1、第四节简单的线性规划问题1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1画出平面区域避
2、免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为axbyc0(a0)2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有试一试1(2013全国卷)设x，y满足约束条件则z2x3y的最小值是()A7B6C5 D3解析：选B作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线z2x3y过点C时，z取得最小值由得zmin23346，故选B.2如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_答案：xy101确定二元一次不等式表示平面区域的方法二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则
3、平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧2求二元一次函数zaxby(ab0)的最值的方法将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(1)当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；(2)当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值练一练(2013陕西高考)若点(x，y)位于曲线y|x|与y2所围成的封闭区域， 则2xy的最小值是()A6 B2C0 D2解析：选A作出函数y|x|和y2围成的等腰直角三角形的可行域(如图阴影部分所示)，则可得过交点A(2，2)时，2xy取得最小值6.考点一二元一次不等式
4、(组)表示平面区域1.不等式组所表示的平面区域的面积等于()A.B.C. D.解析：选C平面区域如图所示解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，|BC|4.SABC1.2若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为()A3 B2C1 D0解析：选C不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a1时，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)5个整点，故选C.3如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_解析：两直线方程分别为x2y20与xy10.由(0,0
5、)点在直线x2y20右下方可知x2y20，又(0,0)点在直线xy10左下方可知xy10，即为所表示的可行域答案：类题通法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点考点二求目标函数的最值线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值；(2)求非线性目标的最值
6、；(3)求线性规划中的参数.角度一求线性目标函数的最值1(1)(2013湖南高考)若变量x，y满足约束条件则x2y的最大值是()A B0C. D.解析：选C不等式组表示的平面区域为图中阴影部分平行移动yxz，可知该直线经过y2x与xy1的交点A时，z有最大值为.(2)如果函数x、y满足条件那么z2xy的最大值为()A2 B1C2 D3解析：选B如图作出可行域，当z经过直线y10与xy10的交点(0，1)时，zmax1.角度二求非线性目标的最值2(1)(2013山东高考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是_解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分
7、所示，因此|OM|的最小值为点O到直线xy20的距离，所以|OM|min.答案：(2)(2014深圳调研)已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是_解析：如图，画出可行域，易得A(2,4)，B(1,6)，它们与原点连线的斜率分别为k12，k26，又，k1k2，即26.答案：2,6角度三求线性规划中的参数3(1)(2013浙江高考)设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.解析：已知不等式组可表示成如图的可行域，当0k时，直线ykxz经过点M(4,4)时z最大，所以4k412，解得k2(舍去)；当k时，直线ykxz经过点N(2,3)时z最大，所以2k312，解得k(舍去)；当
8、k0时，直线ykxz经过点M(4,4)时z最大，所以4k412，解得k2，符合条件，综上可知，k2.答案：2(2)(2014江西七校联考)已知实数x，y满足若点是使axy取得最小值的唯一的可行解，则实数a的取值范围为_解析：记zaxy，注意到当x0时，yz，即直线zaxy在y轴上的截距是z.在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，满足题意的实数a的取值范围为a.答案：类题通法1求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：(1)截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通
9、过求直线的截距的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如z.注意：转化的等价性及几何意义考点三线性规划的实际应用典例(2013湖北高考)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A31 200元 B36 000元C36 800元 D38 400元解析设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z1 600x2 400y，则约束条件为作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,
10、12)时，有最小值zmin36 800(元)答案C类题通法求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、非负数等(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式针对训练某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的
11、甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A1 800元 B2 400元C2 800元 D3 100元解析：选C设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，则z300x400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x400y0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z300x400y取得最大值，最大值是z300440042 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元课堂练通考点1(2014长春模拟)不等式组表示的平面区域是()解析：选Bx3y60表示直线x3y60以及该直线下方的区域，xy20表示直线xy
