1、课时作业(十四)椭圆、双曲线、抛物线 1(2017浙江卷)椭圆x29y241 的离心率是()A.133 B.53 C.23 D.59 解析：椭圆方程为x29y241，a3，c a2b2 94 5.eca 53.故选 B.答案：B 2已知 k4，则曲线x29y241 和 x29k y24k1 有()A相同的准线 B相同的焦点 C相同的离心率 D相同的长轴 解析：k0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为()A2 B.3 C.2 D.2 33 解析：设双曲线的一条渐近线方程为 ybax，圆的圆心为(2,0)，半径为 2，由弦长为 2 得出圆心到渐近线的距离
2、为 2212 3.根据点到直线的距离公式得|2b|a2b2 3，解得 b23a2.所以 C 的离心率 eca c2a2 1b2a22.答案：A 8已知实数 4，m,9 构成一个等比数列，则圆锥曲线 x2y2m1 的离心率为()A.306 B.7 C.306 或 7 D.56或 7 解析：实数 4，m,9 构成一个等比数列，m249，解得 m6.当 m6 时，圆锥曲线为 x2y261 表示椭圆，其中 a26，b21，离心率 eca1ba2116 306，当 m6 时，圆锥曲线为 x2y261 表示双曲线，其中 a21，b26，离心率 eca1ba2 16 7.答案：C 9(2017石家庄市教学质
3、量检测二)已知直线 l 与双曲线 C：x2y22 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，若 AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则AOB 的面积为()A.12 B1 C2 D4 解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为 yx，设 A(x1，x1)、B(x2，x2)，AB中点坐标为x1x22，x1x22，x1x222x1x2222，即 x1x22，SAOB12|OA|OB|12|2x1|2x2|x1x22，故选 C.答案：C 10已知 F1，F2分别是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，若椭圆 C 上存在点 P，使得线段 PF1的中垂线恰好经过焦点 F2，则椭圆 C 离心率的
4、取值范围是()A.23，1 B.13，22 C.13，1 D.0，13 解析：如图所示，线段 PF1的中垂线经过 F2，PF2F1F22c，即椭圆上存在一点 P，使得 PF22c.ac2cac.eca13，1.答案：C 11(2017北京卷)若双曲线 x2y2m1 的离心率为 3，则实数 m_.解析：由双曲线的标准方程可知 a21，b2m，c 1m，故双曲线的离心率 eca 1m 3，1m3，解得 m2.答案：2 12(2017全国卷)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点若MAN
5、60，则 C 的离心率为_ 解析：双曲线的右顶点为 A(a,0)，一条渐近线的方程为 ybax，即 bxay0，圆心 A到此渐近线的距离 d|baa0|b2a2abc，因为MAN60，圆的半径为 b，所以 bsin60abc，即 32 babc，所以 e 232 33.答案：2 33 13(2017 全国卷)已知 F 是抛物线 C：y28x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则|FN|_.解析：通解 依题意，抛物线 C：y28x 的焦点 F(2,0)，准线 x2，因为 M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N，M 为 FN 的中点
6、，设 M(a，b)(b0)，所以 a1，b2 2，所以 N(0,4 2)，|FN|4326.优解 依题意，抛物线 C：y28x 的焦点 F(2,0)，准线 x2，因为 M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N，M 为 FN 的中点，则点 M 的横坐标为 1，所以|MF|1(2)3，|FN|2|MF|6.答案：6 14过点 M(2，2p)作抛物线 x22py(p0)的两条切线，切点分别为 A，B，若线段 AB的中点纵坐标为 6，则 p 的值是_ 解析：设过点 M 的抛物线的切线方程为：y2pk(x2)与抛物线的方程 x22py 联立 消 y 得：x22pkx4pk4p20，.根据题意
7、可得，此方程的判别式等于 0，pk24k4p0.设切线的斜率分别为 k1，k2，则 k1k24p，此时，方程有唯一解为 x2pk21 pk，yx22ppk22 2(kp)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 12y1y22(k1k2)4p8p4p，p23p20，解得 p1 或 p2.答案：1 或 2 15已知椭圆x2a2y2b21(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若AF22F2B，AF1AB32，求椭圆的方程 解析：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有 OAOF
8、2，即 bc.所以 a 2c，eca 22.(2)由题知 A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中 c a2b2，设 B(x，y)由AF22F2B，得(c，b)2(xc，y)，解得 x3c2，yb2，即 B3c2，b2.将 B 点坐标代入x2a2y2b21，得94c2a2 b24b21，即9c24a2141，解得 a23c2.又由AF1AB(c，b)3c2，3b2 32，得 b2c21，即有 a22c21.由解得 c21，a23，从而有 b22.所以椭圆的方程为x23y221.16如图所示，已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 l 经过点 F 且与抛物线 C 相交于 A、B
9、两点 (1)若线段 AB 的中点在直线 y2 上，求直线 l 的方程；(2)若线段|AB|20，求直线 l 的方程 解析：(1)由已知得抛物线的焦点为 F(1,0)因为线段 AB 的中点在直线 y2 上，所以直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0，y0)，则 x0 x1x22，y0y1y22.由 y214x1，y224x2，得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，所以 2y0k4.又 y02，所以 k1，故直线 l 的方程是 yx1.(2)设直线 l 的方程为 xmy1，与抛物线方程联立得 xmy1，y24x，消元得 y24
10、my40，所以 y1y24m，y1y24，16(m21)0.|AB|m21|y1y2|m21y1y224y1y2 m21m2 4(m21)所以 4(m21)20，解得 m2，所以直线 l 的方程是 x2y1，即 x2y10.17(2017陕西省高三教学质量检测试题(一)已知椭圆与抛物线 y24 2x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为 22.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点 P(0,1)的直线与该椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若AP2PB，求AOB的面积 解析：(1)依题意，设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，由题意可得 c 2，又 eca 22，a2.b2a2c22
11、，椭圆的标准方程为x24y221.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP2PB，得 x12x21y1y2.设直线 AB 的方程为 ykx1，代入椭圆方程整理，得(2k21)x24kx20，x1x2 4k2k21，x1x2 22k21.将 x12x2代入上式可得，(4k2k21)212k21，解得 k2 114.AOB 的面积 S12|OP|x1x2|x1x224x1x22122 8k222k21 3 148.18已知椭圆 C1的方程为x24y21，双曲线 C2的左、右焦点分别是 C1的左、右顶点，而 C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点，O 为坐标原点(1)求双曲线 C2的方程；(2)若直线 l：ykx 2与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A 和 B，且OAOB2，求 k的取值范围 解析：(1)设双曲线 C2的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则 a2413，c24，再由 a2b2c2，得 b21，故双曲线 C2的方程为x23y21.(2)将 ykx 2代入x23y21，得(13k2)x26 2kx90.由直线 l 与双曲线 C2交于不同的两点，得 13k20，6 2k23k2k2，k22，即 x1x2y1y22，3k273k212，即3k293k21 0，解得13k23.由得13k21，故 k 的取值范围为1，3333，1.