1、四川省成都七中2019-2020学年高二数学下学期半期考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知复数，则 ( )A. B. 1+2iC. D. 【答案】B【解析】【分析】根据共轭复数的定义易得.【详解】解：复数，则.故选：B.【点睛】考查共轭复数的定义，基础题.2.在空间直角坐标系Oxyz中,点A（2,1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是( )A. （2,1,3）B. （2,1,3）C. （2,1,3）D. （2,1,3）【答案】B【解析】【分析】根据空间坐标对称的性质求解即可.【详解】在空间直角坐标系Ox
2、yz中,点A（2,1,3）关于yOz平面对称的点的坐标是（2,1,3）.故选：B.【点睛】本题主要考查了空间坐标中求对称点的问题,属于基础题.3.在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】点对应的直角坐标为，则直线的直角坐标方程为，转化为极坐标方程：.4.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是( )A. 在区间内，是增函数B. 在内，是减函数C. 在内，是增函数D. 在时，取到极小值【答案】C【解析】【分析】根据导数大于零，函数递增；导数小于零，函数递减；先增后减，函数有极大值；先减后增，函数有极小值，对选项逐一进行判断即得答案.【详解】解
3、：由图象知当x2或x4时，函数为增函数，当或2x4时，函数为减函数，则当x或x4函数取得极小值，在x2时函数取得极大值，故ABD错误，正确的是C，故选：C.【点睛】本题考查了导函数的正负和原函数单调性关系，以及极大值极小值的判断，考查学生对于图像的理解和判断，基础题.5.函数在上取最大值时，的值为（）A. 0B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：函数的导数为，令得，又因为，所以，当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以使得函数取得最大值的的值为，故选B.考点：利用导数研究函数在闭区间上的最值.【点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于基础题.函
4、数在闭区间上的最值一般从极值点和区间端点处取得，解答的基本思路是先利用导数研究函数在给定区间上的单调性，看能否找到所需要的最值点，否则求出极值和区间端点的函数值进行比较，来找到所需要的最值点和最值,本题中只需要研究在上的单调性，就能找到极大值点也就是最大值点.6.已知实数满足，则最小值是( )A. B. 3C. D. 6【答案】C【解析】【分析】由柯西不等式得， 即可算出答案.【详解】由柯西不等式得，则，当且仅当“”时取等号.故的最小值是.故选：C【点睛】本题考查的是利用柯西不等式求最值，解答的时候要注意写上等号成立的条件，属于基础题.7.把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两
5、个正三角形面积之和的最小值是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设两段长分别为xcm,(12-x)cm,这两个正三角形的边长分别为cm,cm,面积之和为S(x)=(x2-+16).令S(x)=0,解得x=6.则x=6是S(x)的极小值点,也是最小值点,所以S(x)min=S(6)=2cm2.8.若f（x）2ax在（1，+）上存在单调递增区间，则a的取值范围是( )A. （，0B. （，0）C. 0，+）D. （0，+）【答案】D【解析】【分析】f(x)在(1,+)上存在单调递增区间,等价于0在(1,+)上有解.因此结合的单调性求出其在(1,+)上的最值,即可得出结论.【详解】f(x)
6、2ax在(1,+)上存在单调递增区间,只需0在(1,+)上有解即可.由已知得,该函数开口向下,对称轴,故在(1,+)上递减,所以=2a0,解得a0.故选:D.【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用,难度不大.9.我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来x2，类似地不难得到（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据已知求的例子，令，即，解方程即可得到的值.【详解】令，即，即，解得(舍)，故故选：C【点睛】
