1、专题强化训练(十四)解析几何一、选择题12019福建五校联考已知m是3与12的等比中项，则圆锥曲线1的离心率是()A2B.C.D2或解析：因为m是3与12的等比中项，所以m231236，解得m6.若m6，则曲线的方程为1，该曲线是双曲线，其离心率e2；若m6，则曲线的方程为1，该曲线是椭圆，其离心率e.综上，所求离心率是2或.故选D.答案：D22019南昌重点中学已知双曲线E：1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1，l2，若E的一个焦点F关于l1的对称点F在l2上，则双曲线E的离心率为()A.B2C.D.解析：双曲线E的一个焦点F关于l1的对称点F在l2上，且双曲线E：1(a0，b0)的焦点在
2、x轴上，x轴和直线l2关于直线l1对称，又双曲线E的两条渐近线l1，l2关于x轴对称，tan60，双曲线E的离心率e2，故选B.答案：B32019广东六校联考已知直线l的倾斜角为45，直线l与双曲线C：1(a0，b0)的左、右两支分别交于M，N两点，且MF1，NF2都垂直于x轴(其中F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为()A.B.C.1D.解析：根据题意及双曲线的对称性，可知直线l过坐标原点，|MF1|NF2|.设点M(c，y0)，则N(c，y0)，1，即|y0|.由直线l的倾斜角为45，且|MF1|NF2|y0|，得|y0|c，即c，整理得c2aca20，即e2e10
3、，解得e或e(舍去)，故选D.答案：D42019湖南四校调研已知A，B，P是双曲线1(a0，b0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPAkPB3，则该双曲线的离心率为()A.B.C2D3解析：由双曲线的对称性知，点A，B关于原点对称，设A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x2，y2)，则1，1，又kPA，kPB，所以kPAkPB3，所以离心率e2，故选C.答案：C52019洛阳统考经过点(2,1)，且渐近线与圆x2(y2)21相切的双曲线的标准方程为()A.1B.y21C.1D.1解析：通解：设双曲线的渐近线方程为ykx，即kxy0，由渐近线与圆x2(y2
4、)21相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得1，解得k.因为双曲线经过点(2,1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为1(a0，b0)，将点(2,1)代入可得1，由，得，故所求双曲线的方程为1.故选A.优解：设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，将(2,1)代入方程可得，4mn1.双曲线的渐近线方程为y x，圆x2(y2)21的圆心为(0,2)，半径为1，由渐近线与圆x2(y2)21相切，可得1，即3，由可得m，n，所以该双曲线的方程为1，故选A.答案：A62019郑州质量预测一已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为
5、6，渐近线方程为yx，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2(y)21上一点，则|MN|MF2|的最小值为()A8B9C10D11解析：由题意，知2a6，a3，又由，得b1，所以c，则F1(，0)根据双曲线的定义知|MF2|2a|MF1|MF1|6，所以|MN|MF2|MN|MF1|6|EN|MN|MF1|5|F1E|559，故选B.答案：B72019安徽示范高中已知F1，F2是双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点，点M在双曲线E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则双曲线E的离心率为()A.B.C.D2解析：由题意知F1(c,0)，因为MF1与x轴垂直，且M在双曲线上，所以|MF1|.
