1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第 5 讲 椭 圆 概要课堂小结考点四例4训练4结束放映返回目录第2页 判断正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()夯基释疑结束放映返回目录第3页 考点突破解析(1)由条件知|PM|PF|.|PO|PF|PO|PM|OM|R|OF|.P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆 考点一 椭圆的定义及其应用【例 1】(1)(2015枣
2、庄模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆(2)见下一页利用定义法判断结束放映返回目录第4页 考点突破|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2.|PF1|PF2|2b2，考点一 椭圆的定义及其应用【例 1】(2)已知 F1，F2 是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且PF1PF2.若
3、PF1F2 的面积为 9，则 b_(2)由题意知|PF1|PF2|2a，PF1PF2，利用椭圆的定义SPF1F212|PF1|PF2|122b2b29.b3.答案(1)A(2)3 结束放映返回目录第5页 考点突破规律方法 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等 考点一 椭圆的定义及其应用结束放映返回目录第6页 考点突破【训练 1】(1)(2015丽水模拟)已知 F1，F2 是椭圆x216y291
4、 的两焦点，过点 F2 的直线交椭圆于 A，B 两点，在AF1B 中，若有两边之和是 10，则第三边的长度为()A6 B5 C4 D3(2)(2015保定一模)与圆 C1：(x3)2y21 外切，且与圆 C2：(x3)2y281 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为_解析(1)由椭圆定义知，|AF1|AF2|8，|BF1|BF2|8，考点一 椭圆的定义及其应用两式相加得|AB|AF1|BF1|16，即AF1B周长为16，又因为在AF1B中，有两边之和是10，所以第三边长度为16106.选A 结束放映返回目录第7页 考点突破【训练 1】(1)(2015丽水模拟)已知 F1，F2 是椭圆x216y29
5、1 的两焦点，过点 F2 的直线交椭圆于 A，B 两点，在AF1B 中，若有两边之和是 10，则第三边的长度为()A6 B5 C4 D3(2)(2015保定一模)与圆 C1：(x3)2y21 外切，且与圆 C2：(x3)2y281 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为_得点 P 的轨迹方程为x225y2161.考点一 椭圆的定义及其应用(2)设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|，即P在以C1(3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，答案(1)A(2)x225y2161结束放映返回目录第8页 考点突破考点二 椭
6、圆的标准方程【例 2】(1)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为 22.过 F1 的直线 l 交 C 于 A，B两点，且ABF2 的周长为 16，那么椭圆 C 的方程为_(2)已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，且过点 A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为_解析(1)设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，由 e 22，知ca 22，故b2a212.椭圆 C 的方程为x216y281.由于ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a16，故a4.b28，深度思考 求椭圆方程
7、除定义外一般采用待定系数法本例第(2)小题可有两种方法：一是分类，二是不分类，关键在于方程的设法上，不妨一试结束放映返回目录第9页 考点突破考点二 椭圆的标准方程【例 2】(2)已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，且过点 A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为_(2)法一 若椭圆的焦点在 x 轴上，设方程为x2a2y2b21(ab0)由题意得2a32b，9a2 0b21，解得a3，b1.所以椭圆的标准方程为x29 y21.若焦点在 y 轴上，设方程为y2a2x2b21(ab0)由题意得2a32b，0a2 9b21，解得a9，b3.所以椭圆的标准方程为y281x29 1.综上所述
8、，椭圆的标准方程为x29 y21 或y281x29 1.结束放映返回目录第10页 考点突破考点二 椭圆的标准方程【例 2】(2)已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，且过点 A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为_法二 设椭圆的方程为x2my2n1(m0，n0，mn)，则由题意知9m1，2 m32 n或9m1，2 n32 m，解得m9，n1或m9，n81.椭圆的标准方程为x29 y21 或y281x29 1.答案(1)x216y281(2)x29 y21 或y281x29 1结束放映返回目录第11页 考点突破考点二 椭圆的标准方程规律方法 根据条件求椭圆方程常用的主要方法是定义法
9、和待定系数法定义法的要点是根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.结束放映返回目录第12页 考点突破【训练 2】求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆x24 y231 有相同的离心率且经过点(2，3)；(2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5，3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点32，52，()3，5.考点二 椭圆的标准方程解(1)由题意,设所求椭圆的方程为x24 y23t1 或y24x23 t2(t1,t20),椭圆过点(2，3)，t1224(3)23
