1、四川省成都市石室中学2021届高三数学一诊模拟测试试题 理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数满足，则 （A）（B）（C） （D）22设函数的定义域为，函数的定义域为，则 （A）（B）（C）（D）3如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则 （A） （B） （C） （D）2 4某商家统计了去年两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中点表示产品2月份销售额约为20万元，点表示产品9月份销售额约为25万元.根据图中信息，下面统计结论错误的是 （A）产品的销售额极差较大（B）产品销售额的中位数较大（C）产品的销
2、售额平均值较大（D）产品的销售额波动较小5正项等差数列的前和为，已知，则 （A）35（B）36（C）45（D）546将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为 （A） （B） （C） （D）7已知函数的图象向左平移个单位长度后，图象关于轴对称，设函数的最小正周期为，极大值点为，则的最小值是 （A）（B）（C）（D）8已知二进制数化为十进制数为，若展开式中，的系数为15，则实数的值为（A） （B） （C）1 （D）29已知等比数列的前n项和与前n项积分别为，公比为正数，且，则使成立的n的最大值为 （A）8（B）9（C）12（D）1310已知三棱锥的各顶点都
3、在同一个球面上，且平面，若该棱锥的体积为，且 ，则此球的表面积等于 （A）（B）（C）（D）11已知抛物线，圆，若点分别在上运动，点，则的最小值为 （A）（B）（C）4（D）12已知，则的大小关系是 （A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13设满足约束条件，则的取值范围是 .14“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”，“视听学习”等多个栏目.假设在这些栏目中某时段更新了2篇文章和4个视频，一位学员准备学习这2篇文章和其中2个视频，要求这2篇文章学习顺
4、序不相邻的学法有 种. 15点是双曲线右支上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，点是的内切圆圆心，记的面积分别为，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是 .16已知恰有三个不同零点，则a的取值范围为_ .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（）求C的大小；（）若，求周长的最大值 18（本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，且与均为正三角形，为的重心.（）求证：平面；（）求平面与平面所
5、成锐二面角的余弦值. 19（本小题满分12分）随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度中华技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：序号123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当时，建立了y与x的两个回归模型：模型：；模型：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为（）根据下列表格中的数据，比较当时模型、的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投
6、入为17亿元时的直接收益回归模型模型模型回归方程182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数，）（）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：，）（）科技升级后，“麒麟”芯片效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%，但不超过53%，每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元，记为每部芯片获得的奖励，求（精确到0.01）（附：若随机变量
7、，则，）20（本小题满分12分）如图，已知椭圆C：（）的上顶点为，离心率为.（）求椭圆C的方程；（）若过点A作圆（圆在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C相交于B，D两点(B，D不同于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.21（本小题满分12分）已知函数，为的导数.（）当时，求的最小值；（）当时，恒成立，求的取值范围.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修44：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以轴的非负半轴为极轴，原点为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的
8、长度单位，若直线和分别与曲线相交于，两点（，两点异于坐标原点）.（）求曲线的普通方程与，两点的极坐标；（）求直线的极坐标方程及的面积.23选修45：不等式选讲已知函数.（）解不等式：；（）当时，函数的图象与轴围成一个三角形，求实数的取值范围.石室中学高2021届一诊模拟考试数学试卷简答（理科）一、选择题：CDBBB BAACD BB二、填空题：13. 14. 72 15. 16. .三、解答题： 17.（本小题满分12分）【解析】（）中，角，的对边分别是.由已知，得，即，由，6分（），.设的周长为，则，故周长的最大值为12分18.（本小题满分12分）【解析】（）设的中点为，连接. 又为的重心
9、又平面.5分（）设为的中点，为正三角形，则平面平面,平面平面，过分别作的平行线，建系如图：.7分,易知平面的法向量，设平面的法向量分别为 得 .10分11分从而，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.12分19.（本小题满分12分）【解析】（）由表格中的数据，所以，所以可见模型的相关指数小于模型的相关指数所以回归模型的拟合效果更好2分所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为（亿元）.3分（）当时，由已知可得，所以5分所以当时，y与x满足的线性回归方程为当时，科技升级直接收益的预测值为亿元当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，所以技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大.8分（）因为，所以 ；所以
10、（元）.12分20.（本小题满分12分）【解析】（）依题意可得：.3分（）圆M过A的切线方程可设为l：，代入椭圆C的方程得：，可得；同理可得 .5分由圆M与l相切得：由韦达定理得：.6分所以直线BD的斜率 9分直线BD的方程为：化简为：，即.11分所以，当变化时，直线BD总过定点12分21（本小题满分12分）【解析】（），令，则.当时，为增函数，；当时，.故时，为增函数，故，即的最小值为15分（）令，则本题即证当时，恒成立.当时，由（1）可知在上为增函数，且，故存在唯一，使得.则当时，为减函数，所以，此时，与恒成立矛盾.7分当时，（i）若，则由（1）可知，所以为增函数，故恒成立，即恒成立；8分
11、（ii）若，则，在上为增函数，又，故存在唯一，使得.当时，为减函数；时，为增函数.又，故存在唯一使得.故时，为增函数；时，为减函数.又，所以时，为增函数，故，即恒成立11分综上所述，.12分22（本小题满分10分）【解析】（）曲线的参数方程为（为参数），所以消去参数得曲线的普通方程为，因为，代入曲线可得的极坐标方程：.将直线，代入圆的极坐标方程可知:， 故，两点的极坐标为，.5分（）由，得：，所以的极坐标方程为：.所以的极坐标方程为.可知直线恰好经过圆的圆心，故为直角三角形，且，故.10分23（本小题满分10分）【解析】（）由题意知，原不等式等价于或或，解得或或，综上所述，不等式的解集为.5分（）当时，则 ，此时的图象与轴围成一个三角形，满足题意：当时， ，则函数在上单调递减，在上单调递增.要使函数的图象与轴围成一个三角形，则，解得；综上所述，实数的取值范围为.10分