7、本题考查归纳推理，算术和方程，读懂题中整体代换的方法、理解其解答过程是关键，属于基础题.10.二面角为60，A、B是棱上的两点，AC、BD分别在半平面内，且ABAC，BD，则CD的长为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式，对于本题中，故考点：异面直线上两点间距离空间想象能力11.已知函数f（x）的导数满足f（x）+x对xR恒成立，且实数x，y满足xf（x）yf（y）f（y）f（x），则下列关系式恒成立的是( )A. B. ln（x2+1）ln（y2+1）C. D. xysinxsiny【答案】D【解析】【分析】由题得f（x）+（x+1）0，令g
8、（x）=（x+1）f（x），得到函数的单调性，由xf（x）yf（y）f（y）f（x）得到xy.再逐一分析判断每一个选项的正误得解.【详解】因为f（x）+x，所以f（x）+（x+1）0，令g（x）=（x+1）f（x），则=f（x）+（x+1）0对xR恒成立，g（x）在xR时单调递增.又由题得实数x，y满足（x+1）f（x）（y+1）f（y）0，所以g（x）g（y），xy，取x=1，y=，则有成立，故A选项错误；又当x=1，y=时，有ln（1+x2）=ln（1+y2），故B选项错误；令h（x），则h（x），当x1时，0，此时h（x）单调递增，当x1时，0，此时h（x）单调递减，当yx1时，有h（x
9、）h（y）成立，即有成立，故C选项错误；令t（x）=xsinx，则=1cosx0，此时t（x）单调递增，又xy，t（x）t（y），xsinxysiny，即xysinxsiny，故D选项正确.故选：D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设函数若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知：的极值为，所以，因为，所以，所以即，所以，即3，而已知，所以3，故，解得或，故选C.考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解
10、决问题的能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.定积分_【答案】【解析】【分析】直接根据微积分基本定理即可得结果.【详解】由微积分基本定理可得，故答案为50.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，属于基础题.14.不等式|x1|x5|2的解集是_.【答案】【解析】【分析】分,与三种情况去绝对值进行求解即可.【详解】当时,原不等式可化为：1x+x52,恒成立,时,原不等式可化为：x1+x52,解得：1x4,时,原不等式可化为：x1x+52,无解.综上：原不等式的解集是.故答案为：【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,属于基础题.15.已知函数，若方程f（x）m=0
11、恰有两个实根，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】通过求导，得出分段函数各段上的单调性，从而画出图像.若要方程f（x）m=0恰有两个实根，只需y=m与y=f（x）恰有两个交点即可，从而得出的取值范围.【详解】（1）x0时，f（x）=exx1，易知f（0）=0，而f（x）=ex10，所以f（x）在（，0上递减，故f（x）f（0）=0，故f（x）在（，0上递增，且f（x）f（0），当x时，f（x）.（2）x0时，令f（x）0，得0xe；f（x）0得xe；故f（x）在（0，e）上递增，在（e，+）递减，故x0时，；x0时，f（x）；x+时，f（x）0.由题意，若方程f（x）m=0恰有两个
12、实根，只需y=m与y=f（x）恰有两个交点，同一坐标系画出它们图象如下：如图所示，当直线y=m在图示，位置时，与y=f（x）有两个交点，所以m的范围是：.故答案为：.【点睛】本题考查了方程根的问题转化为函数图像交点问题，以及利用导数求函数单调性.考查了转化思想和数形结合，属于中档题.16.已知函数f（x）=x2ax3（a0），xR.若对任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，则a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由=2ax2+2x，令=0，得，根据对任意x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，分， ， 三种情况讨论f（x1），