10、2，或 t2(3)24223 2512.故所求椭圆标准方程为x28 y261 或y2253x22541.结束放映返回目录第13页 考点突破【训练 2】求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆x24 y231 有相同的离心率且经过点(2，3)；(2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5，3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点32，52，()3，5.考点二 椭圆的标准方程设所求的椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)或y2a2x2b21(ab0)，由已知条件得2a53，(2c)25232，故椭圆方程为x216y2121 或y216x
11、2121.(2)由于焦点的位置不确定，解得a4，c2，b212.结束放映返回目录第14页 考点突破【训练 2】求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)与椭圆x24 y231 有相同的离心率且经过点(2，3)；(2)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5，3，过 P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；(3)经过两点32，52，()3，5.考点二 椭圆的标准方程由322m 522n1，3m5n1，解得 m16，n 110.椭圆方程为y210 x26 1.(3)设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)，结束放映返回目录第15页 考点突破考点三 椭圆的几何性质【
12、例 3】(1)(2014江西卷)设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左右焦点为 F1，F2，过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A，B 两点，F1B 与y 轴相交于点 D，若 ADF1B，则椭圆 C 的离心率等于_(2)见下一页解析(1)由题意知 F1(c，0)，F2(c，0)，其中 c a2b2，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为 Ac，b2a，Bc，b2a 所以点 D 的坐标为0，b22a，因为过F2且与x轴垂直的直线xc，因为AB平行于y轴，且|F1O|OF2|，所以|F1D|DB|，即D为线段F1B的中点，结束放映返回目录第16页 考点突破考点三 椭圆的几何性质【例 3】(
13、1)(2014江西卷)设椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左右焦点为 F1，F2，过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交于 A，B 两点，F1B 与y 轴相交于点 D，若 ADF1B，则椭圆 C 的离心率等于_(2)见下一页即b2a b22ac0b2a 0c(c)1，整理得 3b22ac，所以 3(a2，c2)2 ac，又 eca且 0e1，又ADF1B，所以kADkF1B 1，所以 3e22e 30，解得 e 33(e 3舍去).结束放映返回目录第17页 考点突破考点三 椭圆的几何性质【例 3】(2)(2014包头测试与评估)已知椭圆x2a2y2b21 的左顶点为A，左焦点为 F，点
14、P 为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为 2，离心率 e12，则APFP的取值范围是_所以 a2.因为离心率 e12，所以 c1，b a2c2 3，则椭圆方程为x24 y231，设 P(x，y)，则APFP(x2，y)(x1，y)x23x2y2.(2)因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以A点的坐标为(2，0)，F点的坐标为(1，0)由椭圆方程得 y2334x2，所以APFPx23x34x2514(x6)24，因为 x2，2，所以APFP0，12答案(1)33 (2)0，12结束放映返回目录第18页 考点突破规律方法(1)求椭圆的离心率的方法：直接求出a，c来求解e.通过已知条件
15、列出方程组，解出a，c的值；构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；通过取特殊值或特殊位置，求出离心率(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb，0e1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系 考点三 椭圆的几何性质结束放映返回目录第19页 考点突破因为直线l与圆C2：x2(y3)21相切，【训练 3】已知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P 为 C1 上任一点，MN 是圆 C2：x2(y3)21 的一条直径，与 AF 平行且在 y 轴上的截距为 3 2的直
16、线 l 恰好与圆 C2 相切(1)求椭圆 C1 的离心率；(2)若PM PN 的最大值为 49，求椭圆 C1 的方程解(1)由题意可知，直线 l 的方程为 bxcy(3 2)c0，所以 d|3c3c 2c|b2c21，考点三 椭圆的几何性质从而 e 22.化简得c2b2，即a22c2，结束放映返回目录第20页 考点突破【训练 3】已知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P 为 C1 上任一点，MN 是圆 C2：x2(y3)21 的一条直径，与 AF 平行且在 y 轴上的截距为 3 2的直线 l 恰好与圆 C2 相切(2)若PM PN 的最大值为 49，求椭圆
17、C1 的方程考点三 椭圆的几何性质(2)设P(x，y)，圆C2的圆心记为C2，则 x22c2y2c21(c0)，又因为PM PN(PC2C2M)(PC2C2N)PC 22C2N 2x2(y3)21(y3)22c217(cyc)当c3时，(PM PN)max172c249，解得 c4，此时椭圆方程为x232y2161；当 0c3 时，(PM PN)max(c3)2172c249，解得 c5 23.但 c5 230，且 c5 233，故舍去综上所述，椭圆 C1 的方程为x232y2161.(PC2C2N)(PC2C2N)结束放映返回目录第21页 考点突破考点四 直线与椭圆的位置关系【例 4】(20
