1、专题强化训练(十四)解析几何一、选择题12019福建五校联考已知m是3与12的等比中项,则圆锥曲线1的离心率是()A2B.C.D2或解析:因为m是3与12的等比中项,所以m231236,解得m6.若m6,则曲线的方程为1,该曲线是双曲线,其离心率e2;若m6,则曲线的方程为1,该曲线是椭圆,其离心率e.综上,所求离心率是2或.故选D.答案:D22019南昌重点中学已知双曲线E:1(a0,b0)的两条渐近线分别为l1,l2,若E的一个焦点F关于l1的对称点F在l2上,则双曲线E的离心率为()A.B2C.D.解析:双曲线E的一个焦点F关于l1的对称点F在l2上,且双曲线E:1(a0,b0)的焦点在
2、x轴上,x轴和直线l2关于直线l1对称,又双曲线E的两条渐近线l1,l2关于x轴对称,tan60,双曲线E的离心率e2,故选B.答案:B32019广东六校联考已知直线l的倾斜角为45,直线l与双曲线C:1(a0,b0)的左、右两支分别交于M,N两点,且MF1,NF2都垂直于x轴(其中F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点),则该双曲线的离心率为()A.B.C.1D.解析:根据题意及双曲线的对称性,可知直线l过坐标原点,|MF1|NF2|.设点M(c,y0),则N(c,y0),1,即|y0|.由直线l的倾斜角为45,且|MF1|NF2|y0|,得|y0|c,即c,整理得c2aca20,即e2e10
3、,解得e或e(舍去),故选D.答案:D42019湖南四校调研已知A,B,P是双曲线1(a0,b0)上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPAkPB3,则该双曲线的离心率为()A.B.C2D3解析:由双曲线的对称性知,点A,B关于原点对称,设A(x1,y1),B(x1,y1),P(x2,y2),则1,1,又kPA,kPB,所以kPAkPB3,所以离心率e2,故选C.答案:C52019洛阳统考经过点(2,1),且渐近线与圆x2(y2)21相切的双曲线的标准方程为()A.1B.y21C.1D.1解析:通解:设双曲线的渐近线方程为ykx,即kxy0,由渐近线与圆x2(y2
4、)21相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1,由点到直线的距离公式可得1,解得k.因为双曲线经过点(2,1),所以双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的方程为1(a0,b0),将点(2,1)代入可得1,由,得,故所求双曲线的方程为1.故选A.优解:设双曲线的方程为mx2ny21(mn0),将(2,1)代入方程可得,4mn1.双曲线的渐近线方程为y x,圆x2(y2)21的圆心为(0,2),半径为1,由渐近线与圆x2(y2)21相切,可得1,即3,由可得m,n,所以该双曲线的方程为1,故选A.答案:A62019郑州质量预测一已知双曲线C:1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,实轴长为
5、6,渐近线方程为yx,动点M在双曲线左支上,点N为圆E:x2(y)21上一点,则|MN|MF2|的最小值为()A8B9C10D11解析:由题意,知2a6,a3,又由,得b1,所以c,则F1(,0)根据双曲线的定义知|MF2|2a|MF1|MF1|6,所以|MN|MF2|MN|MF1|6|EN|MN|MF1|5|F1E|559,故选B.答案:B72019安徽示范高中已知F1,F2是双曲线E:1(a0,b0)的左、右焦点,点M在双曲线E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1,则双曲线E的离心率为()A.B.C.D2解析:由题意知F1(c,0),因为MF1与x轴垂直,且M在双曲线上,所以|MF1|.