13、f（x2）的值域即可.【详解】因为=2ax2+2x，令=0得，：当，即a1时，0，在x1，+）恒成立，所以f（x）在1，+）递减，若对任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，所以f（x1）的值域为（），f（x2）的值域为（），由f（x1）f（x2）=1得：.显然，当f（x1）时，0（负数），故要满足结论，首先需满足：，解得.所以.当，即时，f（x1）在（2，+）上递减，故此时f（x1），f（x2）在（1，）递增，在递减，故0.此时只需即可，解得.当，即时，f（x1），f（x2）的最大值都是0，所以能取到所有正实数，而，故此时不满足题意.综上，a的取值范围是.故
14、答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的值域以及双变量问题，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22题每小题10分17.已知函数.（1）求曲线y=f（x）在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）求过点作曲线y=f（x）的切线方程.【答案】（1）；（2）y或18x2y35=0.【解析】【分析】（1）函数的导数为=x2，曲线y=f（x）在点处的切线的斜率为k=1，写出切线的方程，分别令x=0，y=0，得到在x，y轴上的截距，再利用三角形面积公式求解.（2）易得A（2，）不在图象上，设切点为（m，n），则切线的斜率为m2
15、，切线的方程为yn=m2（xm），再由求解.【详解】（1）因为函数，所以=x2，所以所以曲线y=f（x）在点处的切线的斜率为k=1，则切线的方程为yx1，即为6x6y1=0，令x=0，可得y；y=0，可得x.则切线与坐标轴围成的三角形的面积为S；（2）由A（2，）和，可得f（2），即A不在f（x）的图象上，设切点为（m，n），则切线的斜率为m2，切线的方程为yn=m2（xm），则，解得或，故切线的方程为y或18x2y35=0.【点睛】本题主要考查导数的几何意义及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.如图,五面体ABCC1B1中,AB14.底面ABC 是正三角形,AB=2.四边形BC
16、C1B1是矩形,二面角ABCC1为直二面角.（1）D在AC上运动,当D在何处时,有AB1/平面BDC1,并且说明理由；（2）当AB1/平面BDC1时,求二面角CBC1D余弦值.【答案】（1）当D为AC中点时,有AB1/平面BDC1,理由见解析；（2）.【解析】【分析】(1)根据线面平行以及中位线的性质易得当D为AC中点时,有AB1/平面BDC1,再连接B1C交BC1于O,连接DO,进而证明DO/AB1即可.(2)以为原点建立空间直角坐标系,再分别求得面与面的法向量,继而求得二面角的余弦值即可.【详解】(1)当D为AC中点时,有AB1/平面BDC1,证明：连接B1C交BC1于O,连接DO四边形B
17、CC1B1是矩形O为B1C中点又D为AC中点,从而DO/AB1,AB1平面BDC1,DO平面BDC1AB1/平面BDC1(2)建立空间直角坐标系Bxyz如图所示,则B（0,0,0）,A（,1,0）,C（0,2,0）,D（,0）,C1（0,2,2）,所以（,0）,（0,2,2）.设为平面BDC1的法向量,则有,即令,可得平面BDC1的一个法向量为（3,1）,而平面BCC1的一个法向量为,所以cos,故二面角CBC1D的余弦值为.【点睛】本题主要考查了判断线面平行的条件,同时也考查了建立空间直角坐标系求解二面角的问题.属于中档题.19.已知直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为
18、极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）若直线与圆相交于、两点，且，求的值.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】(1)根据极坐标和直角坐标的互化公式得到结果；（2）联立直线和圆得到，根据弦长公式得到，根据韦达定理得到结果.【详解】（1）圆C的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入到圆C的直角坐标方程中，有，由 ，代入韦达定理得到：得，所以或.【点睛】这个题目考查了极坐标方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t的几何意义，一般t的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故，均可用t来表示，从而转化为韦达定理来解决.20.已知函数，其中是的导函数.若.（1）求的表
