不正确由于“a，b，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故不正确6我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体下列几何体中，一定属于相似体的有_个两个球体；两个长方体；两个正四面体；两个正三棱柱；两个正四棱锥答案 2解析 类比相似形中的对应边成比例知
4、，属于相似体7数列an满足 a112，an111an，则 a2015 等于_答案 1解析 a112，an111an，a211a11，a311a22，a411a312，a51 1a41，a611a52，an3kan(nN*，kN*)a2015a23671a21.8若数列an中，a11，a235，a37911，a413151719，则 a8_.答案 512解析 由 a1，a2，a3，a4 的形式可归纳：12347717228，a8 的首项应为第 29 个正奇数，即 229157.a85759616365676971857712512.9在数列an中，a11，且 Sn，Sn1,2S1 成等差数列(S
5、n 表示数列an的前 n 项和)，则 S2，S3，S4 分别为_，猜想 Sn_.答案 32，74，158 2n12n1(nN*)解析 由 Sn，Sn1,2S1 成等差数列，得 2Sn1Sn2S1，因为 S1a11，所以 2Sn1Sn2.令 n1，则 2S2S12123S232，同理，分别令 n2，n3，可求得 S374，S4158.由 S1121120，S23222121，S37423122，S4158 24123，猜想 Sn2n12n1.10黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第 n 个图案中有白色地面砖的块数是_答案 4n2解 观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地
6、板砖，相应的白地板砖就增加四个，因此第 n 个图案中有白色地面砖的块数是一个“以 6 为首项，公差是 4 的等差数列的第 n 项”故第 n 个图案中有白色地面砖的块数是 4n2.11观察下列等式：(11)21(21)(22)2213(31)(32)(33)23135按此规律，第 n 个等式可为_答案(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)12f(n)112131n(nN*)，经计算得 f(2)32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，推测当 n2 时，有_答案 f(2n)2n2(n2)解析 观测 f(n)中 n 的规律为 2k(k1,2，)不等式右侧分别为2k2
7、，k1,2，f(2n)2n2(n2)13已知223223，338338，4 4154415，若6ab6ab(a，b 均为实数)，推测 a_，b_.答案 6 35解析 由前面三个等式，推测被开方数的整数与分数的关系，发现规律由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是分子的平方减 1，由此推测6ab中，a6，b62135，即 a6，b35.14在平面几何中，ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为AEEBACBC，把这个结论类比到空间：在三棱锥 ABCD 中(如图所示)，面 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 相交于 E，则得到的类比的结论是_答案 AEEBSACDSBCD
8、解析 CE 平分ACB，而面 CDE 平分二面角 ACDB.ACBC可类比成SACDSBCD，故结论为AEEBSACDSBCD.二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分)15(14 分)已知 a、b、c 是互不相等的非零实数求证三个方程 ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0 至少有一个方程有两个相异实根证明 反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则 14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.相加有 a22abb2b22bcc2c22aca20，(ab)2(bc)2(ca)20.由题意 a、b、c 互不相等，式不能成立假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两
9、个相异实根16(14 分)设数列an是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的前 n 项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明 假设数列Sn是等比数列，则 S22S1S3，即 a21(1q)2a1a1(1qq2)，因为 a10，所以(1q)21qq2，即 q0，这与公比 q0 矛盾，所以数列Sn不是等比数列(2)解 当 q1 时，Snna1，故Sn是等差数列；当 q1 时，Sn不是等差数列，否则 2S2S1S3，即 2a1(1q)a1a1(1qq2)，得 q0，这与公比 q0 矛盾17(14 分)请你把不等式“若 a1，a2 是正实数，则有a21a2a2
10、2a1a1a2”推广到一般情形，并证明你的结论解 推广的结论：若 a1，a2，an 都是正实数，则有a21a2a22a3a2n1an a2na1a1a2an.证明：a1，a2，an 都是正实数，a21a2a22a1；a22a3a32a2；a2n1an an2an1；a2na1a12an，a21a2a22a3a2n1an a2na1a1a2an.18(16 分)已知 a，b，c 为正数，且 f(n)lganbncn3，求证：2f(n)f(2n)证明 要证 2f(n)f(2n)只需证anbncn32a2nb2nc2n3即证(anbncn)23(a2nb2nc2n)即 2anbn2cnbn2ancn
11、2(a2nb2nc2n)a2nb2n2anbn，a2nc2n2ancn，b2nc2n2bncn2anbn2cnbn2ancn2(a2nb2nc2n)原不等式成立19(16 分)正实数数列an中，a11，a25，且a2n成等差数列证明数列an中有无穷多项为无理数证明 由已知有：a2n124(n1)，从而 an 124n1，取 n1242k1，则 an 1242k(kN*)用反证法证明这些 an 都是无理数假设 an 1242k为有理数，则 an 必为正整数，且 an24k，故 an24k1，an24k1，与(an24k)(an24k)1 矛盾，所以 an 1242k(kN*)都是无理数，即数列an中有无穷多项为无理数20(16 分)设 a，b，c 为一个三角形的三条边，s12(abc)，且 s22ab，试证：s2a.证明 要证 s2a，由于 s22ab，所以只需证 ss2b，即证 bs.因为 s12(abc)，所以只需证 2babc，即证 bac.由于 a，b，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立，于是原命题成立
