1、单元质检三导数及其应用(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是()A.7米/秒B.6米/秒C.5米/秒D.8米/秒2.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+3=0垂直,则a等于()A.2B.-2C.D.-3.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是()A.m0B.m1D.m14.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(-,-,+)B.-C.(-,-)(,+)D.(-)5.函数f(x
2、)=x2+x-ln x的零点的个数是()A.0B.1C.2D.36.(2016山东滨州二模)若f(x)=ae-x-ex为奇函数,则f(x-1)e-的解集为()A.(-,0)B.(-,2)C.(2,+)D.(0,+)7.已知a+ln x对任意x恒成立,则a的最大值为()A.0B.1C.2D.38.已知函数f(x)=ln x+tan 的导函数为f(x),若方程f(x)=f(x)的根x0小于1,则的取值范围为()A.B.C.D.9.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0,且g(3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是()A.(-3,0)(3,+)B.(-3,0)(0,3)C
3、.(-,-3)(3,+)D.(-,-3)(0,3)10.已知f(x)是可导的函数,且f(x)f(x)对于xR恒成立,则()A.f(1)e2 014f(0)B.f(1)ef(0),f(2 014)e2 014f(0)C.f(1)ef(0),f(2 014)e2 014f(0)D.f(1)ef(0),f(2 014)e2 014f(0)导学号3727055911.若函数f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.导学号3727056012.(2016江西金太阳考前原创题)若存在两个不相等正实数x,y,使得等式x+a(y-2ex)(ln y-ln x)=0成立,其
4、中e为自然对数的底数,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.(-,0)导学号37270561二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.函数y=x-x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于.14.已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在区间(-,+)内是减函数,则实数a的取值范围是.15.(2016河南焦作二模)已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,abc,且f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论:f(0)f(1)0;f(0)f(3)0;f(0)f(3)0;f(1)f(3)0时,x2ex.导学号3727056520.(12分)(2016河南商丘二模)已知直线y=
5、x+b与函数f(x)=ln x的图象交于两个不同的点A,B,其横坐标分别为x1,x2,且x1x2.(1)求b的取值范围;(2)当x22时,证明x1kx对任意的x(0,+)恒成立,求实数k的取值范围.导学号3727056722. (12分)(2016湖北优质高中联考)已知函数f(x)=ax+x2-xln a(a0,且a1).(1)求函数f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)若存在x1,x2-1,1,使得|f(x1)-f(x2)|e-1(e是自然对数的底数),求实数a的取值范围.导学号37270568参考答案单元质检三导数及其应用1.C解析 根据瞬时速度的意
6、义,可得3 s末的瞬时速度是v=s|t=3=(-1+2t)|t=3=5.2.B解析 因为y=的导数为y=,所以曲线在点(3,2)处的切线斜率k=-,又直线ax+y+3=0的斜率为-a,所以-a=-1,解得a=-2.3.B解析 求导得y=ex+m,由于ex0,若y=ex+mx有极值,则必须使y的值有正有负,故m0.4.B解析 由题意,知f(x)=-3x2+2ax-10在R上恒成立,故=(2a)2-4(-3)(-1)0,解得-a.5.A解析 由f(x)=2x+1-=0,得x=或x=-1(舍去).当0x时,f(x)时,f(x)0,f(x)单调递增.则f(x)的最小值为f+ln 20,所以无零点.6.
7、D解析 f(x)在R上为奇函数,f(0)=0,即a-1=0.a=1.f(x)=e-x-ex,f(x)=-e-x-ex0.f(x)在R上单调递减.由f(x-1)-1,即x0.f(x-1)e-的解集为(0,+).7.A解析 令f(x)=+ln x,则f(x)=.当x时,f(x)0.f(x)在内单调递减,在(1,2上单调递增,在x上,f(x)min=f(1)=0,a0,即a的最大值为0.8.A解析 f(x)=ln x+tan ,f(x)=.令f(x)=f(x),得ln x+tan =,即tan =-ln x.设g(x)=-ln x,显然g(x)在(0,+)内单调递减,而当x0时,g(x)+,故要使满
8、足f(x)=f(x)的根x0g(1)=1,又0,.9.D解析 当x0,即f(x)g(x)0,当x0时,f(x)g(x)为增函数,又g(x)是偶函数,且g(3)=0,g(-3)=0,f(-3)g(-3)=0.故当x-3时,f(x)g(x)0时,f(x)g(x)为增函数,且f(3)g(3)=0,故当0x3时,f(x)g(x)0.故选D.10.D解析 令g(x)=,则g(x)=0,故函数g(x)=在R上是减函数,所以g(1)g(0),g(2 014)g(0),即,故f(1)ef(0),f(2 014)0,且t1),则a=(2e-t)ln t.令f(t)=(2e-t)ln t,f(t)0,则f(t)=
