1、2012届高三压轴题专题训练（定义新概念型综合题）1、已知在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以为正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比w.w.w.k.s.5.u.c.o.m()已知曲线的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”后所得曲线的标准方程；()射线的方程，如果椭圆经“伸缩变换”后得到椭圆，若射线与椭圆分别交于两点，且，求椭圆的标准方程；()对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换得抛物线，如此进行下去，对抛物线作变换,得抛物线若，求数列的通项公式2对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完
2、后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1a3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.()分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;()若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.3、对于区间上有意义的两个函数和，如果对任意的，均有，则称与在上是接近的，则称否与在上是非接近的。现有两个函数 （1）求的定义域； （2）若在整个给定区间上都有意
3、义，求a的取值范围；讨论在整个给定区间上是不时是接近的。4、（1）已知的三个顶点为，求的面积（2）对于的三个顶点定义三阶行列式（当三点逆时针排列时，三阶行列式的值为正），试对（1）中计算三阶行列式的绝对值的值，说明其与的面积的关系，并由此猜想三阶行列式的绝对值的几何意义（3）若的顶点在直线上运动，顶点，顶点在线段上运动，且三点的横坐标成等差数列，请问的面积是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在，说明理由5、已知二次函数同时满足：不等式的解集有且只有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立。设数列的前（1）求数列的通项公式；（2）设（3）设各项均不为零的数列中，所有满足这个数列的变号数。另6
4、、把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：13 57 9 11 设是位于这个三角形数表中从上往下数第行，从左往右数第个数。（1） 若，求的值；（2） 已知函数的反函数为，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和。7、在直角坐标平面xoy上的一列点简记为，若由构成的数列满足其中是y轴正方向相同的单位向量，则为T点列（1）判断是否为T点列，并说明理由；（2）若为T点列，且点在的右上方，任取其中连续三点，判定的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若为T点列，正整数满足.求证：8、定义函数（1）求证：（2）是否存在区间a，0（a 0的情
5、形。设 若所以，在中另有一根，矛盾。若所以，在中另有一根，矛盾。 以下证明，对任意符合题意。当图象在连接两点（0，0），的线段的上方知当当综上，有且仅有一个解x=0， 满足题意。综上所述： 14分10、解：（1）方法一：如图，分别以CA、DB为、轴建立空间直角坐标系因为，所以，-4分 -6分因为异面直线所成角为锐角，故异面直线与所成的角为-7分 方法二：见文科答案与评分标准ABEDFCABEDFC（2）正子体体积不是定值-8分设与正方体的截面四边形为 ， 设 则-9分 故-12分 -14分11、（）解：，；，（）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，则为，从而又，所以，故（）证明：设是每项均为非
6、负整数的数列当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，则当存在，使得时，若记数列为，则所以从而对于任意给定的数列，由可知又由（）可知，所以即对于，要么有，要么有因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有即存在正整数，当时，12、a=1, b=1；m的最小值为5；13、13、解：()依题意， 4分（）由，故是公差为的等差数列8分又， 9分由得 10分 得 14、分析:本题属于信息迁移题,主要考查利用导数求函数的极值解：（1），切线方程为（2）函数f(x)=x3x+a(x1,1,aR)的导数是f(x)=3x21,当3x21=0时,即x=,当x时,f(x)=3x210;当x时,f(x)=3x21
7、0,故f(x)在x1,1内的极小值是a同理,f(x)在x1,1内的极大值是a+f(1)=f(1)=a,函数f(x)=x3x+a(x1,1,aR)的最大值是a+,最小值是a,因为|f(x1)f(x2)|fmaxfmin|,故|f(x1)f(x2)|fmaxfmin|=1所以函数f(x)=x3x+a(x1,1,aR)是“Storm函数”15、解：（1）； （2），,，有最大值；即每年建造12艘船，年利润最大（8分）（3），（11分）所以，当时，单调递减，所以单调区间是，且16、解：（1）当时， 因为在上递减，所以，即在的值域为故不存在常数，使成立所以函数在上不是有界函数。 4分（没有判断过程，扣2
8、分） （2）由题意知，在上恒成立。5分， 在上恒成立6分 7分设，由得 t1，设，所以在上递减，在上递增，9分（单调性不证，不扣分）在上的最大值为， 在上的最小值为 所以实数的取值范围为。11分（3）， m0 ， 在上递减，12分 即13分当，即时， 14分此时 ，16分当，即时， 此时 ， -17分综上所述，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是1817、解：（1）；的等比数列，故至少操作7次；（2）而.18、解：（I）是“保三角形函数”，不是“保三角形函数” 1分任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，由于，所以是“保三角形函数”. 3分对于，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但，
9、所以不存在三角形以为三边长，故不是“保三角形函数” 4分（II）设为的一个周期，由于其值域为，所以，存在，使得，取正整数，可知这三个数可作为一个三角形的三边长，但，不能作为任何一个三角形的三边长故不是“保三角形函数” 8分（III）的最大值为 9分一方面，若，下证不是“保三角形函数”.取，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“保三角形函数”.另一方面，以下证明时，是“保三角形函数”对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下：（1），此时，同理，故，同理可证其余两式.可作为某个三角形的三边长（2）此时，可得如下两种情况：时，由于，所以，.由在上的单调性可得；
10、时，同样，由在上的单调性可得；总之，.又由及余弦函数在上单调递减，得，同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长故时，是“保三角形函数”综上，的最大值为19、解：（）设 由 又 3分 于是 由得或； 由得或 故函数的单调递增区间为和，单调减区间为和 4分（）由已知可得， 当时， 两式相减得或当时，若，则这与矛盾 6分于是，待证不等式即为为此，我们考虑证明不等式令则，再令， 由知当时，单调递增 于是即 令， 由知当时，单调递增 于是即 由、可知 10分所以，即 11分（）由（）可知 则 在中令，并将各式相加得 即20、解 （）由得， -1分当时，此时， -2分，所以是直线与曲线的一个切点； -
11、3分当时，此时， -4分，所以是直线与曲线的一个切点； -5分所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点； 对任意xR，所以 -6分因此直线是曲线的“上夹线” -7分（）推测：的“上夹线”的方程为 -9分先检验直线与曲线相切，且至少有两个切点：设： ，令，得：（kZ） -10分当时,故：过曲线上的点(，)的切线方程为：y= ()，化简得：即直线与曲线相切且有无数个切点 -12分不妨设下面检验g(x)F(x)g(x)F(x)= 直线是曲线的“上夹线”21（）当为增函数，1分 2分 同理时，为增函数， 3分4分 又表示满足的正整数的个数5分6分（）当为正整数，且，时，为增函数， 8分 9分又表示满足的正整数的个数，10分共个11分 12分（）由（2）知：13分= 14分 15分 16分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
