1、(十)绕过通项 也可放缩速解技法学一招有一类数列不等式问题,数列的通项虽然很难求得,但可借助递推关系变形后达到放缩的目的.常用的放缩变形参考后面的“记一点常用结论”.典例 已知数列an的首项为 a11,且 an1an4an1(nN*)(1)求 a2,a3 的值,并证明:a2n1a2n12;(2)令 bn|a2n12|,Snb1b2bn.求证:98119n Sn0,所以an12an2 0,即 an12 与 an2 异号,故 an22 与 an2 同号,于是 a2n12 与 a2n12 同号又 a1210,所以 a2n12.另一方面,a2n1a2n1a2n4a2n1a2n1a2n14a2n114a
2、2n14a2n111a2n15a2n182a2n15a2n12a22n142a2n15.由 a2n10,即 a2n1a2n1.综上所述,a2n1a2n12.(2)证明:a2n12a2n2a2n1a2n14a2n112a2n14a2n111 a2n122a2n15.由 bn|a2n12|知bn1bn 12a2n15.又 1a2n1a2n12,所以1919n1.故 Snb1b2bn11717217n1117n117119n11998119n,综上所述,98119n Sn0,nN*.当 n1 时,1a112(21),命题成立当 n2 时,由 an1ann1 得 anan1n,所以 an(an1an1)1,1anan1an1.从而有k1n1ak 1a1k2n(ak1ak1)an1an22 an1an22(n11)常用结论记一番经常用到的几种放缩:(1)1n231n1n2n3121n1n21n2n3;(2)1n n11n n n1 1n1n1 1n 1n n1 n n1n1n1 1n 21n1 1n.