1、单元质量测试(二)时间:120分钟满分:150分第卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1函数f(x)ln x的定义域为()A(0,) B(1,)C(0,1) D(0,1)(1,)答案B解析自变量x满足即x1,定义域为(1,) 2幂函数f(x)kx的图象过点,则k()A. B1 C. D2答案C解析由幂函数的定义知k1.又f,所以,解得,从而k.3已知曲线yx3ax1在点(1,2a)处的切线斜率为2,则a等于()A5 B1 C5 D1答案D解析由题意知y|x1(3x2a)|x1a32,则a1.4下列函数中既是奇函数,又是定义域内的减函数的是()Af(x)xl
2、g 2 Bf(x)x|x|Cf(x)sinx Df(x)答案B解析A中,函数f(x)xlg 2是增函数;B中,画图可知函数f(x)x|x|是奇函数,且是减函数;C中,函数f(x)sinx不单调;D中,函数f(x)的定义域是(0,),是非奇非偶函数故选B.5已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)4,且f(x)的导函数f(x)3ln x1的解集为()A(1,) B(0,e) C(0,1) D(e,)答案B解析设g(x)f(x)3x1,则g(x)f(x)3.由题意,得g(x)3ln x1可以转化为f(ln x)3ln x10,即g(ln x)0g(1),所以解得0xe.6已知函数f(x)的定义域是
3、的定义域为()A C. D.答案C解析已知函数f(x)的定义域是C(,1)(0,1) D8定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x),f(x)f(x4),且x(1,0)时,f(x)2x,则f(log220)()A1 B. C1 D答案C解析9已知f(x)x2cosx,f(x)为f(x)的导函数,则f(x)的图象大致为()答案A解析因为f(x)x2cosx,所以f(x)xsinx,这是一个奇函数,图象关于原点对称,故排除B、D,又f(1)sin1sin0,f(x)的图象大致为A.10“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0,)内单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分
4、必要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析充分性:当a0时,f(x)|(ax1)x|ax2x为图象开口向上的二次函数,且图象的对称轴为直线x,故f(x)在(0,)上为增函数;当a0时,f(x)x为增函数必要性:当a0时,f0,f(0)0,f(x)在(0,)上为增函数,则0,即af(x),且yf(x)1为奇函数,则不等式f(x)f(x),所以函数h(x)是R上的减函数,所以不等式f(x)ex等价于1,即h(x)0,故选B.12已知函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的对称中心为M(x0,y0),记函数f(x)的导函数为f(x),f(x)的导函数为f(x),则有f(x0)0.若函数f(x)x33
5、x2,则fffff()A8066 B4033 C8066 D4033答案A解析由f(x)x33x2得f(x)3x26x,得f(x)6x6,又f(x0)0,所以x01,且f(1)2,即函数f(x)的对称中心为(1,2),即f(x)f(2x)4.令Sfffff,则Sfffff,所以2S4033(4)16132,S8066.第卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13已知函数f(x)ln xf(1)x23x4,则f(1)_.答案8解析f(x)2f(1)x3,f(1)12f(1)3,f(1)2,f(1)1438.14若函数f(x)(m2)x2(m1)x2是偶函数,则
6、f(x)的递增区间是_答案(,0解析函数f(x)(m2)x2(m1)x2是偶函数,所以m1,则函数f(x)x22,其单调递增区间是(,015设f(x)是周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)2x(1x),则f_.答案解析因为f(x)是奇函数,且当0x1时,f(x)2x(1x),所以当1x0时,0x1,f(x)2x(1x)f(x),即f(x)2x(1x)又f(x)的周期为2,所以fff2.16对于任意实数a,b,定义mina,b设函数f(x)x3,g(x)log2x,则函数h(x)minf(x),g(x)的最大值是_答案1解析依题意,h(x)当02时,h(x)3x是减函数,h(x)在x2时,取得