6、在RtMF2F1中,sinMF2F1,所以tanMF2F1,即,又b2c2a2,所以c2a22ac0,两边同时除以a2,得e22e0,又e1,所以e.答案:A82019唐山摸底已知椭圆C:1(ab0)和双曲线E:x2y21有相同的焦点F1,F2,且离心率之积为1,P为两曲线的一个交点,则F1PF2的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定解析:由题意可知,1ca,因为c,所以a2,b2a2c22,不妨设P与F2在y轴右侧,则,得|PF1|2|F1F2|2|PF2|2,所以F1PF2为直角三角形,故选B.答案:B92019武昌调研已知M为双曲线C:1(a0,b0)的右支上一点,A
7、,F分别为双曲线C的左顶点和右焦点,线段FA的垂直平分线过点M,MFA60,则C的离心率为()A6B4C3D2解析:如图,设双曲线C的左焦点为F1,连接MF1,由题意知|MF|AF|ac,|MF1|3ac,在MF1F中,由余弦定理得|MF1|2|F1F|2|MF|22|F1F|MF|cos60,所以(3ac)2(2c)2(ac)222c(ac),整理得4a23acc20,因为e,所以e23e40,因为e1,所以e4,故选B.答案:B102019合肥调研已知双曲线M:1(a0,b0)的焦距为4,两条渐近线的夹角为60,则双曲线M的标准方程是()A.y21或1B.y21或x21C.1或x21D.1
8、或1解析:依题意,a2b24,因为两条渐近线的夹角为60,所以渐近线的倾斜角为30与150或60与120,当倾斜角为30与150时,可知,所以;当倾斜角为60与120时,所以,所以双曲线的标准方程为y21或x21.故选B.答案:B112019惠州调研已知F1,F2分别是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,A和B是以坐标原点O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且F2AB是等边三角形,则该双曲线的离心率为()A.B.1C.1D2解析:由题意知|F1F2|2c,ABF2是等边三角形,AF2F130,连接AF1,则|AF1|c,|AF2|c,a,e1.故选C.答案:C122019
9、南昌重点中学设椭圆C:1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点E(0,t)(0t0)的左、右焦点,点P为双曲线右支上的一点,满足(2)0(O为坐标原点),且cosPF1F2,则该双曲线的离心率为()A.B2C3D.解析:解法一:由()0,得|OP|OF2|,在PF1F2中,OP是边F1F2上的中线,且|OP|F1F2|,F1PF290.由x21,得a1,c,在RtPF1F2中,得在RtPF1F2中,cosPF1F2,整理得9b432b2160,b24,离心率e.故选D.解法二:由()0,得|OP|OF2|,在PF1F2中,OP是边F1F2上的中线,且|OP|F1F2|,F1PF290.在R
10、tPF1F2中,由cosPF1F2,得,|PF1|c,|PF2|c.由双曲线的定义可知|PF1|PF2|ccc2a,离心率e.故选D.答案:D142019福建五校联考已知以圆C:(x1)2y24的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点,B点是抛物线C2:x28y上任意一点,BM与直线y2垂直,垂足为M,则|BM|AB|的最大值为()A1B2C1D8解析:易知抛物线C1的焦点为(1,0),所以抛物线C1的方程为y24x.由及点A位于第一象限可得点A(1,2)因为抛物线C2:x28y的焦点F(0,2),准线方程为y2,所以由抛物线的定义得|BM|BF|.如图,在平面直角坐标系中画出抛物线C
11、2及相应的图形,可得|BM|AB|BF|AB|AF|(当且仅当A,B,F三点共线,且点B在第一象限时,不等式取等号)故所求最大值为|AF|1,故选A.答案:A152019湖北重点中学如图,已知A,B,C是双曲线1(a0,b0)上的三个点,AB经过坐标原点O,AC经过双曲线的右焦点F,若BFAC,且2|AF|CF|,则该双曲线的离心率是()A.B.C.D.解析:设双曲线的左焦点为F,连接AF,BF,CF,则由|OA|OB|,|OF|OF|,BFAC知四边形AFBF为矩形,设|AF|m,则|AF|m2a,|AC|AF|2|AF|3|AF|3m,|FC|2|AF|2m,则|FC|FC|2a2m2a,
12、则在RtAFC中,|FC|2|AF|2|AC|2,即(2m2a)2(m2a)2(3m)2,解得ma.在RtAFF中,|FF|2|AF|2|AF|2,即4c2(m2a)2m2,即4c222,整理,得,所以双曲线的离心率e,故选B.答案:B162019洛阳统考如图,已知在平面直角坐标系xOy中,点S(0,3),SA,SB与圆C:x2y2my0(m0)和抛物线x22py(p0)都相切,切点分别为M,N和A,B,SAON,则点A到抛物线准线的距离为()A4B2C3D3解析:连接OM,SM,SN是圆C的切线,|SM|SN|,|OM|ON|.又SAON,SMON,四边形SMON是菱形,MSNMON.连接M
