1、第三节三角函数的图象与性质 考点一三角函数的定义域和值域 例1(1)求函数ylg(sin 2x)的定义域；(2)求函数ycos2xsin x的最大值与最小值自主解答(1)由得3x或0x.函数ylg(sin 2x)的定义域为.(2)令tsin x，|x|，t.yt2t12，当t时，ymax，t时，ymin.函数ycos2xsin x的最大值为，最小值为.【方法规律】1三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2三角函数值域(或最值)的求法求解三角函数的值域(或最值)常见到以下几种类型的题目：形如yasin xbcos xc的三角函数化为
2、yAsin(x)k的形式，再求值域(或最值)；形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(或最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(或最值)(2013陕西高考)已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)ab. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值解：f(x)(sin x，cos 2x)cos xsin xcos 2xsin 2xcos 2xcossin 2xsincos 2xsin.(1)f(x)的最小
3、正周期为T，即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x，2x.由正弦函数的性质，当2x，即x时，f(x)取得最大值1.当2x，即x0时，f(0)，当2x，即x时，f，故f(x)的最小值为.因此，f(x)在上的最大值为1，最小值为.考点二三角函数的奇偶性、周期性和对称性 例2(1)(2013浙江高考)已知函数f(x)Acos(x)(A0，0，R)，则“f(x)是奇函数”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2012福建高考)函数f(x)sin的图象的一条对称轴是()Ax BxCx Dx(3)(2013江西高考)函数ysin 2x2sin2x的最小
4、正周期T为_自主解答(1)f(x)是奇函数时，k(kZ)；时，f(x)AcosAsin x，为奇函数所以“f(x)是奇函数”是“”的必要不充分条件(2)法一：(图象特征)正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令xk，kZ，则xk，kZ.取k1，则x.法二：(验证法)x时，ysin0，不合题意，排除A；x时，ysin，不合题意，排除B；x时，ysin，不合题意，排除D；而x时，ysin1，符合题意，C项正确，故选C.(3)ysin 2x(1cos 2x)2sin，最小正周期T.答案(1)B(2)C(3)【互动探究】本例(2)中函数f(x)的对称中心是什么？解：令xk，kZ，则xk，kZ.
5、故函数f(x)sin的对称中心为(kZ) 【方法规律】函数f(x)Asin(x)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)Asin(x)为奇函数，则当x0时，f(x)0.(2)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断1函数y2sin(3x)的一条对称轴为x，则_.解析：由ysin x的对称轴为xk(kZ)，即3k(kZ)，得k(kZ)又|，所以k0，故.答案：2函数ycos(3
6、x)的图象关于原点成中心对称图形，则_.解析：由题意，得ycos(3x)是奇函数，故k(kZ)答案：k(kZ)高频考点考点三 三角函数的单调性1三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，难度适中，为中低档题2高考对三角函数单调性的考查有以下几个命题角度：(1)求已知三角函数的单调区间；(2)已知三角函数的单调区间求参数；(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)例3(1)(2012新课标全国卷)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A. B.C. D(0,2(2)(2013安徽高考)已知函数f(x)4cos xsin(0)的最小正周期为.求的值；讨论f
7、(x)在区间上的单调性自主解答(1)由x，得x，由题意知(kZ)且2，则且02，故.(2)f(x)4cos xsin2sin xcos x2cos2x(sin 2xcos 2x)2sin.因为f(x)的最小正周期为，且0，从而有，故1.由知，f(x)2sin.若0x，则2x.当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减答案(1)A三角函数单调性问题的常见类型及解题策略(1)已知三角函数解析式求单调区间求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如yAsin(x)或yAco
8、s(x)(其中，0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)形如yAsin(x)b或可化为yAsin(x)b的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决1若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则等于()A3 B2 C. D.解析：选Cysin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由ysin x(0)在上单调递增
9、，在上单调递减知，故.2求函数ytan的单调区间解：把函数ytan变为ytan.由k2xk，kZ，得k2xk，kZ，即x，kZ.故函数ytan的单调减区间为(kZ)课堂归纳通法领悟2个性质周期性与奇偶性(1)周期性函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式3种方法求三角函数值域(或最值)的方法(1)利用sin x、cos x的有界性(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式，逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(或最值)(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(或最值)问题4个注意点研究三角函数性质应注意的问题(1)三角函数的图象从形上完全反映了三角函数的性质，求三角函数的定义域、值域时应注意利用三角函数的图象(2)闭区间上值域(或最值)问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的值域(或最值)问题，要讨论参数对值域(或最值)的影响(3)利用换元法求复合函数的单调性时，要注意x系数的正负(4)利用换元法求三角函数值域(或最值)时要注意三角函数的有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin x，则y(t2)211，解法错误