6、在RtMF2F1中，sinMF2F1，所以tanMF2F1，即，又b2c2a2，所以c2a22ac0，两边同时除以a2，得e22e0，又e1，所以e.答案：A82019唐山摸底已知椭圆C：1(ab0)和双曲线E：x2y21有相同的焦点F1，F2，且离心率之积为1，P为两曲线的一个交点，则F1PF2的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定解析：由题意可知，1ca，因为c，所以a2，b2a2c22，不妨设P与F2在y轴右侧，则，得|PF1|2|F1F2|2|PF2|2，所以F1PF2为直角三角形，故选B.答案：B92019武昌调研已知M为双曲线C：1(a0，b0)的右支上一点，A
7、，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，线段FA的垂直平分线过点M，MFA60，则C的离心率为()A6B4C3D2解析：如图，设双曲线C的左焦点为F1，连接MF1，由题意知|MF|AF|ac，|MF1|3ac，在MF1F中，由余弦定理得|MF1|2|F1F|2|MF|22|F1F|MF|cos60，所以(3ac)2(2c)2(ac)222c(ac)，整理得4a23acc20，因为e，所以e23e40，因为e1，所以e4，故选B.答案：B102019合肥调研已知双曲线M：1(a0，b0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60，则双曲线M的标准方程是()A.y21或1B.y21或x21C.1或x21D.1
8、或1解析：依题意，a2b24，因为两条渐近线的夹角为60，所以渐近线的倾斜角为30与150或60与120，当倾斜角为30与150时，可知，所以；当倾斜角为60与120时，所以，所以双曲线的标准方程为y21或x21.故选B.答案：B112019惠州调研已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，A和B是以坐标原点O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则该双曲线的离心率为()A.B.1C.1D2解析：由题意知|F1F2|2c，ABF2是等边三角形，AF2F130，连接AF1，则|AF1|c，|AF2|c，a，e1.故选C.答案：C122019
9、南昌重点中学设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0t0)的左、右焦点，点P为双曲线右支上的一点，满足(2)0(O为坐标原点)，且cosPF1F2，则该双曲线的离心率为()A.B2C3D.解析：解法一：由()0，得|OP|OF2|，在PF1F2中，OP是边F1F2上的中线，且|OP|F1F2|，F1PF290.由x21，得a1，c，在RtPF1F2中，得在RtPF1F2中，cosPF1F2，整理得9b432b2160，b24，离心率e.故选D.解法二：由()0，得|OP|OF2|，在PF1F2中，OP是边F1F2上的中线，且|OP|F1F2|，F1PF290.在R
10、tPF1F2中，由cosPF1F2，得，|PF1|c，|PF2|c.由双曲线的定义可知|PF1|PF2|ccc2a，离心率e.故选D.答案：D142019福建五校联考已知以圆C：(x1)2y24的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x28y上任意一点，BM与直线y2垂直，垂足为M，则|BM|AB|的最大值为()A1B2C1D8解析：易知抛物线C1的焦点为(1,0)，所以抛物线C1的方程为y24x.由及点A位于第一象限可得点A(1,2)因为抛物线C2：x28y的焦点F(0,2)，准线方程为y2，所以由抛物线的定义得|BM|BF|.如图，在平面直角坐标系中画出抛物线C
11、2及相应的图形，可得|BM|AB|BF|AB|AF|(当且仅当A，B，F三点共线，且点B在第一象限时，不等式取等号)故所求最大值为|AF|1，故选A.答案：A152019湖北重点中学如图，已知A，B，C是双曲线1(a0，b0)上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BFAC，且2|AF|CF|，则该双曲线的离心率是()A.B.C.D.解析：设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，CF，则由|OA|OB|，|OF|OF|，BFAC知四边形AFBF为矩形，设|AF|m，则|AF|m2a，|AC|AF|2|AF|3|AF|3m，|FC|2|AF|2m，则|FC|FC|2a2m2a，
12、则在RtAFC中，|FC|2|AF|2|AC|2，即(2m2a)2(m2a)2(3m)2，解得ma.在RtAFF中，|FF|2|AF|2|AF|2，即4c2(m2a)2m2，即4c222，整理，得，所以双曲线的离心率e，故选B.答案：B162019洛阳统考如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点S(0,3)，SA，SB与圆C：x2y2my0(m0)和抛物线x22py(p0)都相切，切点分别为M，N和A，B，SAON，则点A到抛物线准线的距离为()A4B2C3D3解析：连接OM，SM，SN是圆C的切线，|SM|SN|，|OM|ON|.又SAON，SMON，四边形SMON是菱形，MSNMON.连接M