13、N,由切线的性质得SMNMON,则SMN为正三角形,又MN平行于x轴,所以直线SA的斜率ktan60.设A(x0,y0),则.又点A在抛物线上,x2py0.由x22py,得y,yx,则x0,由得y03,p2,所以点A到抛物线准线的距离为y04,故选A.答案:A172019河北九校联考已知点F(c,0)(c0)是双曲线1(a0,b0)的左焦点,过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2y2c2交于点F和另一个点P,且点P在抛物线y24cx上,则该双曲线的离心率是()A.B.C.D.解析:如图,由x2y2c2与y24cx及题意可取P(2)c,2c),又P在过F且与渐近线平行的直线y(xc)上,所以2c
14、(2)cc又a2b2c2且e,所以e.故选C.答案:C182019安徽五校质检二已知双曲线1(a0,b0)的离心率为2,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,点M(a,0),N(0,b),点P为线段MN上的动点,当取得最小值和最大值时,PF1F2的面积分别为S1,S2,则()A4B8C2D4解析:因为双曲线的离心率为2,所以c2a,ba,所以N(0,a),F1(2a,0),F2(2a,0),MN的方程为yxa(ax0),设P(x0,x0a),ax00,则(2ax0,x0a),(2ax0,x0a),所以(2ax0)(2ax0)(x0a)2x4a23x6ax03a24x6ax0a2(ax00),当x
15、0a时,取得最小值,此时P,则S12aaa2;当x00时,取得最大值,此时P(0,a),则S22aa2a2.所以4,故选A.答案:A192019郑州质量预测二抛物线x22py(p0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足AFB60,过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD,垂足为D,则的最小值为()A.B1C.D2解析:如图,过A,B两点分别作准线的垂线,AQ,BP,垂足分别为Q,P.设|AF|a,|BF|b,由抛物线的定义,得|AF|AQ|,|BF|BP|,在梯形ABPQ中,2|CD|AQ|BP|ab,由余弦定理得|AB|2a2b22abcos60a2b2ab,即|AB|2(a
16、b)23ab.因为ab2,所以|AB|2(ab)23ab(ab)232,即|AB|,所以1,故选B.答案:B二、填空题202019山西第一次联考在平面直角坐标系xOy中,P(1,2)是双曲线1(a0,b0)的一条渐近线l上的一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,若F1PF290,则双曲线的左顶点到直线l的距离为_解析:由题意知双曲线的一条渐近线l的方程为yx,因为点P(1,2)在渐近线l上,所以2,所以直线l的方程为y2x.在RtPF1F2中,原点O为线段F1F2的中点,所以|OP|F1F2|c,又|OP|,所以c.又c2a2b2,2,所以a1,b2,则双曲线的左顶点的坐标为(1,0),该
17、点到直线l的距离d.答案:212019长沙四校一模过点F(1,0)作直线交抛物线y24x于A,B两点,交直线x1于点C,且,则线段AB的长为_解析:解法一:如图,不妨设点A在x轴上方,显然点F(1,0)是抛物线y24x的焦点,直线x1是抛物线y24x的准线,过点A,B作准线x1的垂线,垂足分别为A1,B1,设准线x1交x轴于点F1,则|FF1|2.设|AF|m,|BF|n,|BC|t,则|AA1|m,|BB1|n,于是得所以|AB|mn.解法二:由题意知,直线AB的斜率存在且不为零,设直线AB:yk(x1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2)把yk(x1)代入y24x,得k2x2(2k
18、24)xk20,则x1x22,x1x21.由,得x11(x21),于是x1,x2,所以25,化简得9k419k2240,(k23)(9k28)0,所以k23,所以|AB|x11x214.答案:222019武昌调研过点M(m,0)作直线l1,l2与抛物线E:y24x相交,其中l1与E交于A,B两点,l2与E交于C,D两点,AD过E的焦点F.若AD,BC的斜率k1,k2满足k12k2,则实数m的值为_解析:如图,设直线l1的方程为xt1ym,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得,消去x得y24t1y4m0,所以y1y24t1,y1y24m,设直线l2的方程为xt2ym,C(x3,y3),D(x4,y4),联立得,消去x得y24t2y4m0,所以y3y44t2,y3y44m,因为直线AD的斜率k1,x4y,x1y,所以k1,同理k2,所以k2,因为k12k2,所以y1y42m,因为A,F,D三点共线,所以,又F(1,0),所以(1x1,y1),(x41,y4),所以(1x1)y4(1x4)y1,所以y4y1,整理得(y1y4)(y1y44)0,因为y1y4,所以y1y44,所以2m4,即m2.答案:2