1、速解技法学一招几种常见的数列类型及通项的求法(1)递推公式为 an1anf(n)解法：把原递推公式转化为 an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解(2)递推公式为 an1f(n)an解法：把原递推公式转化为an1an f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解(七)玩转通项 搞定数列(3)递推公式为 an1panq解法：通过待定系数法，将原问题转化为特殊数列ank的形式求解(4)递推公式为 an1panf(n)解法：利用待定系数法，构造数列bn，消去 f(n)带来的差异例 1 已知数列an满足 a123，an1 nn1an，求 an.解 由条件知an1an nn1，分别令 n1,2,3，(
2、n1)，代入上式得(n1)个等式累乘，即a2a1a3a2a4a3 anan1122334n1n ana11n.又a123，an 23n.累加、累乘法起源于等差、等比数列通项公式的求解使用过程中要注意赋值后得到(n1)个式子，若把其相加或相乘，等式的左边得到的结果是 ana1 或ana1，添加首项后，等式的左边累加或累乘的结果才为 an.技法领悟例 2 已知数列an的首项 a11，an1an2an1，求数列1anan1 的前 10 项和解 因为 an1an2an1，所以 1an12an1an2 1an，即 1an1 1an2，所以1an 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以 1an2n1，
3、所以 an12n1，而1anan112n12n11212n112n1，所以 1a1a2 1a2a31a10a11121131315119 121 121 121 1021.经典好题练一手1已知数列an的首项 a12，且 an1ann1，则数列an的通项公式 an()Ann12 Bnn12Cnn121Dnn121解析：因为 an1ann1，所以 an1ann1，分别把 n1,2,3，n1 代入上式，得到(n1)个等式，anan1(n1)1，答案：D an1an2(n2)1，an2an3(n3)1，a2a111.又 a1211，故将上述 n 个式子相加得 an(n1)(n2)(n3)21n1n(n
4、1)(n2)211nn121.2已知数列an满足 a11，an12an11(n2)，则数列an的通项公式 an_.解析：由 an12an11(n2)，得 an212(an12)，而 a12121，数列an2是首项为1，公比为12的等比数列an212n1，an212n1.答案：212n13设an是首项为 1 的正项数列，且 a2na2n1nannan10(nN*，n2)，则数列的通项公式 an_.解析：由题设得(anan1)(anan1n)0，由 an0，an10 知 anan10，于是 anan1n，所以 ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123nnn12.答案：nn124在数列a
5、n中，已知 a11，an12an43n1，求通项公式 an.解：原递推式可化为 an13n2(an3n1)，比较系数得 4，即 an143n2(an43n1)，则数列an43n1是首项为 a143115，公比为 2的等比数列，故 an43n152n1，即 an43n152n1.常用结论记一番等差(比)数列的重要结论(1)数列an是等差数列数列can是等比数列；数列an是等比数列，则数列loga|an|是等差数列(2)an，bn是等差数列，Sn，Tn 分别为它们的前 n 项和，若 bm0，则ambmS2m1T2m1.(3)首项为正(或为负)递减(或递增)的等差数列前 n 项和最大(或最小)问题转化为解不等式an0，an10或an0，an10，也可化为二次型函数 SnAn2Bn 来分析，注意 nN*.(4)等差(比)数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m，(各项均不为 0)仍是等差(比)数列