9、-(1+ln t),令=(1+ln t),得t=e,由数形结合可知,当te时,f(t)0,当0t0.所以f(t)e,且f(t)0,所以0e或0,解得a0或a.13.解析 由x-x2=0,得x=0或x=1.因此,所围成的封闭图形的面积为(x-x2)dx=.14.( -,-3解析 由题意可知f(x)=3ax2+6x-10在R上恒成立,则解得a-3.15.解析 f(x)=x3-6x2+9x-abc,f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).当1x3时,f(x)0;当x3时,f(x)0.f(x)的单调递增区间为(-,1)和(3,+),单调递减区间为(1,3).f(x)极大值=f(1)=1-
10、6+9-abc=4-abc,f(x)极小值=f(3)=27-54+27-abc=-abc.f(x)=0有三个解a,b,c,a1b30,且f(3)=-abc0.0abc4.f(0)=-abc,f(0)0,f(0)f(1)0,f(1)f(3)0.16.-3或-2解析 设切点为(a,a3-3a).f(x)=x3-3x,f(x)=3x2-3,切线的斜率k=3a2-3,由点斜式可得切线方程为y-(a3-3a)=(3a2-3)(x-a).切线过点A(1,m),m-(a3-3a)=(3a2-3)(1-a),即2a3-3a2=-3-m.过点A(1,m)可作曲线y=f(x)的两条切线,关于a的方程2a3-3a2
11、=-3-m有两个不同的根.令g(x)=2x3-3x2,g(x)=6x2-6x.令g(x)=0,解得x=0或x=1,当x0,当0x1时,g(x)1时,g(x)0,g(x)在(-,0)内单调递增,在(0,1)内单调递减,在(1,+)内单调递增,当x=0时,g(x)取得极大值g(0)=0,当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=-1.关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根,等价于y=g(x)与y=-3-m的图象有两个不同的交点,-3-m=-1或-3-m=0,解得m=-3或m=-2,实数m的值是-3或-2.17.解 (1)由题意知f(x)=18x2+6(a+2)x+2a.因为x1,x2是f
12、(x)的两个极值点,所以f(x1)=f(x2)=0.所以x1x2=1,所以a=9.(2)因为=36(a+2)2-4182a=36(a2+4)0,所以不存在实数a,使得f(x)是(-,+)内的单调函数.18.解 (1)当a=0时,f(x)=ex-1-x,f(x)=ex-1.当x(-,0)时,f(x)0.故f(x)在(-,0)内单调递减,在(0,+)内单调递增.(2)f(x)=ex-1-2ax.由(1)知ex1+x,当且仅当x=0时等号成立,故f(x)x-2ax=(1-2a)x.当a时,1-2a0,f(x)0(x0),f(x)在R上是增函数,又f(0)=0,于是当x0时,f(x)0.符合题意.当a
13、时,由ex1+x(x0)可得e-x1-x(x0).所以f(x)ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),故当x(0,ln 2a)时,f(x)0,而f(0)=0,于是当x (0,ln 2a)时,f(x)0.不符合题意.综上可得a的取值范围为.19.(1)解 由f(x)=ex-ax,得f(x)=ex-a,又f(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=ex-2x,f(x)=ex-2.令f(x)=0,得x=ln 2,当xln 2时,f(x)ln 2时,f(x)0,f(x)单调递增,所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,极小值为f(ln 2)=2-2ln 2=2-ln 4.
14、f(x)无极大值.(2)证明 令g(x)=ex-x2,则g(x)=ex-2x.由(1)得g(x)=f(x)f(ln 2)=2-ln 40,故g(x)在R上单调递增,又g(0)=10,所以当x0,g(x)g(0)0,即x20),则g(x)=1-(x0).当0x1时,g(x)1时,g(x)0,g(x)单调递增.可得g(x)在x=1处取得最小值b+1,当b-1时,b=ln x-x在(0,1)和(1,+)各有一个实根,故b的取值范围是(-,-1).(2)证明 由(1)可得0x11,g(x1)=g(x2)=0,故g(x1)-g=(x1-ln x1+b)-=(x2-ln x2+b)-=x2-3ln x2-
15、+ln 2.令h(t)=t-3ln t+ln 2,则h(t)=1-=.当t2时,h(t)0,h(t)单调递增,即h(t)h(2)=-2ln 20,当x22时,g(x1)-g0,即g(x1)g,又g(x)在(0,1)内单调递减,且0x11,01,故x1,可得x12.21.(1)解 f(x)=ex-x2+a,f(x)=ex-2x.由已知解得函数f(x)的解析式为f(x)=ex-x2-1.(2)证明 令(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,(x)=ex-1.由(x)=0,得x=0.当x(-,0)时,(x)0,(x)单调递增.故(x)min=(0)=0,从而f(x)-x2+x.(3)解 f(x)k
16、x对任意的x(0,+)恒成立k对任意的x(0,+)恒成立.令g(x)=,x0,则g(x)=.由(2)可知当x(0,+)时,ex-x-10恒成立,由g(x)0,得x1;由g(x)0,得0x1.故g(x)的递增区间为(1,+),递减区间为(0,1),即g(x)min=g(1)=e-2.故k0,a1),所以f(x)=axln a+2x-ln a,所以f(0)=0.又因为f(0)=1,所以函数f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.(2)由(1)知,f(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a.因为当a0,a1时,总有f(x)在R上是增函数,又f(0)=0,所以不等式f(x)0的解集为(0,+),不等式f(x)0),因为g(a)=1+0,所以g(a)=a-2ln a在a(0,1),(1,+)内是增函数.而g(1)=0,故当a1时,g(a)0,即f(1)f(-1);当0a1时,g(a)0,即f(1)1时,f(1)-f(0)e-1,即a-ln ae-1,函数y=x-ln x在x(1,+)内是增函数,解得ae;当0a1时,f(-1)-f(0)e-1,即+ln ae-1,函数y=+ln x在x(0,1)内是减函数,解得0a.综上可知,所求a的取值范围为e,+).
