1、基础诊断考点突破课堂总结第5讲 几何概型基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.随机数的意义，模拟方法估计概率，A级要求；2.几何概型的意义及计算，A级要求基础诊断考点突破课堂总结1几何概型事件A发生的概率与d的成正比，与d的无关，这样的概率模型称为几何概型2几何概型中，事件A的概率计算公式为3几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有；(2)等可能性：每个结果的发生具有P(A).d的测度D的测度测度形状和位置无限多个等可能性基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)在几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点
2、，该区域中的每一点被取到的机会相等()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()基础诊断考点突破课堂总结2(2014湖南卷改编)在区间2,3上随机选取一个数X，则X1的概率为_解析 2,3的区间长度为 5，满足 X1 的区间长度为 3，P35.答案 35基础诊断考点突破课堂总结3(2015泰州调研)已知球O内切于棱长为2的正方体，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为_解析 由题意知球的半径为 1，其体积为 V 球43，正方体的体积为 V 正方体238，则这一点不
3、在球内的概率 P1438 16.答案 16基础诊断考点突破课堂总结4(苏教版必修 3P109T4 改编)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点 B，则劣弧的长度小于 1 的概率为_解析 如图可设与的长度等于 1，则由几何概型可知其整体事件是其周长 3，则其概率是23.答案 23基础诊断考点突破课堂总结5(2015镇江调研)如图，圆中有一内接等腰三角形假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为_解析 设圆的半径为 R，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为 2R，则所求事件的概率为：PS阴S圆12 2R 2RR21.答案 1基础诊断考点突破课堂总
4、结考点一 与长度、角度有关的几何概型【例1】(1)(2014苏北四市调研)函数f(x)x22x，x1,3，则 任 取 一 点 x0 1,3，使 得 f(x0)0 的 概 率 为_(2)如图，在等腰直角ABC中，过直角顶点C作射线CM交AB于M，则使得AM小于AC的概率为_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由1x3，x22x0，得 0 x2，因此所求的概率为203112.(2)当 AMAC 时，ACM 为以A 为顶点的等腰三角形，ACM18045267.5.当ACM67.5时，AMAC，所以 AM 小于 AC 的概率 PACM的度数ACB的度数67.590 34.答案(1)12(2)34基础诊断
5、考点突破课堂总结规律方法(1)设线段 l 是线段 L 的一部分，向线段 L 上任投一点，点落在线段 l 上的概率为 Pl的长度L的长度.(2)当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(2015信阳二模)设 A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与 A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是_答案 12解析 作等腰直角AOC 和AMC，B 为圆上任一点，则当点 B 在 上运动时，弦长 AB 2R，P12.基础诊断考点突破课堂总结考点二 与面积、体积有关的几何概型【例2】(1)(20
6、15东北三省四市联考)已知点P，Q为圆C：x2y225上的任意两点，且PQ6，若PQ中点组成的区域为M，在 圆 C 内 任 取 一 点，则 该 点 落 在 区 域 M 上 的 概 率 为_(2)(2014济南模拟)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，有一动点 在此长方体内随机 运动，则此动点 在三棱椎 AA1BD内的概率为_基础诊断考点突破课堂总结解析(1)PQ 中点组成的区域为 M，如图阴影部分所示，那么在C 内部任取一点落在 M 内的概率为251625 925.(2)因为 VAA1BDVA1ABD13SABDAA116S 矩形 ABCDAA116V 长方体，故所求概率为VAA1BDV
7、长方体16.答案(1)925(2)16基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合(2)对于基本事件在空间的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】设不等式组0 x2，0y2表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是_解析 如图所示，正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D，且区域 D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域 D 内到原点距离大于 2 的区域，易
8、知该阴影部分的面积为 4，因此满足条件的概率是44.答案 14基础诊断考点突破课堂总结考点三 生活中的几何概型问题【例3】甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为_基础诊断考点突破课堂总结解析 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y，记事件 A 为“两船都不需要等待码头空出”，则 0 x24,0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达 1 h 以上或乙比甲早到达 2 h 以上，即 yx1 或 xy2.故所求事件构成集合 A(x，y)
9、|yx1或 xy2，x0,24，y0,24A 为图中阴影部分，全部结果构成集合 为边长是 24 的正方形及其内部所求概率为 P(A)A的面积的面积241212242212242506.5576 1 0131 152.答案 1 0131 152基础诊断考点突破课堂总结规律方法 有关会面问题利用数形结合转化成面积问题的几何概型，难点是把两个时间分别用x，y表示，构成平面内的点(x，y)，从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的面积问题，转化成面积型几何概型问题基础诊断考点突破课堂总结【训练3】张先生订了一份报纸，送报人在早上6：307：30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7：00
10、8：00之间，则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是_基础诊断考点突破课堂总结解析 以横坐标 x 表示报纸送到时间，以纵坐标 y 表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，因为随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件根据题意只要点落到阴影部分，就表示张先生在离开家前能得到报纸，即所求事件 A 发生，所以P(A)111212121178.答案 78 基础诊断考点突破课堂总结思想方法转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；基础诊断考点突破课堂总结(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型基础诊断考点突破课堂总结易错防范1注意区分几何概型和古典概型，一般地，当问题涉及的数字是离散的、有限的取值时，是古典概型；当问题涉及的数在一个连续的实数区间内取值时，可以考虑使用几何概型解决2在几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.
