1、1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数目标定位重点难点1.理解函数单调性与导数的关系2.掌握用导数判断函数单调性的方法3.能运用导数求函数的单调区间重点:利用导数研究函数的单调性难点:用导数判断函数单调性和求导数的单调区间1函数的单调性与其导函数的关系在某个区间(a,b)内,如果_,那么函数yf(x)在这个区间内单调递增;如果_,那么函数yf(x)在这个区间内_;如果恒有_,那么函数f(x)在这个区间内为常函数2一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,说明函数在这个范围内_,这时,函数的图象就比较_;反之,函数的图象就比较_f(x)0f(x)0单调递减f(x)
2、0变化得快“陡峭”“平缓”1设f(x)x2x(x0,解得x1;由f(x)0,解得1x1且x0.所以函数的单调递增区间为(,1),(1,);单调递减区间为(1,0),(0,1)不能抓住图象的关键特征致误【示例】如果函数yf(x)的图象如下图所示,那么导函数yf(x)的图象可能是()A B C D【错解】C【错因分析】原函数与导函数的图象关系理解不深刻,凭空乱猜【正解】由原函数的图象可知,函数先增再减,再增再减,故导函数值应是先正再负,再正再负,故选D【警示】判断函数f(x)与其导函数f(x)的图象,关键是抓住f(x)的增减性与f(x)的正负的对应关系1掌握利用导数判断函数单调性的一般步骤,要注意
3、有两个(或两个以上)单调增区间(或减区间)的写法2利用导数解决含有参数的单调问题,一般是将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的运用1(多选题)下列函数中,在区间(0,)上为减函数的是()Aylog2x By xCy12x Dy1x【答案】BCD【解析】在 A 中,ylog2x 在区间(0,)上为增函数;在B 中,y x在区间(0,)上为减函数;在 C 中,y12x 在区间(0,)上为减函数;在 D 中,y1x在区间(0,)上为减函数故选 BCD(2019年四川成都外国语学校月考)已知函数f(x)x22cos x,若f(x)是f(x)的导函数,则函数f(x)的图象大致是()
4、【答案】A【解析】设g(x)f(x)2x2sin x,g(x)22cos x0,所以f(x)在R上单调递增3若函数f(x)的导函数f(x)x24x3,则函数f(x1)的单调递减区间为()A0,2B1,3C2,4D(,3【答案】C【解析】由f(x)x24x30得1x3,1,3为f(x)的减区间f(x1)的单调递减区间为2,4故选C4(2018年广西南宁模拟)已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数,函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数,则a的值为_【答案】2【解析】f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数,a2 1,得a2.又g(x)2x ax,依题意g(x)0在x(1,2)时恒成立,得2x2a在x(1,2)时恒成立,则a2,a2.