1、长春外国语学校2020-2021学年第二学期开学测试高二年级数学试卷（文科） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共4页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信 息条形码粘贴区。 2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。高考资源网4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修
2、正带、刮纸刀。第卷一、选择题：本题共12小题，每小题4分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1圆的圆心坐标为 ( )A. B. C. D.2双曲线的渐近线方程和离心率分别是 ( )A. B. C. D.3曲线的极坐标方程化为直角坐标为 ( ) A. B. C. D. 4奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色从左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是 ( )A互斥但不对立事件 B不可能事件C对立事件 D不是互斥事件5某校从高一年级学生中随机
3、抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A588 B480 C450 D1206某班有50名学生，男女人数不等.随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如则下：则下列说法一定正确的是 ( ) A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数 C.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 D.这5名男生成绩的标准差大于这5名女生
4、成绩的标准差7直线(t为参数)的倾斜角是( ) A. B. C. D.8若F1，F2是椭圆1的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2的面积为()A.7 B. C. D.9执行如图所示的程序框图，如果输入的x，yR，那么输出的S的最大值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 10点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到点A的距离|PA|1的概率为( ) A. B. C. D11实数x、y满足，则的最大值为( ) A. B.4 C. D.512已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段P
5、F交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B. C. D.第卷二、 填空题：本题共4小题，每小题4分。 13. 点的极坐标为 ；14.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，则= ；15.将曲线ysin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为 ；16过双曲线的左焦点的直线与双曲线交两点，且线段的中点坐标为，则双曲线方程是 .三、解答题：共6小题,共56分.解答应写出必要证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）在极坐标系中，点的坐标是，曲线的方程为.以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线经过点.（1）写出直线的参数方程和曲线
6、的直角坐标方程；（2）若直线和曲线相交于两点，求的值.18.（本题满分10分）某公司有一批专业技术人员，现对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如表：学历35岁以下3550岁50岁以上本科803020研究生x20y(1)用分层抽样的方法在3550岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值19.（本题满分12分）
7、为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：20.（本题满分12分）某城市理论预测2014年到2018年人口总数（单位：十万）与年份的关系如下表所示：年份2014+x01234人口总数y5781119（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程；（2）据此估计2019年该城市人口总数（参考数据：051728311419132，021222
8、324230）参考公式： ， 21.（本题满分12分）如图，已知椭圆的右顶点和上顶点分别为，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于另外一点，求面积的最大值，并求此时直线的方程.长春外国语学校2020-2021学年第二学期开学测试高二年级数学试卷（文科）参考答案一、选择题题号123456789101112答案CADABDCBCBDA二、填空题13. 14. 8 15. 16. 三、解答题17. 解(1)由曲线的极坐标方程可得，因此曲线的直角坐标方程为点的直角坐标为，直线的倾斜角为，所以直线的参数方程为为参数. (2) 将为参数代入，有，设，对应参数分别为，有，根据直
9、线参数方程的几何意义有，=. 18.（1）用分层抽样的方法在3550岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，解得m3.抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人，分别记作S1、S2；B1、B2、B3.从中任取2人的所有基本事件共10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B2，B3)，(B1，B3)其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)从中任取2人，至少有1人的教育程度
10、为研究生的概率为.(2)依题意得：，解得N78. 3550岁中被抽取的人数为78481020. 解得x40，y5.19(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为14%.(2)K29.967.由于9.9676.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.20. （2）由题中数表，知（01234）2，（5781119）10所以3.2，所以回归方程为（3）当x5时，答：估计2019年该城市人口总数约为196万21 解：（1）由题意得 (2)，设与平行的椭圆的切线方程为 ，联立方程组得，消去得， m解得. 代入到中得，代入到得，.此时，直线的方程是.