18、14四川卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F(2，0)，离心率为 63.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 O 为坐标原点，T 为直线 x3 上一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P，Q.当四边形 OPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQ的面积解(1)由已知可得，ca 63，c2，所以 a 6.又由 a2b2c2，解得 b 2，所以椭圆 C 的标准方程是x26 y221.(2)设T点的坐标为(3，m)，则直线 TF 的斜率 kTFm03(2)m.结束放映返回目录第22页 考点突破考点四 直线与椭圆的位置关系【例 4】(2014四川卷)已知椭圆 C：x2a2y
19、2b21(ab0)的左焦点为 F(2，0)，离心率为 63.(2)设 O 为坐标原点，T 为直线 x3 上一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P，Q.当四边形 OPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面积当 m0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ1m，得xmy2，x26 y221.消去 x，直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得(m23)y24my20，结束放映返回目录第23页 考点突破考点四 直线与椭圆的位置关系【例 4】(2014四川卷)已知椭圆 C：x2a2y2
20、b21(ab0)的左焦点为 F(2，0)，离心率为 63.(2)设 O 为坐标原点，T 为直线 x3 上一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P，Q.当四边形 OPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面积所以 y1y2 4mm23，y1y2 2m23，x1x2m(y1y2)4 12m23.其判别式16m28(m23)0.因为四边形OPTQ是平行四边形，所以OP QT，即(x1，y1)(3x2，my2)所以x1x2 12m233，y1y2 4mm23m.解得m1.结束放映返回目录第24页 考点突破考点四 直线与椭圆的位置关系【例 4】(2014四川卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(
21、ab0)的左焦点为 F(2，0)，离心率为 63.(2)设 O 为坐标原点，T 为直线 x3 上一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P，Q.当四边形 OPTQ 是平行四边形时，求四边形 OPTQ 的面积此时，S 四边形 OPTQ2SOPQ212|OF|y1y2|24mm2324 2m232 3.结束放映返回目录第25页 考点突破考点四 直线与椭圆的位置关系规律方法(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单(2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，
22、y1)，B(x2，y2)，则|AB|(1k2)(x1x2)24x1x211k2(y1y2)24y1y2(k 为直线斜率)提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式结束放映返回目录第26页 考点突破(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，【训练 4】已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，其中左焦点 F(2，0)(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 yxm 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB的中点 M 在圆 x2y21 上，求 m 的值解(1)由题意，得ca 22，c2
23、，a2b2c2.解得a2 2，b2.椭圆 C 的方程为x28 y241.考点四 直线与椭圆的位置关系结束放映返回目录第27页 考点突破消去y得，3x24mx2m280，【训练 4】已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，其中左焦点 F(2，0)(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 yxm 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且线段 AB的中点 M 在圆 x2y21 上，求 m 的值由x28 y241，yxm.2 3m0，结束放映返回目录第28页 思想方法课堂小结1椭圆定义的集合语言：PM|MF1|MF2|2a，2a|F1F2|往往是解决计算问题的关键，如果题目的条件能转化
24、为动点到两定点距离和为常数的问题可考虑利用椭圆定义，或涉及到椭圆上的点到焦点的距离，也可考虑椭圆定义.2求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法)先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2ny21(m0，n0且mn)结束放映返回目录第29页 易错防范课堂小结1在解关于离心率 e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率 e(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根2注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2y2b21(ab0)上点的坐标为 P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因结束放映返回目录第30页（见教辅）
