1、3空间直角坐标系31空间直角坐标系的建立 32空间直角坐标系中点的坐标33空间两点的距离公式考纲定位重难突破1.理解空间直角坐标系的定义及画法2.能根据条件建立适当的空间直角坐标系，并能用坐标表示点3.掌握空间中的点关于特殊点、线、面对称的点的坐标4.掌握并能推导空间两点间的距离公式5.能够运用空间两点间的距离公式解决有关问题.重点：了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并能求出给定点的坐标难点：空间点的对称问题及应用空间两点间的距离公式解决简单的问题.授课提示：对应学生用书第55页自主梳理一、空间直角坐标系1空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条两
2、两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.(2)相关概念：点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面2右手直角坐标系伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正向二、空间直角坐标系中点的坐标空间直角坐标系中，任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标三、空间两点间的距离公式设空间任意两点A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，则|AB|.特
3、别地，P(x，y，z)与原点O(0,0,0)的距离|OP|.四、空间中的中点坐标公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB的中点坐标是.双基自测1在空间直角坐标系中，已知点M(1,2,3)，过该点作x轴的垂线，垂足为H，则H点的坐标为()A(1,2,0) B(1,0,3)C(1,0,0) D(0,2,3)解析：因为垂足H在x轴上，故点H与点M的横坐标相同，其余两个坐标均为0.答案：C2已知点A(3,1，2)，B(7,3,2)，则线段AB的中点坐标是_解析：由两点P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)的中点坐标为(，)知线段AB的中点坐标是(5,2,0)答案：(5,2,
4、0)3已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面xOz内的投影，则点B的坐标是_解析：点(x，y，z)在xOz平面的投影点的纵坐标必为0，而横、竖坐标不变答案：(3,0,5)4已知点A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则ABC的边AB上的中线长等于_解析：由已知得AB边的中点M，于是中线|CM|.答案：授课提示：对应学生用书第56页探究一空间中点的坐标及其位置典例1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为8，E是A1C1的中点，且|BF|3|FB1|.建立空间直角坐标系并求点A，C1，B1，E，F的坐标解析如图，以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y
5、轴、z轴建立空间直角坐标系易得A(8,0,0)，C1(0,8,8)，B1(8,8,8)由于点E在xOy平面上的投影为AC的中点，所以H(4,4,0)，又|EH|8，所以点E的z坐标为8.因此点E的坐标为(4,4,8)点F在平面xOy上的投影为B(8,8,0)，因为|BB1|8，|BF|3|FB1|，所以|BF|6，即点F的z坐标为6.所以点F的坐标为(8,8,6)在空间直角坐标系中确定点M的坐标的三种方法：(1)过M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M的指向和线段M1M的长度确定z坐标(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置
6、，可以确定点M的坐标(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标 1.如图，AF，DE分别是O，O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD8，BC是O的直径，ABAC6，OEAD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标解析：因为AD与两圆所在的平面均垂直，OEAD，所以OE平面ABC.又AF平面ABC，BC平面ABC，所以OEAF，OEBC.又BC是圆O的直径，所以OBOC.又ABAC6，所以OABC，BC6.所以OAOBOCOF3.如图所示，以O为坐标原点，分别以OB，OF，OE所在的直线
7、为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A(0，3，0)，B(3，0,0)，C(3，0,0)，D(0，3，8)，E(0,0,8)，F(0,3，0)探究二空间中点的对称问题典例2求点M(a，b，c)关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标解析点M关于xOy平面的对称点M1的坐标为(a，b，c)，关于xOz平面的对称点M2的坐标为(a，b，c)，关于yOz平面的对称点M3的坐标为(a，b，c)关于x轴的对称点M4的坐标为(a，b，c)，关于y轴的对称点M5的坐标为(a，b，c)，关于z轴的对称点M6的坐标为(a，b，c)，关于原点对称的点M7的坐标为(a，b，c)空间对称点的坐标规律：空间对称
8、问题要比平面上的对称问题复杂，除了关于点对称，直线对称，还有关于平面对称，在解决这一类问题时，注意依靠x轴、y轴、z轴作为参照直线，坐标平面为参照面，通过平行、垂直确定出对称点的位置空间点关于坐标轴、坐标平面的对称问题，可以参照如下口诀记忆：“关于谁谁不变，其余的相反”如关于x轴对称的点x坐标不变，y坐标、z坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面对称的点x，y不变，z坐标相反特别注意关于原点对称时三个坐标均变为原来的相反数2在长方体OABCDABC中 ，|OA|3，|OC|4，|OD|2，以O为原点，以OA，OC，OD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示(1)求线段
9、AC的中点M的坐标；(2)求点B关于y轴对称点的坐标，关于yOz平面对称点的坐标；(3)求点B关于点P(2，1，4)对称点的坐标解析：(1)由于|OA|3，|OC|4，|OD|2，所以A(3,0,2)，C(0,4,0)，于是AC的中点M的坐标为.(2)易知B的坐标为(3,4,2)所以B关于y轴对称点的坐标为(3,4，2)；B关于yOz平面对称点的坐标为(3,4,2)(3)设B关于P(2，1，4)对称的点为B1(x0，y0，z0)，则P是线段BB1的中点，由中点坐标公式得2，1，4，解得x01，y06，z010，于是B1(1，6，10)，即点B关于点P(2，1，4)对称点的坐标为(1，6，10)
10、转化思想和函数思想在空间中的应用典例已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a)(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小？解析因为平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，ABBE，所以BE平面ABCD，所以AB、BC、BE两两垂直过点M作MGAB，MHBC，垂足分别为G、H，连接NG，易证NGAB.因为CMBNa，所以CHMHBGGNa，所以以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M，N.(1)|MN| .(2)由(1)得，当a时，|M
11、N|最短，最短为，这时M、N恰好为AC、BF的中点感悟提高(1)在空间问题中若涉及距离问题以及求最值问题，经常通过建立直角坐标系把空间问题转化成代数问题利用函数思想求最值，充分体现转化思想和函数思想的应用(2)距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：求空间任意两点间的距离；判断几何图形的形状；利用距离公式求最值随堂训练对应学生用书第57页1点P(3,0,4)位于()Ax轴上By轴上CxOz平面内 DxOy平面内解析：根据P点的坐标特点判断答案：C2点A(10,4，2)关于点M(0,3，5)的对称点坐标是()A(10,2,8)
12、 B(10,3，8)C(5,2，8) D(10,2，8)解析：利用中点坐标公式可得答案：D3如图，正方体AOCDABCD的棱长为2，由图中的点M关于y轴的对称点的坐标为_解析：因为D(2，2,0)，C(0，2,2)，所以线段DC的中点M的坐标为(1，2,1)，所以点M关于y轴的对称点的坐标为(1，2，1)答案：(1，2，1)4已知点A(1，a，5)，B(2a，7，2)(aR)，则|AB|的最小值是_解析：|AB|2(12a)2(a7)2(52)25a210a595(a1)254，由于aR，所以当a1时，|AB|取得最小值3.答案：35在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，3)，试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标解析：(1)假设在y轴上存在点M，使得|MA|MB|.M在y轴上，可设点M的坐标为(0，y,0)由|MA|MB|，得，显然，此式对任意的yR恒成立，说明y轴上所有的点都满足关系|MA|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使MAB为等边三角形由(1)，知y轴上任意一点都有|MA|MB|，只要满足|MA|AB|，就可以使得MAB是等边三角形|MA|，|AB|，解得y，在y轴上存在点M，使得MAB为等边三角形，符合题意的点M的坐标为(0，0)或(0，0)
