1、2.8 函数与方程最新考纲 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解 1函数的零点(1)函数零点的定义 对于函数yf(x)(xD)，把使的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)几个等价关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与有交点函数yf(x)有f(x)0 x轴零点(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数yf(x)在区间内有零点，即存在c(a，b)，使得，这个也就是方程f(x)0的根 f(a)f(b
2、)0)的图象与零点的关系 0 0 0)的图象 与x轴的交点 _ _ _ 无交点 零点个数 _ _ _(x1，0)，(x2，0)(x1，0)2 1 0 3.二分法 对于在区间a，b上连续不断且的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 f(a)f(b)0一分为二零点【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点(
3、)(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(5)函数 y2sin x1 的零点有无数多个()(6)函数 f(x)kx1 在1，2上有零点，则1k2时，g(x)x1，f(x)(x2)2；当0 x2时，g(x)3x，f(x)2x；当x2 时，方程 f(x)g(x)0 可化为 x25x50，其根为 x5 52或 x5 52(舍去)；当 0 x2 时，方程 f(x)g(x)0 可化为 2x3x，无解；当 x1时，f(x)单调递减，因为f(3)ln 310，f(4)ln 420时：作函数yln x和yx22x的图象，【答案】(1)2(2)3 由图知，x0 时，f(x)有两个零点；当
4、x0 时，由 f(x)0 得 x14.综上，f(x)有三个零点【思维升华】函数零点的求法：(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点跟踪训练1(1)函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1，0)C(0，1)D(1，2)(2)(2015南昌二模)已知函数yf(x)是周期为2的周期函数
5、，且当x1，1时，f(x)2|x|1，则函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数是()A9B10 C11D18【解析】(1)f(x)2x3x在R上是增函数 而f(2)2260，f(1)2130，f(1)2350，f(2)226100，f(1)f(0)0.故函数f(x)在区间(1，0)上有零点(2)依题意，在坐标平面内画出函数yf(x)与y|lg x|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数是10，故选B.【答案】(1)B(2)B题型二 二次函数的零点问题【例2】已知函数f(x)x2ax2，aR.(1)若不等式f(x)0的解集为1
6、，2，求不等式f(x)1x2的解集；(2)若函数g(x)f(x)x21在区间(1，2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围【解析】(1)因为不等式f(x)0的解集为1，2，所以a3，于是f(x)x23x2.由f(x)1x2得，1x2x23x2，【思维升华】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组 跟踪训练2 已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围【解析】方法一：设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11
7、)(x21)0，即x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.方法二：函数图象大致如图，则有f(1)0，即1(a21)a20，故2a0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根 令f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1，t2，若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则 f(0)a10，解得 a0，解得 a1.综上，a 的取值范围是(，22 2 方法二：(分离变量法)由方程，解得 a22x12x1，设 t2x(t0)，则 at21t1 t 2t11 2（t1）2t1，其中 t11，由
8、基本不等式，得(t1)2t12 2，当且仅当 t 21 时取等号，故 a22 2.【思维升华】对于“af(x)有解”型问题，可以通过求函数yf(x)的值域来解决，解的个数也可化为函数yf(x)的图象和直线ya交点的个数 当 x1 时，f(x)2x1(1，1)，当 x1 时，f(x)4(x23x2)4x32214 1，f(x)min1.(2)由于 f(x)恰有 2 个零点，分两种情况讨论：当 f(x)2xa，x1 没有零点时，a2 或 a0.当 a2 时，f(x)4(xa)(x2a)，x1 时，有 2 个零点；当 a0 时，f(x)4(xa)(x2a)，x1 时无零点因此 a2 满足题意 当 f
9、(x)2xa，x1 有一个零点时，0a2.f(x)4(xa)(x2a)，x1 有一个零点，此时 a1，2a1，因此12a1.综上知实数 a 的取值范围是a12 a1或a2.【答案】(1)1(2)a12 a0，且a1)，当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_【思维点拨】(1)利用零点存在性定理；(2)利用临界情况时f(x)的图象观察零点的大小【解析】(1)f(x)x，h(x)log x，作出h(x)，g(x)的图象(如图)可知有3个交点，故选C.(2)在直角坐标系下分别作出ylog2x，ylog3x及y3x，y4x的图象，如图所示，显然所有可能的交点构成图中的阴影区域
10、(不含边界)，其中各点的横坐标均落于(2，3)之内，又因为x0(n，n1)，nN*，故n2.【答案】(1)C(2)2【温馨提醒】(1)零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解，体现了数形结合的思想(2)求零点范围时用数形结合求解可减少思维量，作图时要尽量精确 方法与技巧 1函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.2研究方程f(x)g(x)的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点 3转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题失误与防范 1函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标 2函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象