19、达式；（2）求证：，其中nN*.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件猜想，利用数学归纳法证得猜想成立.（2）利用放缩法，结合裂项求和法，证得不等式成立.【详解】（1）由题意可知，由已知 ，猜想，下面用数学归纳法证明：（i）当 n=1 时，结论成立：假设 n=k（k1，kN*） 时结论成立，即，那么，当n=k+1（k1，kN*）时，即结论成立.由（i）（ii）可知，结论对 nN* 成立.（2），g（121）+g（221）+g（321）+g（n21） ，g（121）+g（221）+g（321）+g（n21）.【点睛】本小题主要考查数学归纳法，考查不等式的证明，属于中
20、档题.21.已知函数f（x）=alnx+（a+1）x（a0）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）+ax+b恒成立，求a时，实数b的最大值【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）求出并对其因式分解，对与1的大小分类讨论，由的正负情况判断的单调性（2）把f（x）+ax+b恒成立转化成balnx+x恒成立，令g（x）=alnx+x，求出g（x）=，判断g（x）的单调性，从而求得g（x）min=alna+a，令h（a）=alna+a，求得h（a）=lna0，即可求得h（a）min，问题得解【详解】（1）f（x）=alnx+（a+1）x（a0），定义域为（0，+），x0令f（x）=
21、0，则x1=a，x2=1当0a1时，令f（x）0，则ax1；令f（x）0，则0xa，或x1，f（x）在（0，a），（1，+）上单调递减；在（a，1）上单调递增； 当a=1时，f（x）0，且仅在x=1时，f（x）=0，f（x）在（0，+）单调递减； 当a1时，令f（x）0，则1xa；令f（x）0，则0x1，或xa，在（0，1 ），（a，+）上单调递减；在（1，a）上单调递增 综上所述，当0a1时，f（x）在（0，a），（1，+）上单调递减；在（a，1）上单调递增；当a=1时，f（x）在（0，+）上单调递减；当a1时，f（x）在（0，1），（a，+）上单调递减；在（1，a）上单调递增 （2）f（x
22、）=alnx+（a+1）x（a0）若恒成立，balnx+x恒成立令g（x）=alnx+x，x0，即bg（x）min，g（x）=，（a0），g（x） 在（0，a）单调递减，（a，+） 单调递增；g（x）min=g（a）=alna+abalna+a，a，1，令h（a）=alna+ah（a）=lna0，h（a）单调递增，h（a）min=h（）=（1+ln2），即b的最大值为【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，还考查了分类讨论思想及转化思想，考查计算能力，属于难题22.已知函数.（1）a=1时,求函数f（x）的极值；（2）若,求f（x）的最小值g（a）的取值范围.【答
23、案】（1）f（x）极小值e1,无极大值；（2）ln21,e1.【解析】【分析】(1)代入求导可得,再求导分析单调性与最值可知,进而求得的极值点与单调区间以及极值.(2)求导后构造导函数得出,再根据(1)中的结论可知恒成立,进而可得在定义域上单调递增.再根据零点存在定理可知 在上有唯一解,且,进而求得最小值,再根据隐零点问题消去参数,再构造函数关于极值点的函数分析即可.【详解】(1)当a=1时,则,令h（x）=exx,当x（0,+）时,h（x）=ex10,在（0,+）上,h（x）h（0）=1,即exx,令f（x）=0,则x=1,经检验,在（0,1）上,f（x）0,f（x）单调递减,在（1,+）上
24、,f（x）0,f（x）单调递增,当x=1时,函数y=f（x）取得极小值e1,无极大值；(2),令,则,由（1）知,当x（0,+）时,exx,ex（x22x+2）xx（x22x+2）x=x（x1）20,p（x）0在（0,+）上恒成立,f（x）在定义域上单调递增,方程f（x）=0在（0,+）上有唯一解,设方程f（x）=0的解为x0,则在（0,x0）上f（x）0,在（x0,+）上f（x）0,且1x02,f（x）的最小值为,由f（x）=0得,代入g（a）得,令,则,x2+2x2=（x1）211,ex（x2+2x2）+xxex0,（x）在1,2上为减函数,g（a）ln21,e1.【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调性的问题,需要根据题意求出函数的极值点,再求出单调区间与极值.同时也考查了构造函数分析隐零点的问题,需要结合极值点满足的关系式消参,进而求导分析函数的单调性与取值范围.属于难题.
