1、专题4 初识非负数阅读与思考绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：1.去绝对值符号法则2.绝对值的几何意义从数轴上看，即表示数的点到原点的距离，即代表的是一个长度，故表示一个非负数，表示数轴上数、数的两点间的距离.3.绝对值常用的性质 例题与求解【例1】已知，且，那么 .（祖冲之杯邀请赛试题）解题思路：由已知求出、的值，但要注意条件的制约，这是解本题的关键.【例2】已
2、知、均为整数，且满足，则（ ） A.1 B.2 C.3 D.4（全国初中数学联赛试题）解题思路：0，0，又根据题中条件可推出，中一个为0，一个为1.【例3】已知0，求代数式的值.解题思路：运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出，的值，注意的化简规律.【例4】设、是非零有理数，求的值.解题思路：根据、的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键.（希望杯邀请赛试题）【例5】设是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6.记，求S的最小值.（四川省竞赛试题） 解题思路：利用绝对值的几何意义建立数轴模型.【例6】已知，且，求的值.（北京市迎春杯竞赛试题）解题思路：由知，即，代入原式
3、中，得，再对的取值，分情况进行讨论.A级1.若为有理数，那么，下列判断中：（1）若，则一定有；（2）若，则一定有；（3）若，则一定有；（4）若，则一定有；正确的是 .（填序号）2.若有理数满足，则 .3.若有理数在数轴上的对应的位置如下图所示，则化简后的结果是 .4.已知正整数满足，且，则的值是 .（四川省竞赛试题）5.已知且，那么 .6.如图，有理数在数轴上的位置如图所示：则在中，负数共有（ ）A3个 B1个 C4个 D2个（湖北省荆州市竞赛试题）7. 若，且，那么的值是（ ）A3或13 B13或13 C3或3 D3或138.若是有理数，则一定是（ ）A零 B非负数 C正数 D负数9.如果，
4、那么的取值范围是（ ）A B C D10.是有理数，如果，那么对于结论（1）一定不是负数；（2）可能是负数，其中（ ） A只有（1）正确 B只有（2）正确 C（1）（2）都正确 D（1）（2）都不正确（江苏省竞赛试题）11.已知是非零有理数，且，求的值.12.已知是有理数，且，求的值.（希望杯邀请赛试题）B级1.若，则代数式的值为 .2.已知 ，那么的值为 .3.数在数轴上的位置如图所示，且，则 .（重庆市竞赛试题）4.若，则的值等于 （五城市联赛试题）5.已知，则 .（希望杯邀请赛试题）6.如果，那么代数式在15的最小值（ ） A.30 B.0 C.15 D.一个与有关的代数式7.设k是自然
5、数，且，则等于（ ） A.3 B.2 C. D.（创新杯邀请赛试题）8.已知，那么的最大值等于（ ）A1 B5 C8 D9（希望杯邀请赛试题）9.已知都不等于零，且，根据的不同取值，有（ ）A唯一确定的值 B3种不同的值 C4种不同的值 D8种不同的值10.满足成立的条件是（ ）A B C D（湖北省黄冈市竞赛试题）11.有理数均不为0，且，设，试求代数式的值.（希望杯邀请赛训练题）专题04初识非负数例12或8例2B提示：ab，ac中必有一个为0，一个为1，不妨设ab0，ac1，则ab，bc1，原式0112例36提示：由题意得x11，x21，x20032003，原式22223220022200
6、322003220022322222002（21）220012222200222001222242322223（21）222232226例41或7提示：分下列四种情形讨论：（1）若a，b，c均为正数，则ab0，ac0，bc0，原式7；（2）若a，b，c中恰有两个正数，不失一般性，可设a0，b0，c0，ac0，bc0，abc0，b0，c0，则ab0，ac0，abc0，则原式1；（4）若a，b，c均为负数，则ab0，bc0，ac0，abc0，原式1例5根据绝对值的几何意义，题意可理解为“从数轴上点1出发，每次走一个整点，分别到达点2，点3，点4，点5，点6，最后回到点1，最少路程为多少?”为避免重
7、复，从左到右走到6，再从右到左走到1为最短路线，取x11，x22，x33，x44，x55，x66，则S11111510，（也可以取x11，x24，x36，x45，x53，x32）例6根据2ab10知2ab10，即b2a1代人原式中，得（3a1）22a42a4对3a1的取值分情况讨论为：（1）当3a10，即a时，（3a1）20，2a40，2a40（3a1）22a42a4，矛盾（2）当3a10，即a时，若2a40，而（3a1）22a40，矛盾若2a40，则（3a1）22a42a4，矛盾（3）当3a10，即时，（3a1）22a42a4成立，得b综上可知a，b，abA级1（4）2312cb提示：1c0
8、abc10，ab0原式1cacba12cb42提示：原式变形为b22b，abbab20，ab0又ab，ab2又a，b为正整数，故a1，b2546A7A8B9D10A111提示：a，b，c中不能全为正值，也不能全为负数，只能是一正二负或二正一负，原式值都为112ab9，cd16，故abcd25又25abcd(ab)(dc)abcd0故bka，代人原式中，原式当a0时，原式；当a0时，原式故原式38B提示：分0a2，2a3，3a4三种情况讨论9B10C11提示：a，b，c中不能全同号，必一正二负或二正一负，得a(bc)，b(ca)，c(ab)，即，中必有两个同号，另一个符号与其相反，即其值为两个1，一个1或两个1，一个1，11，原式1902
