1、单元质量测试(二)时间：120分钟满分：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1函数f(x)ln x的定义域为()A(0，) B(1，)C(0,1) D(0,1)(1，)答案B解析自变量x满足即x1，定义域为(1，) 2幂函数f(x)kx的图象过点，则k()A. B1 C. D2答案C解析由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.3已知曲线yx3ax1在点(1,2a)处的切线斜率为2，则a等于()A5 B1 C5 D1答案D解析由题意知y|x1(3x2a)|x1a32，则a1.4下列函数中既是奇函数，又是定义域内的减函数的是()Af(x)xl
2、g 2 Bf(x)x|x|Cf(x)sinx Df(x)答案B解析A中，函数f(x)xlg 2是增函数；B中，画图可知函数f(x)x|x|是奇函数，且是减函数；C中，函数f(x)sinx不单调；D中，函数f(x)的定义域是(0，)，是非奇非偶函数故选B.5已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)4，且f(x)的导函数f(x)3ln x1的解集为()A(1，) B(0，e) C(0,1) D(e，)答案B解析设g(x)f(x)3x1，则g(x)f(x)3.由题意，得g(x)3ln x1可以转化为f(ln x)3ln x10，即g(ln x)0g(1)，所以解得0xe.6已知函数f(x)的定义域是
3、的定义域为()A C. D.答案C解析已知函数f(x)的定义域是C(，1)(0,1) D8定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(x)f(x4)，且x(1,0)时，f(x)2x，则f(log220)()A1 B. C1 D答案C解析9已知f(x)x2cosx，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图象大致为()答案A解析因为f(x)x2cosx，所以f(x)xsinx，这是一个奇函数，图象关于原点对称，故排除B、D，又f(1)sin1sin0，f(x)的图象大致为A.10“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分
4、必要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析充分性：当a0时，f(x)|(ax1)x|ax2x为图象开口向上的二次函数，且图象的对称轴为直线x，故f(x)在(0，)上为增函数；当a0时，f(x)x为增函数必要性：当a0时，f0，f(0)0，f(x)在(0，)上为增函数，则0，即af(x)，且yf(x)1为奇函数，则不等式f(x)f(x)，所以函数h(x)是R上的减函数，所以不等式f(x)ex等价于1，即h(x)0，故选B.12已知函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的对称中心为M(x0，y0)，记函数f(x)的导函数为f(x)，f(x)的导函数为f(x)，则有f(x0)0.若函数f(x)x33
5、x2，则fffff()A8066 B4033 C8066 D4033答案A解析由f(x)x33x2得f(x)3x26x，得f(x)6x6，又f(x0)0，所以x01，且f(1)2，即函数f(x)的对称中心为(1，2)，即f(x)f(2x)4.令Sfffff，则Sfffff，所以2S4033(4)16132，S8066.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知函数f(x)ln xf(1)x23x4，则f(1)_.答案8解析f(x)2f(1)x3，f(1)12f(1)3，f(1)2，f(1)1438.14若函数f(x)(m2)x2(m1)x2是偶函数，则
6、f(x)的递增区间是_答案(，0解析函数f(x)(m2)x2(m1)x2是偶函数，所以m1，则函数f(x)x22，其单调递增区间是(，015设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f_.答案解析因为f(x)是奇函数，且当0x1时，f(x)2x(1x)，所以当1x0时，0x1，f(x)2x(1x)f(x)，即f(x)2x(1x)又f(x)的周期为2，所以fff2.16对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_答案1解析依题意，h(x)当02时，h(x)3x是减函数，h(x)在x2时，取得
