1、 专题26 奇偶分析阅读与思考 整数可以分为奇数和偶数,一个整数要么是奇数,要么是偶数,因此奇偶性是一个整数的固有属性,即奇数偶数 由于奇偶性是整数的固有属性,因此可以说奇偶性是整数的一种不变性,通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析 运用奇偶分析解题,常常要用到奇数和偶数的基本性质:1.奇数偶数.2.奇数奇数=偶数,奇数偶数=奇数,偶数偶数=偶数,奇数个奇数的和是奇数,偶数个奇数的和为偶数,若干个偶数的和是偶数.3.若干个奇数之积是奇数,偶数与任意整数之积是偶数.4.若是整数,则与,(为自然数)有相同的奇偶性.5.设,是整数,则,都有相同的奇偶数.6.偶数的平方是4的倍数,奇数的平方
2、是4的倍数加1.例题与求解 【例1】 数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,的排列规律是:前两个数是1,从第三个数开始,每一个数是它前面两个数的和,这个数列叫做斐波那契数列,在斐波那契数列的前2 004个数中共有_个偶数 (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路:本例关键是发现斐波那契数列的各项奇偶性的规律. 【例2】 如果,都是正整数,且,是奇数,则是( ). A只当为奇数时,其值为奇数 B只当为偶数时,其值为奇数 C只当为3的倍数时,其值为奇数 D无论为任意正整数时,其值均为奇数(五城市联赛试题)解题思路:直接运用奇数偶数的性质作出选择 【例3】 能否找到自然数和,使. (“华罗庚
3、金杯”邀请赛试题) 解题思路:假设存在自然数和,使等式成立,则,从,的奇偶性展开推理 【例4】 在6张纸片的正面分别写上整数1,2,3,4,5,6,打乱次序后,将纸片翻过来,在它们的反面也随意写上16这6个整数,然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值,得出6个数,请你证明:所得的6个数中至少有两个是相同的.(北京市竞赛试题) 解题思路:从反面入手,即设这6个数两两都不相等,利用与=1,2,3,4,5,6的奇偶性相同,引入字母进行推理证明.【例5】 表甲是一个英文字母电子显示盘,每一次操作可以使某一行4个字母同时改变,或者使某一列4个字母同时改变,改变的规则是:按照英文字母表的顺序,每个
4、英文字母变成它下一个字母(即A变成B,B变成C最后字母Z变成A).问:能否经过若干次操作,使表甲变成表乙?如果能,请写出变化过程,如不能,说明理由.SOBRKBDSTZEPHEXGHOCNRTBSADVXCFYA表甲 表乙(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路:表甲与表乙看上去没有规律,似乎不太容易将表甲变为表乙(可以试一试),看是否能成功?如果是不能,就应找出不能的理由,解题的关键是如何将问题“数字化”,挖掘操作变化过程中的不变量或不变性.【例6】 设,为1或1,并且.证明能被4整除. 解题思路:应用整数的奇偶性解题,常需变化角度去考察问题,从而化难为易能力训练 1若按奇偶分类,则是_数.2已知
5、是质数,是奇数,且,则_.(江苏省竞赛试题) 3若质数,满足,则的值为_.(河北省竞赛试题) 4在12,22,32,952这95个数中,十位数字为奇数的数共有_个.(全国初中数学联赛试题)5将1,2,3,4,5这五个数字排成一排,最后一个数是奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除,那么,满足要求的排法有( )种.A.2 B.3 C.4 D.56设,为整数,给出下列四个结论(1)若是偶数,则是偶数(2)若是偶数,则是奇数(3)若是奇数,则是偶数(4)若是奇数,则是奇数其中正确结论的个数是 ( ) A.0 B.2 C.4 D.1或3(“五羊杯”竞赛试题) 7如果,是三个任
6、意整数,那么,( ) A.都不是整数 B.至少有两个是整数 C.至少有一个是整数 D.都是正数(“T1杯”全国竞赛试题) 8将1 000到1 997这998个自然数任意排成一行,然后依次地求出三个相邻数的和,在这些和中,奇数的个数至多有( ) A.499个 B.496个 C.996个 D.995个9设,是1,2,3,1999的一个排列,求证:为偶数. 10在黑板上记上数1,2,3,1 974,允许擦去任意两个数,且写上它们的和或差.重复这样的操作手续,直至在黑板上留下一个数为止.求证:这个数不可能为零 (数学奥林匹克竞赛试题)11你能找到三个整数,使得关系式成立吗?如果能找到,请举一例;如果找