7、最大值h(2)1.三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)函数f(x)(a0,x0)(1)判断函数f(x)在(0,)上的单调性;(2)若函数f(x)在上的值域是,求a,m的值解(1)设x1x20,则x1x20,x1x20,f(x1)f(x2)0,f(x1)f(x2)函数f(x)是(0,)上的单调递增函数(2)由(1)得f(x)在上是单调递增函数,函数f(x)在上的值域是,f,f(2)m,即2,且m,解得a,m2.18(本小题满分12分)设二次函数f(x)ax2bxc的图象过点(0,1)和(1,4),且对于任意的实数x,不等式f(x)4
8、x恒成立(1)求函数f(x)的表达式;(2)设g(x)kx1,若F(x)log2在区间上是增函数,求实数k的取值范围解(1)f(0)c1,f(1)abc4,f(x)ax2(3a)x1.f(x)4x即ax2(a1)x10恒成立得解得a1.f(x)x22x1.(2)F(x)log2log2由F(x)在区间上是增函数,得h(x)x2(k2)x在区间上为增函数且恒为正实数,解得k6.实数k的取值范围为(本小题满分12分)已知函数f(x)是(,)上的奇函数,且f(x)的图象关于x1对称,当x时,f(x)2x1.(1)当x时,求f(x)的解析式;(2)计算f(0)f(1)f(2)f(2017)的值解(1)
9、当x时,2x,又f(x)的图象关于x1对称,则f(x)f(2x)22x1,x(2)函数f(x)为奇函数,则f(x)f(x),又函数f(x)的图象关于x1对称,则f(2x)f(x)f(x),所以f(4x)ff(2x)f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数f(0)0,f(1)1,f(2)0,f(3)f(1)f(1)1,又f(x)是以4为周期的周期函数f(0)f(1)f(2)f(2017)504(0101)f(0)f(1)1.20(本小题满分12分)据统计,某种汽车的最高车速为120千米/时,在匀速行驶时每小时的耗油量y(升)与行驶速度x(千米/时)之间有如下函数关系:yx3x8.已知甲、乙两
10、地相距100千米(1)若汽车以40千米/时的速度匀速行驶,则从甲地到乙地需耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?解(1)当x40时,汽车从甲地到乙地行驶了2.5(小时),需耗油2.517.5(升),所以汽车以40千米/时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地需耗油17.5升(2)当汽车的行驶速度为x千米/时时,从甲地到乙地需行驶小时设耗油量为h(x)升,依题意,得h(x)x2,其中,0x120.h(x)(0x120)令h(x)0,得x80.因为当x(0,80)时,h(x)0,h(x)是增函数,所以当x80时,h(x)取得最小值,且h(80)11.25.所以
11、当汽车以80千米/时的速度行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升21(本小题满分12分)已知函数f(x)ln (exa)(a为常数,e为自然对数的底数)是实数集R上的奇函数(1)求实数a的值;(2)讨论关于x的方程x22exm的根的个数解(1)f(x)ln (exa)是奇函数,f(x)f(x),即ln (exa)ln (exa)恒成立,(exa)(exa)1,1aexaexa21,即a(exexa)0恒成立,故a0.(2)由(1)知方程x22exm,即x22exm.令f1(x),f2(x)x22exm,则f1(x),当x(0,e时,f1(x)0,yf1(x)在(0,e上为增函数;当x
12、(e,)时,f1(x)0,b0,a1,b1)(1)设a2,b.求方程f(x)2的根;若对于任意xR,不等式f(2x)mf(x)6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0a1,函数g(x)f(x)2有且只有1个零点,求ab的值解(1)因为a2,b,所以f(x)2x2x.方程f(x)2,即2x2x2,亦即(2x)222x10,所以(2x1)20,于是2x1,解得x0.由条件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x)22.因为f(2x)mf(x)6对于xR恒成立,且f(x)0,所以m对于xR恒成立而f(x)24,且4,所以m4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)f(x)2只有1个零点,而g(0)f(0)2a0b020,所以0是函数g(x)的唯一零点因为g(x)axln abxln b,又由0a1知ln a0,令h(x)g(x),则h(x)(axln abxln b)ax(ln a)2bx(ln b)2,从而对任意xR,h(x)0,所以g(x)h(x)是(,)上的单调增函数于是当x(,x0)时,g(x)g(x0)0.因而函数g(x)在(,x0)上是单调减函数,在(x0,)上是单调增函数下证x00.又0,所以x10,同理可得,在和logb2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾因此,x00.于是1,故ln aln b0,所以ab1.