13、N，由切线的性质得SMNMON，则SMN为正三角形，又MN平行于x轴，所以直线SA的斜率ktan60.设A(x0，y0)，则.又点A在抛物线上，x2py0.由x22py，得y，yx，则x0，由得y03，p2，所以点A到抛物线准线的距离为y04，故选A.答案：A172019河北九校联考已知点F(c,0)(c0)是双曲线1(a0，b0)的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2y2c2交于点F和另一个点P，且点P在抛物线y24cx上，则该双曲线的离心率是()A.B.C.D.解析：如图，由x2y2c2与y24cx及题意可取P(2)c,2c)，又P在过F且与渐近线平行的直线y(xc)上，所以2c
14、(2)cc又a2b2c2且e，所以e.故选C.答案：C182019安徽五校质检二已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M(a,0)，N(0，b)，点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，PF1F2的面积分别为S1，S2，则()A4B8C2D4解析：因为双曲线的离心率为2，所以c2a，ba，所以N(0，a)，F1(2a,0)，F2(2a,0)，MN的方程为yxa(ax0)，设P(x0，x0a)，ax00，则(2ax0，x0a)，(2ax0，x0a)，所以(2ax0)(2ax0)(x0a)2x4a23x6ax03a24x6ax0a2(ax00)，当x
15、0a时，取得最小值，此时P，则S12aaa2；当x00时，取得最大值，此时P(0，a)，则S22aa2a2.所以4，故选A.答案：A192019郑州质量预测二抛物线x22py(p0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB60，过弦AB的中点C作该抛物线准线的垂线CD，垂足为D，则的最小值为()A.B1C.D2解析：如图，过A，B两点分别作准线的垂线，AQ，BP，垂足分别为Q，P.设|AF|a，|BF|b，由抛物线的定义，得|AF|AQ|，|BF|BP|，在梯形ABPQ中，2|CD|AQ|BP|ab，由余弦定理得|AB|2a2b22abcos60a2b2ab，即|AB|2(a
16、b)23ab.因为ab2，所以|AB|2(ab)23ab(ab)232，即|AB|，所以1，故选B.答案：B二、填空题202019山西第一次联考在平面直角坐标系xOy中，P(1,2)是双曲线1(a0，b0)的一条渐近线l上的一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若F1PF290，则双曲线的左顶点到直线l的距离为_解析：由题意知双曲线的一条渐近线l的方程为yx，因为点P(1,2)在渐近线l上，所以2，所以直线l的方程为y2x.在RtPF1F2中，原点O为线段F1F2的中点，所以|OP|F1F2|c，又|OP|，所以c.又c2a2b2，2，所以a1，b2，则双曲线的左顶点的坐标为(1,0)，该
17、点到直线l的距离d.答案：212019长沙四校一模过点F(1,0)作直线交抛物线y24x于A，B两点，交直线x1于点C，且，则线段AB的长为_解析：解法一：如图，不妨设点A在x轴上方，显然点F(1,0)是抛物线y24x的焦点，直线x1是抛物线y24x的准线，过点A，B作准线x1的垂线，垂足分别为A1，B1，设准线x1交x轴于点F1，则|FF1|2.设|AF|m，|BF|n，|BC|t，则|AA1|m，|BB1|n，于是得所以|AB|mn.解法二：由题意知，直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB：yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)把yk(x1)代入y24x，得k2x2(2k
18、24)xk20，则x1x22，x1x21.由，得x11(x21)，于是x1，x2，所以25，化简得9k419k2240，(k23)(9k28)0，所以k23，所以|AB|x11x214.答案：222019武昌调研过点M(m,0)作直线l1，l2与抛物线E：y24x相交，其中l1与E交于A，B两点，l2与E交于C，D两点，AD过E的焦点F.若AD，BC的斜率k1，k2满足k12k2，则实数m的值为_解析：如图，设直线l1的方程为xt1ym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得，消去x得y24t1y4m0，所以y1y24t1，y1y24m，设直线l2的方程为xt2ym，C(x3，y3)，D(x4，y4)，联立得，消去x得y24t2y4m0，所以y3y44t2，y3y44m，因为直线AD的斜率k1，x4y，x1y，所以k1，同理k2，所以k2，因为k12k2，所以y1y42m，因为A，F，D三点共线，所以，又F(1,0)，所以(1x1，y1)，(x41，y4)，所以(1x1)y4(1x4)y1，所以y4y1，整理得(y1y4)(y1y44)0，因为y1y4，所以y1y44，所以2m4，即m2.答案：2