1、课时作业(十四)椭圆、双曲线、抛物线 1(2017浙江卷)椭圆x29y241 的离心率是()A.133 B.53 C.23 D.59 解析:椭圆方程为x29y241,a3,c a2b2 94 5.eca 53.故选 B.答案:B 2已知 k4,则曲线x29y241 和 x29k y24k1 有()A相同的准线 B相同的焦点 C相同的离心率 D相同的长轴 解析:k0,b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24 所截得的弦长为 2,则 C 的离心率为()A2 B.3 C.2 D.2 33 解析:设双曲线的一条渐近线方程为 ybax,圆的圆心为(2,0),半径为 2,由弦长为 2 得出圆心到渐近线的距离
2、为 2212 3.根据点到直线的距离公式得|2b|a2b2 3,解得 b23a2.所以 C 的离心率 eca c2a2 1b2a22.答案:A 8已知实数 4,m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 x2y2m1 的离心率为()A.306 B.7 C.306 或 7 D.56或 7 解析:实数 4,m,9 构成一个等比数列,m249,解得 m6.当 m6 时,圆锥曲线为 x2y261 表示椭圆,其中 a26,b21,离心率 eca1ba2116 306,当 m6 时,圆锥曲线为 x2y261 表示双曲线,其中 a21,b26,离心率 eca1ba2 16 7.答案:C 9(2017石家庄市教学质
3、量检测二)已知直线 l 与双曲线 C:x2y22 的两条渐近线分别交于 A,B 两点,若 AB 的中点在该双曲线上,O 为坐标原点,则AOB 的面积为()A.12 B1 C2 D4 解析:由题意得,双曲线的两条渐近线方程为 yx,设 A(x1,x1)、B(x2,x2),AB中点坐标为x1x22,x1x22,x1x222x1x2222,即 x1x22,SAOB12|OA|OB|12|2x1|2x2|x1x22,故选 C.答案:C 10已知 F1,F2分别是椭圆 C:x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点,若椭圆 C 上存在点 P,使得线段 PF1的中垂线恰好经过焦点 F2,则椭圆 C 离心率的
4、取值范围是()A.23,1 B.13,22 C.13,1 D.0,13 解析:如图所示,线段 PF1的中垂线经过 F2,PF2F1F22c,即椭圆上存在一点 P,使得 PF22c.ac2cac.eca13,1.答案:C 11(2017北京卷)若双曲线 x2y2m1 的离心率为 3,则实数 m_.解析:由双曲线的标准方程可知 a21,b2m,c 1m,故双曲线的离心率 eca 1m 3,1m3,解得 m2.答案:2 12(2017全国卷)已知双曲线 C:x2a2y2b21(a0,b0)的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为半径作圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M,N 两点若MAN
5、60,则 C 的离心率为_ 解析:双曲线的右顶点为 A(a,0),一条渐近线的方程为 ybax,即 bxay0,圆心 A到此渐近线的距离 d|baa0|b2a2abc,因为MAN60,圆的半径为 b,所以 bsin60abc,即 32 babc,所以 e 232 33.答案:2 33 13(2017 全国卷)已知 F 是抛物线 C:y28x 的焦点,M 是 C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点,则|FN|_.解析:通解 依题意,抛物线 C:y28x 的焦点 F(2,0),准线 x2,因为 M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N,M 为 FN 的中点
6、,设 M(a,b)(b0),所以 a1,b2 2,所以 N(0,4 2),|FN|4326.优解 依题意,抛物线 C:y28x 的焦点 F(2,0),准线 x2,因为 M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N,M 为 FN 的中点,则点 M 的横坐标为 1,所以|MF|1(2)3,|FN|2|MF|6.答案:6 14过点 M(2,2p)作抛物线 x22py(p0)的两条切线,切点分别为 A,B,若线段 AB的中点纵坐标为 6,则 p 的值是_ 解析:设过点 M 的抛物线的切线方程为:y2pk(x2)与抛物线的方程 x22py 联立 消 y 得:x22pkx4pk4p20,.根据题意
