1、31 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念内 容 标 准学 科 素 养1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程；2.理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.严格数学定义适当转化化归提升数学运算01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 复数的概念及代数表示预习教材P102103，思考并完成以下问题为解决方程x22在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x210在实数系中无根的问题呢？提示：设想引入新数i，使i是方
2、程x210的根，即ii1，方程x210有解，同时得到一些新数知识梳理(1)复数定义：把集合 Cabi|a，bR中的数，即形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 i 叫做，a 叫做复数的，b 叫做复数的表示方法：复数通常用字母表示，即.(a，bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式(2)复数集定义：所成的集合叫做复数集表示：通常用大写字母表示虚数单位实部虚部zzabi 全体复数C 知识点二 两个复数相等的充要条件知识梳理 在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi(a，b，c，dR)，我们规定：abi与cdi相等的充要条件是.ac且bd知识点三 复数的分类知识梳理(1)复数(abi，
3、a，bR)实数b0虚数b0纯虚数a0非纯虚数a0(2)集合表示：思考：虚数为什么不能比较大小？提示：引入虚数单位i后，规定i21，但i与0的大小关系不能确定理由如下：若i0，则2ii，两边同乘i，得2i2i2，即21，与实数系中数的大小规定相矛盾；若i0，则212ii2iiii21，与实数系中数的大小规定也是矛盾的故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分自我检测1若复数(a1)(a21)i(aR)是实数，则a()A1 B1 C1 D不存在解析：(a1)(a21)i(aR)为实数的充要条件是a210，所以a1.答案：C2已知2aib3i(a，bR)(i为虚数单位)，则ab()A5 B6 C1 D
4、1解析：由题意得b2，a3，所以ab1.答案：D3已知复数za2(2a3)i(aR)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是_解析：a22a3，解得a3或a1.答案：(，1)(3，)探究一 复数的概念例1(1)给出下列三个命题：若zC，则z20；2i1虚部是2i；2i的实部是0.其中真命题的个数为()A0 B1 C2 D3(2)若aR，i为虚数单位，则“a1”是“复数(a1)(a2)(a3)i为纯虚数”的()A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分又不必要条件解析(1)对于，当zR时，z20成立，否则不成立，如zi，z210，所以为假命题；对于，2i112i，其虚部为2，不是2i，所以
5、为假命题；对于，2i02i，其实部是0，所以为真命题(2)当a1时，复数(a1)(a2)(a3)i4i为纯虚数，当复数(a1)(a2)(a3)i为纯虚数时，a1或a2，所以选C.答案(1)B(2)C方法技巧(1)复数的代数形式：若zabi，只有当a，bR时，a才是z的实数，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答跟踪探究 1.写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是
6、纯虚数：4,23i，1243i,5 2i,6i.解析：4,23i，1243i,5 2i,6i的实部分别是4,2，12，5,0；虚部分别是0，3，43，2，6.其中4是实数；23i，1243i,5 2i,6i是虚数，其中6i是纯虚数探究二 复数的分类例2 当m为何实数时，复数zm2m6m3(m22m15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数解析(1)当m30，m22m150即m5且m3时，z是虚数(2)当m2m6m30，m22m150，即m3或m2时，z是纯虚数延伸探究 1.本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？解析：当m30，m22m150，即m5时，z是实数2本例中条件不变，若z0，求m的值.
7、解析：因为z0，所以z为实数，需满足m2m6m30，m22m150，解得m5.方法技巧 解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可(3)下结论：设所给复数为zabi(a，bR)，z为实数b0；z为虚数b0；z为纯虚数a0且b0.跟踪探究 2.记I为虚数集，设a，bR，x，yI，则下列类比所得的结论正确的是()A由a bR，类比得xyIB由(ab)2a22abb2，类比得(xy)2x22xyy
8、2C由a20，类比得x20D由ab0ab，类比得xy0 xy解析：A：取xyi，可知A错误；B：正确；C：取xi，可知C错误；D：错误，虚数是不能比较大小的答案：B探究三 复数相等例3 已知集合P5，(m22m)(m2m2)i，Q4i,5，若PQPQ，求实数m的值解析 由题意知PQ，所以(m22m)(m2m2)i4i，所以m22m0，m2m24，解得m2.方法技巧(1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，dR，即当a，b，c，dR时，abicdiac且bd.若忽略前提条件，则结论不成立(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数
9、问题来求解跟踪探究 3.(1)若(xy)yi(x1)i，求实数x，y的值；(2)已知a2(m2i)a2mi0(mR)成立，求实数a的值；(3)若关于x的方程3x2a2x1(10 x2x2)i有实根，求实数a的值解析：(1)由复数相等的充要条件，得xy0，yx1，解得 x12，y12.(2)因为a，mR，所以由a2am2(2am)i0，可得a2am20，2am0，解得a 2，m2 2 或a 2，m2 2，所以a 2.(3)设方程的实根为xm，则原方程可变为3m2a2m1(10m2m2)i，所以3m2a2m10，10m2m20，解得a11或715.课后小结(1)对于复数zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况(2)两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断素养培优忽略复数的概念比较大小致误易错案例：已知复数x21(y1)i大于复数2x3(y21)i，试求实数x，y的取值范围易错分析：虚数不能比较大小，因此，若已知两个复数大小，则两复数必须是实数，忽略这一点很容易混淆概念致误考查数学概念、数学运算等核心素养自我纠正：因为x21(y1)i2x3(y21)i，所以y10，y210，且x212x3，解得y1且x1 5或x1 5，即实数x，y的取值范围是x1 5或x1 5，y1.04 课时 跟踪训练
