1、第一章 导数及其应用1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用A级基础巩固一、选择题1曲线yx3与直线yx所围成的图形的面积等于()A(xx3)dx B.(x3x)dxC2(xx3)dx D2(xx3)dx解析：由图象可知，当x(0，1)时，yx的图象在yx3图象的上方，根据对称性知，选项C正确答案：C2由曲线yx21、直线x0、x2和x轴围成的封闭图形的面积是()A.(x21)dxB|(x21)dx|C.|x21|dxD.(x21)dx(x21)dx解析：y|x21|将x轴下方阴影反折到x轴上方，其定积分为正，选项C正确答案：C3.如图所示，由曲线yx2和直线x0，x1，yt2
2、，t(0，1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为()A. B.C. D.解析：由题图知，S(t2x2)dx(x2t2)dxt3t2，S4t22t，令S0，得t0或t，St3t2在单调递减，在单调递增，当t时，S取得最小值，故选D.答案：D4若dx3ln 2且a1，则实数a的值是()A2 B3 C5 D6解析：dx(x2ln x)|a2ln a(1ln 1)3ln 2，a1，所以a2ln a4ln 222ln 2，解得a2.答案：A5设函数f(x)xmax的导函数f(x)2x1，则f(x)dx的值等于()A. B. C. D.解析：由f(x)xmax求导得，f(x)mxm1a，又f(x)2
3、x1，所以m2，a1，所以f(x)x2x，所以f(x)dx(x2x)dx.答案：A二、填空题6直线x，x，y0及曲线ycos x所围成图形的面积_解析：由题意作出图形如图所示，由图形面积为答案：27曲线yx22x与直线x1，x1及x轴所围图形的面积为_解析：S(x22x)dx(x22x)dx2.答案：28曲线y2x与直线yx所围图形的面积为_解析：如图所示，由得交点坐标为O(0，0)，A(4，2)，所以Sdx.答案：三、解答题9设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2.(1)求yf(x)的表达式；(2)求yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积解：(1)因为y
4、f(x)是二次函数，且f(x)2x2，所以设f(x)x22xc.又f(x)0有两个等根，所以44c0，得c1，所以f(x)x22x1.(2)yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积为(x22x1)dx.10已知函数f(x)求曲线yf(x)与x轴、直线x0、x2所围成的图形的面积解：作出函数图象如图所示，Sf(x)dxf(x)dxf(x)dxx3dxdxx.B级能力提升1由直线x2，x2，y0及曲线yx2x所围成的平面图形的面积为 ()A. B. C. D.解析：如图所示，所求面积S为图中阴影部分的面积所以S(x2x)dx(x2x)dx(x2x)dx0.答案：B2抛物线yx24x3及其在点A(1，0)和点B(3，0)处的切线所围成图形的面积为_解析：由y2x4得在点A、B处切线的斜率分别为2和2，则两直线方程分别为y2x2和y2x6，由得两直线交点坐标为C(2，2)，所以SSABC(x24x3)dx222.答案：3若函数f(x)maxx，x2，求f(x)dx.解：如图所示，f(x)maxx，x2所以f(x)dxx2dxxdxx2dxx3x2x3.
