1、专题强化训练(十六)解三角形12019天津卷在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bc2a,3csinB4asinC.(1)求cosB的值;(2)求sin的值解:(1)在ABC中,由正弦定理,得bsinCcsinB,又由3csinB4asinC,得3bsinC4asinC,即3b4a.又因为bc2a,得到ba,ca.由余弦定理可得cosB.(2)由(1)可得sinB,从而sin2B2sinBcosB,cos2Bcos2Bsin2B,故sinsin2Bcoscos2Bsin.22019石家庄一模已知ABC的面积为3,且内角A,B,C依次成等差数列(1)若sinC3sinA,求边
2、AC的长;(2)设D为AC边的中点,求线段BD长的最小值解:(1)ABC三个内角A、B、C依次成等差数列,B60.设A、B、C所对的边分别为a、b、c,由ABC的面积S3acsinB可得ac12.sinC3sinA,由正弦定理知c3a,a2,c6.在ABC中,由余弦定理可得b2a2c22accosB28,b2,即AC的长为2.(2)BD是AC边上的中线,(),2(222)(a2c22accosB)(a2c2ac)(2acac)9,当且仅当ac时取“”,|3,即BD长的最小值为3.32019合肥质检二在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin2Asin2BsinAsinB2csin
3、C,ABC的面积Sabc.(1)求角C;(2)求ABC周长的取值范围解:(1)由SabcabsinC可得2csinC,sin2Asin2BsinAsinBsin2C,由正弦定理得a2b2abc2,由余弦定理得cosC,C.(2)由(1)知2csinC,同理可知2asinA,2bsinB.ABC的周长为abc(sinAsinBsinC)sinAsinsin.A,A,sin,ABC周长的取值范围为.42019武汉4月调研在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA,B2A,b.(1)求a;(2)已知M在边BC上,且,求CMA的面积解:(1)由0A,cosA,知sinA,sinBsin
4、2A2sinAcosA2,由正弦定理可知,a.(2)cosBcos2A2cos2A1221,sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB,ABC的面积SABCabsinC,又,SCMASABC.52019济南模拟ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2bsinCacosCccosA,B,c.(1)求角C;(2)若点E满足2,求BE的长解:(1)解法一:由题设及正弦定理得2sinBsinCsinAcosCsinCcosA,又sinAcosCsinCcosAsin(AC)sin(B)sinB,所以2sinBsinCsinB.由于sinB0,所以sinC.又0C0,所以sinC
5、.又0C0,所以sinC.又0C,所以C.(2)解法一:由正弦定理易知2,解得b3.又2,所以AEACb,即AE2.在ABC中,因为ABC,C,所以A,所以在ABE中,A,AB,AE2,由余弦定理得BE1,所以BE1.解法二:在ABC中,因为ABC,C,所以A,ac.由余弦定理得b3.因为2,所以ECAC1.在BCE中,C,BC,CE1,由余弦定理得BE1,所以BE1.解法三:在ABC中,因为ABC,C,所以A,ac.因为2,所以.则|2(2)2(|244|2)(3443)1,所以BE1.62019太原一模如图,已知ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且asinA(ca)sinCbs
6、inB,点D是AC的中点,DEAC,交AB于点E,且BC2,DE.(1)求B;(2)求ABC的面积解:(1)asinA(ca)sinCbsinB,由得a2c2acb2,由余弦定理得cosB,0B180,B60.(2)如图,连接CE,D是AC的中点,DEAC,AECE,CEAE.在BCE中,由正弦定理得,cosA,0A180,A45,ACB75,BCEACBACE30,BEC90,CEAE,ABAEBE1,SABCABCE.72019长沙一模已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.且asin(AB)csin.(1)求A;(2)若ABC的面积为,周长为8,求a.解:(1)由题设得asin
7、Cccos,由正弦定理得sinAsinCsinCcos,sinC0,所以sinAcos,所以2sincoscos,又cos0,所以sin,故A60.(2)由题设得bcsinA,从而bc4.由余弦定理a2b2c22bccosA,得a2(bc)212.又abc8,所以a2(8a)212,解得a.82019福州质检ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若角A,B,C成等差数列,且b.(1)求ABC的外接圆直径;(2)求ac的取值范围解:(1)因为角A,B,C成等差数列,所以2BAC,又因为ABC,所以B.根据正弦定理得,ABC的外接圆直径2R1.(2)解法一:由B,知AC,可得0A.由(1)知ABC的外接圆直径为1,根据正弦定理得,1,所以acsinAsinCsinAsinsin.因为0A,所以A.所以sin1,从而sin,所以ac的取值范围是.解法二:由(1)知,B,b2a2c22accosB(ac)23ac(ac)232(ac)2(当且仅当ac时,取等号),因为b,所以(ac)23,即0ac,又三角形两边之和大于第三边,所以ac,所以ac的取值范围是.