1、章末复习课 1注意区分曲线在点P处的切线与过点P的曲线的切线2导数公式与导数的四则运算法则：(1)要注意公式的适用范围如(xn)nxn1中，nN，若nQ且n0，则应有x0；(2)注意公式不要用混，如(ax)axln a，而不是(ax)xax1.还要特别注意(uv)uv，().3利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题：(1)注意定义域优先原则，必须在函数的定义域内解不等式f(x)0(或f(x)0)；(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意函数的不连续点或不可导点；(3)注意在某一区间内f(x)0(或f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件4
2、若yf(x)在(a，b)内可导，f(x)0或f(x)0，且yf(x)在(a，b)内导数f(x)0的点仅有有限个，则yf(x)在(a，b)内仍是单调函数5讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论6极值与最值的区别和联系：(1)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性； (2)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值；(3)可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点；(4)极值是一个局部概念，极大值不一定比极小值大7导数的实际应用：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的
3、意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值8应用定积分求平面图形的面积时，要特别注意面积值应为正值，故应区分积分值为正和为负的情形专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是曲线的切线斜率，即曲线上某点处的导数值是曲线过该点的切线的斜率. 与曲线的切线有关的问题，主要有两类：一类是求过某点的切线方程，该点可能在曲线上，也可能在曲线外；若该点在曲线上，也可能是切点，也可能不是切点另一类是已知切线方程或切线斜率，求参数的值已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2
4、，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程解：(1)因为P(2，4)在曲线yx3上，且yx2，所以在点P(2，4)处的切线的斜率ky|x24.所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率ky|xx0x，所以切线方程为yx(xx0)，即yxxx.因为点P(2，4)在切线上，所以42xx，即x3x40，所以xx4x40，所以(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为4xy40或xy20.(3)设切点为(x1，y1)，则切线的斜率kx4，得
5、x02.所以切点为(2，4)，所以切线方程为y44(x2)和y4(x2)，即4xy40和12x3y200.归纳升华(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率kf(x0)，写出其切线方程而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确已知函数f(x)xb(x0)，其中a，bR.若曲线yf(x)在点P(2，f(2)处的切线方程为y3x1，则函数f(x)的解
6、析式为f(x)_解析：f(x)1.由导数的几何意义得f(2)3，即13，所以a8.由切点P(2，f(2)在直线y3x1上，得f(2)3217，则2b7，解得b9，所以函数f(x)的解析式为f(x)x9(x0)答案：x9(x0)专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想这类问题要注意的是f(x)为增函数f(x)0且f(x)0的根有有限个，f(x)为减函数f0且f(x)0的根有有限个已知函数f(x)ax3bx2的图象经过点M(1，4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x9y0垂直(1)求
7、实数a，b的值；(2)若函数f(x)在区间上单调递增，求m的取值范围解：(1)因为f(x)ax3bx2的图象经过点M(1，4)，所以ab4，f(x)3ax22bx，则f(1)3a2b.由条件f(1)1，即3a2b9，由式解得a1，b3.(2)f(x)x33x2，f(x)3x26x令f(x)3x26x0，得x0或x2，因为函数f(x)在区间上单调递增所以(，2)(0，)，解得m0或m12，所以m0或m3.归纳升华求可导函数单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)，令f(x)0，求出它们在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标
8、和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性设函数f(x)x2aln (1x)有两个极值点x1，x2，且x1x2.求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性解：由题意知，函数f(x)的定义域是x|x1，f(x)，且f(x)0有两个不同的根x1，x2，所以方程2x22xa0的判别式48a0，即a，且x1，x2.又因为x11，所以a0，所以a的取值范围是.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表所示：x(1，x1)x1(x1，x2)x2(x2，
9、)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在区间(1，x1)和(x2，)上单调递增，在区间(x1，x2)上单调递减专题三导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时， f(x)0；当x时，f(x)0
10、.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上无最大值；当a0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为fln aln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增又g(1)0，于是，当0a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0，1)归纳升华(1)运用导数求可导函数yf(x)的极值的步骤：先求函数的定义域，再求函数yf(x)的导数f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根
11、处取得极小值(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值已知函数f(x)xln x，g(x)x3ax2x2(aR)(1)如果函数g(x)的单调递减区间为，求函数g(x)的解析式；(2)若不等式2f(x)g(x)2恒成立，求实数a的取值范围解：(1)g(x)3x22ax1由题意3x22ax10的解集是，即3x22ax10的两根是和1.将x1或代入方程3x22ax10得a1.所以g(x)x3x2x2.(2)2f(x)g(x)2对x(0，)恒成立，即：2xln x3x2
12、2ax1对x(0，)恒成立，可得aln xx对x(0，)恒成立，设h(x)ln x，则h(x)，令h(x)0，得x(舍)或x1，当0x1时，h(x)0；当x1时，h(x)0，所以当x1时，h(x)取得最大值，最大值为2，所以a2.所以实数a的取值范围是(2015福建卷)已知函数f(x)ln x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x1时，f(x)x1.(1)解：f(x)x1，x(0，)由f(x)0得解得0x.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明：令F(x)f(x)(x1)，x(0，)则有F(x).当x(1，)时，F(x)0，所以F(x)在当x时，证明：tan xx.证明：设f(
13、x)tan xx，x.则f(x)11tan2 x0，所以f(x)在上是增函数又f(x)tan xx在x0处可导，且f(0)0.所以当x时，f(x)f(0)恒成立所以tan xx0，即tan xx.专题五定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功高考中要求较低，一般只考一个小题已知抛物线yx22x及直线x0，xa，y0围成的平面图形的面积为，求a的值解：作出yx22x的图象如图所示(1)当a0时，S(x22x)dxa2，所以(a1)(a2)20，因为a0，所以a1.(2)当a0时，若0a2，则S(x22x)dx|
14、a2，所以a33a240，即(a1)(a2)20.因为a0，所以a2.当a2时，不合题意综上a1或a2.归纳升华(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：画出图形，确定图形范围；解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；计算定积分，求出平面图形面积(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果(1)若函数f(x)在R上可导，f(x)x3x2f(1)，则f(x)dx _
15、；(2)在平面直角坐标系xOy中，直线ya(a0)与抛物线yx2所围成的封闭图形的面积为，则a_解析：(1)因为f(x)x3x2f(1)，所以f(x)3x22xf(x)，所以f(1)32f(1)，所以f(1)3，所以f(x)dx4.(2)由可得A(，a)，B(，a)，S (ax2)dx2，解得a2.答案：(1)4(2)2专题六化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答设f(x)，其中a为正实数(1)当a时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围解：(1)
16、对f(x)求导得f(x)ex.当a时，若f(x)0，则4x28x30，解得x1，x2.综合，可知：xf(x)00f(x)极大值极小值所以，x1是极小值点，x2是极大值点(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立，因此4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.归纳升华本题中，将f(x)为R上的单调函数转化为其导数f(x)0在R恒成立，使问题得以解决与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等如果函数f(x)2x2ln x在定义域内的一个子区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是_解析：显然函数f(x)的定义域为(0，)，y4x.由y0，得函数f(x)的单调递增区间为；由y0，得函数f(x)的单调递减区间为，由于函数在区间(k1，k1)上不是单调函数，所以解得1k.答案：