12、20上方的区域，故选B.2(2013北京市海淀区期中练习)不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为()A2B1C0 D1解析：选D注意到直线kxy0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kxy0与直线xy40垂直时满足题意，于是有k(1)1，由此解得k1，选D.3(2014泉州质检)已知O为坐标原点，A(1,2)，点P的坐标(x，y)满足约束条件则z的最大值为()A2 B1C1 D2解析：选D如图作可行域，zx2y，显然在B(0,1)处zmax2.故选D.4(2013四川高考)若变量x，y满足约束条件且z5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是()A
13、48 B30C24 D16解析：选C约束条件表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形区域，检验四个顶点的坐标可知，当x4，y4时，azmax54416；当x8，y0时，bzmin5088，ab24.5(2013安徽高考)若非负变量x，y满足约束条件则xy的最大值为_解析：画出可行域是如图所示的四边形OABC的边界及内部，令zxy，易知当直线yxz经过点C(4,0)时，直线在y轴上截距最大，目标函数z取得最大值，即zmax4.答案：46(2013北京高考)设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为_解析：作出可行域，如图中阴影部分所示
14、，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2xy0的距离最小，d，故最小距离为.答案：课下提升考能第组：全员必做题1已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为()A(24,7) B(7,24)C(，7)(24，) D(，24)(7，)解析：选B根据题意知(92a)(1212a)0.即(a7)(a24)0，解得7a24.2已知实数对(x，y)满足则2xy取最小值时的最优解是()A6 B3C(2,2) D(1,1)解析：选D约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z2xy，y2xz，作初始直线l0：y2x，作与l0平行的直线l，则直线经过点(1,1)时，(2xy)min3
15、.3(2012山东高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的取值范围是()A. B.C1,6 D.解析：选A不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y轴上截距的相反数，其最大值在点A(2,0)处取得，最小值在点B处取得，即最大值为6，最小值为.4(2013北京西城一模)实数x，y满足如果目标函数zxy的最小值为2，则实数m的值为()A5 B6C7 D8解析：选D先作出满足不等式组的区域如图由zxy得yxz可知，直线的截距最大时，z取得最小值，此时直线yx(2)x2，作出直线yx2，交y2x1于A点，由得代入xym得m358，故选D.5(2014辽宁六校联考)设变量x，
16、y满足约束条件且不等式x2y14恒成立，则实数a的取值范围是()A8,10 B8,9C6,9 D6,10解析：选A不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a8，否则可行域无意义由图可知x2y在点(6，a6)处取得最大值2a6，由2a614得，a10，故选A.6(2014“江南十校”联考)若不等式组的平面区域的面积为3，则实数a的值是_解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S23，解得a2.答案：27(2013广东高考)给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线解析：解决本题的关键是要读懂数
17、学语言，x0，y0Z，说明x0，y0是整数，作出图形可知，ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线答案：68(2014郑州质检)若x，y满足条件当且仅当xy3时，zaxy取得最小值，则实数a的取值范围是_解析：画出可行域，如图，直线3x5y60与2x3y150交于点M(3,3)，由目标函数zaxy，得yaxz，纵截距为z，当z最小时，z最大欲使纵截距z最大，则a.答案：9变量x，y满足(1)设z4x3y，求z的最大值；(2)设z，求z的最小值解：(1)由
18、约束条件作出(x，y)的可行域如图所示由z4x3y，得yx.求z4x3y的最大值，相当于求直线yx在y轴上的截距的最小值平移直线yx知，当直线yx过点B时，最小，z最大由解得B(5,2)故zmax453214.(2)z.z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率观察图形可知zminkOB.10某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)
19、怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润w5x6y3(100xy)2x3y300.(2)约束条件为整理得目标函数为w2x3y300.作出可行域如图所示：初始直线l0：2x3y0，平移初始直线经过点A时，w有最大值由得最优解为A(50,50)，所以wmax550元所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最，最大为利润550元第组：重点选做题1(2013北京高考)设关于x，y的不等式组 表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02.求得m的取值范围是()A. B. C. D. 解析：选C问题等价于直线x2y
20、2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(m，m)不可能在第一和第三象限，而直线x2y2经过第一、三、四象限，则点(m，m)只能在第四象限，可得m0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x2y2与阴影部分有公共点，则点(m，m)在直线x2y20的下方，由于坐标原点使得x2y20，故m2m20，即m.2记不等式组所表示的平面区域为D，若直线ya(x1)与D有公共点，则a的取值范围是_解析：画出可行域，易知直线ya(x1)过定点(1,0)，当直线ya(x1)经过x3y4与3xy4的交点(1,1)时，a取得最小值；当直线ya(x1)经过x0与3xy4的交点(0,4)时，a取得最大值4，故a的取值范围是.答案：