7、可得,此方程的判别式等于 0,pk24k4p0.设切线的斜率分别为 k1,k2,则 k1k24p,此时,方程有唯一解为 x2pk21 pk,yx22ppk22 2(kp)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 12y1y22(k1k2)4p8p4p,p23p20,解得 p1 或 p2.答案:1 或 2 15已知椭圆x2a2y2b21(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线 AF2交椭圆于另一点 B.(1)若F1AB90,求椭圆的离心率;(2)若AF22F2B,AF1AB32,求椭圆的方程 解析:(1)若F1AB90,则AOF2为等腰直角三角形,所以有 OAOF
8、2,即 bc.所以 a 2c,eca 22.(2)由题知 A(0,b),F1(c,0),F2(c,0),其中 c a2b2,设 B(x,y)由AF22F2B,得(c,b)2(xc,y),解得 x3c2,yb2,即 B3c2,b2.将 B 点坐标代入x2a2y2b21,得94c2a2 b24b21,即9c24a2141,解得 a23c2.又由AF1AB(c,b)3c2,3b2 32,得 b2c21,即有 a22c21.由解得 c21,a23,从而有 b22.所以椭圆的方程为x23y221.16如图所示,已知抛物线 C:y24x 的焦点为 F,直线 l 经过点 F 且与抛物线 C 相交于 A、B
9、两点 (1)若线段 AB 的中点在直线 y2 上,求直线 l 的方程;(2)若线段|AB|20,求直线 l 的方程 解析:(1)由已知得抛物线的焦点为 F(1,0)因为线段 AB 的中点在直线 y2 上,所以直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k,A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M(x0,y0),则 x0 x1x22,y0y1y22.由 y214x1,y224x2,得(y1y2)(y1y2)4(x1x2),所以 2y0k4.又 y02,所以 k1,故直线 l 的方程是 yx1.(2)设直线 l 的方程为 xmy1,与抛物线方程联立得 xmy1,y24x,消元得 y24
10、my40,所以 y1y24m,y1y24,16(m21)0.|AB|m21|y1y2|m21y1y224y1y2 m21m2 4(m21)所以 4(m21)20,解得 m2,所以直线 l 的方程是 x2y1,即 x2y10.17(2017陕西省高三教学质量检测试题(一)已知椭圆与抛物线 y24 2x 有一个相同的焦点,且该椭圆的离心率为 22.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点 P(0,1)的直线与该椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若AP2PB,求AOB的面积 解析:(1)依题意,设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0),由题意可得 c 2,又 eca 22,a2.b2a2c22
11、,椭圆的标准方程为x24y221.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由AP2PB,得 x12x21y1y2.设直线 AB 的方程为 ykx1,代入椭圆方程整理,得(2k21)x24kx20,x1x2 4k2k21,x1x2 22k21.将 x12x2代入上式可得,(4k2k21)212k21,解得 k2 114.AOB 的面积 S12|OP|x1x2|x1x224x1x22122 8k222k21 3 148.18已知椭圆 C1的方程为x24y21,双曲线 C2的左、右焦点分别是 C1的左、右顶点,而 C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点,O 为坐标原点(1)求双曲线 C2的方程;(2)若直线 l:ykx 2与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A 和 B,且OAOB2,求 k的取值范围 解析:(1)设双曲线 C2的方程为x2a2y2b21(a0,b0),则 a2413,c24,再由 a2b2c2,得 b21,故双曲线 C2的方程为x23y21.(2)将 ykx 2代入x23y21,得(13k2)x26 2kx90.由直线 l 与双曲线 C2交于不同的两点,得 13k20,6 2k23k2k2,k22,即 x1x2y1y22,3k273k212,即3k293k21 0,解得13k23.由得13k21,故 k 的取值范围为1,3333,1.