7、最大值h(2)1.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)函数f(x)(a0，x0)(1)判断函数f(x)在(0，)上的单调性；(2)若函数f(x)在上的值域是，求a，m的值解(1)设x1x20，则x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)函数f(x)是(0，)上的单调递增函数(2)由(1)得f(x)在上是单调递增函数，函数f(x)在上的值域是，f，f(2)m，即2，且m，解得a，m2.18(本小题满分12分)设二次函数f(x)ax2bxc的图象过点(0,1)和(1,4)，且对于任意的实数x，不等式f(x)4
8、x恒成立(1)求函数f(x)的表达式；(2)设g(x)kx1，若F(x)log2在区间上是增函数，求实数k的取值范围解(1)f(0)c1，f(1)abc4，f(x)ax2(3a)x1.f(x)4x即ax2(a1)x10恒成立得解得a1.f(x)x22x1.(2)F(x)log2log2由F(x)在区间上是增函数，得h(x)x2(k2)x在区间上为增函数且恒为正实数，解得k6.实数k的取值范围为(本小题满分12分)已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于x1对称，当x时，f(x)2x1.(1)当x时，求f(x)的解析式；(2)计算f(0)f(1)f(2)f(2017)的值解(1)
9、当x时，2x，又f(x)的图象关于x1对称，则f(x)f(2x)22x1，x(2)函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，又函数f(x)的图象关于x1对称，则f(2x)f(x)f(x)，所以f(4x)ff(2x)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1，又f(x)是以4为周期的周期函数f(0)f(1)f(2)f(2017)504(0101)f(0)f(1)1.20(本小题满分12分)据统计，某种汽车的最高车速为120千米/时，在匀速行驶时每小时的耗油量y(升)与行驶速度x(千米/时)之间有如下函数关系：yx3x8.已知甲、乙两
10、地相距100千米(1)若汽车以40千米/时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解(1)当x40时，汽车从甲地到乙地行驶了2.5(小时)，需耗油2.517.5(升)，所以汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地需耗油17.5升(2)当汽车的行驶速度为x千米/时时，从甲地到乙地需行驶小时设耗油量为h(x)升，依题意，得h(x)x2，其中，0x120.h(x)(0x120)令h(x)0，得x80.因为当x(0,80)时，h(x)0，h(x)是增函数，所以当x80时，h(x)取得最小值，且h(80)11.25.所以
11、当汽车以80千米/时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升21(本小题满分12分)已知函数f(x)ln (exa)(a为常数，e为自然对数的底数)是实数集R上的奇函数(1)求实数a的值；(2)讨论关于x的方程x22exm的根的个数解(1)f(x)ln (exa)是奇函数，f(x)f(x)，即ln (exa)ln (exa)恒成立，(exa)(exa)1，1aexaexa21，即a(exexa)0恒成立，故a0.(2)由(1)知方程x22exm，即x22exm.令f1(x)，f2(x)x22exm，则f1(x)，当x(0，e时，f1(x)0，yf1(x)在(0，e上为增函数；当x
12、(e，)时，f1(x)0，b0，a1，b1)(1)设a2，b.求方程f(x)2的根；若对于任意xR，不等式f(2x)mf(x)6恒成立，求实数m的最大值；(2)若0a1，函数g(x)f(x)2有且只有1个零点，求ab的值解(1)因为a2，b，所以f(x)2x2x.方程f(x)2，即2x2x2，亦即(2x)222x10，所以(2x1)20，于是2x1，解得x0.由条件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x)22.因为f(2x)mf(x)6对于xR恒成立，且f(x)0，所以m对于xR恒成立而f(x)24，且4，所以m4，故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)f(x)2只有1个零点，而g(0)f(0)2a0b020，所以0是函数g(x)的唯一零点因为g(x)axln abxln b，又由0a1知ln a0，令h(x)g(x)，则h(x)(axln abxln b)ax(ln a)2bx(ln b)2，从而对任意xR，h(x)0，所以g(x)h(x)是(，)上的单调增函数于是当x(，x0)时，g(x)g(x0)0.因而函数g(x)在(，x0)上是单调减函数，在(x0，)上是单调增函数下证x00.又0，所以x10，同理可得，在和logb2之间存在g(x)的非0的零点，矛盾因此，x00.于是1，故ln aln b0，所以ab1.