7、不到,请说明理由.(“希望杯”邀请赛试题)12 设标有A,B,C,D,E,F,G记号的七盏灯顺次排成一行,每盏灯安装一个开关.现在A,C,E,G四盏灯开着,其余三盏灯是关的,小刚从灯A开始,顺次拉动开关,即从A到G,再从A开始顺次拉动开关,即又从A到G,他这样拉动了1 999次开关后,问哪几盏是开的?专题26 奇偶分析例1 668 提示:裴波拉数列各项的奇偶性规律是 :从第一个数开始,每组连续的3个数中,前两个数是奇数,第三个数是偶数,又因为20043668.所以前2004个数中共有668个偶数.例2 D例3 假设存在自然数a和b,使 .则(ab)(ab)200221001,若a,b同为奇数或
8、同为偶数,则(ab)(ab)必定是“偶数偶数”;若a,b为一奇一偶,则(ab)(ab)必定是“奇数奇数”.上述两种情况均与等式右边的“偶数奇数”相矛盾,故找不到自然数a和b,使 .例4 提示:设6张卡片正面写的数是 ,反面写的数对应为 ,则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为 .设这6个数两两都不相等,则它们只能取0,1,2,5这6个值,于是012515是个奇数.又 与 (i1,2,3,6)的奇偶性相同,所以 与 的奇偶性相同,是个偶数,导致矛盾.例5 提示:不能,理由如下: 将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替(即A用1,B用2,Z用26代替),这样表甲和表乙就分别变成了
9、表丙和表丁: 19 15 2 18 11 2 4 19 20 26 6 16 8 5 24 7 8 15 3 14 18 20 2 19 1 4 22 24 3 6 25 1 表丙 表丁 这样,每一次操作中字母的置换就相当于下面的置换: 12, 23,2526, 261.显然,每次操作不改变这16个数字和的奇偶性,但表丙、表丁16个数字的和分别为213,174,它们的奇偶性不同,故表丙不能变成表丁,即表甲不能变成表乙例6 由于乘积都是1或1,且总和为0所以一定有偶数项,即n一定是偶数2m.将上面的n个数相乘,一方面,其中的1和1各有m个,所以它们的乘积为 ,另一方面,在乘积中,作为因数都出现四
10、次,所以乘积为1,于是,m为偶数,故n是4的倍数【能力训练】1偶2. 1999 提示:由 b2 001知 ,b必为一奇一偶又 a是质数且a为偶数a2,b 997,故ab 1 999.3. 19或254. 19提示:在中,十位数字是奇数的只有 16, 36,两位数的平方可以表示为 =100 20ab ,它的十位数的奇偶性与 十位数字的奇偶性相同,因此,b只能取4与6,即相邻的每10个数中有两个数的十位数字是奇数5D 提示:设是1,2,3,4,5中一个满足要求的数列,首先,对于不能连续两个都是偶数,否则这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾,其次,如果 (1i3)是偶数,是奇数,则是奇数,这说明一个偶
11、数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一个数所以,只能是偶奇奇偶奇,故有如下5种情形满足条件:2,1,3,4,5;2,3,5,4,1;2,5,1,4,3;4,3,1,2, 5;4,5,3,2,1.6B 7C 8D9.提示: 10考虑黑板上保留奇数的个数. 经过一次操作,如果是一个奇数和一个偶数,则和或差仍为奇数,奇数的个数保持不变 如果是两个奇数,则和或差为偶数奇数的个数减少2 个;如果是两个偶数,则和或差为偶数奇数的个数保持不变.由以上分析知,经过操作,黑板上奇数的个数的奇偶性不变 由于一开始黑板上共有奇数,即有奇数个奇数经过若干次操作后,黑板上一定仍保留着奇数个奇数,故
12、留下的一个数不可能为011找不到满足条件的三个整数,理由如下:假设存在整数a,b,c满足等式,则左边四个式子中至少有一个是偶数,不妨abc为偶数,则abc(abc)2b,abc (abc) 2c,(bca)(abc)2a都为偶数,从而左边能被16整除,而3 388不 能被16整除,得出矛盾12. 盏灯的开关被拉动奇数次后,改变原来的状态,而一盏灯的开关被拉动偶数次后,不改变原来的状态,因1999 72854,又A,B,C,D四盏灯的开关各被拉动了286次,而E,F,G三盏灯的开关各被拉动了285次,所以,小刚拉动了1 999次开关后,A,B,C,D四灯不改变状态,E,F,G三灯将改变原来的状态,故A,C,F最后是开着的,