1、课时分层作业二十四用二分法求方程的近似解(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.下列函数中能用二分法求零点的是()【解析】选C.在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点.在B中，函数无零点.在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点.2.对任意实数a，b，定义运算“”：ab=设f(x)=(x2-1)(4+x)，若函数y=f(x)+k恰有三个零点，则实数k的取值范围是()A.(-2，1)B.0，1C.-2，0)D.-2，1)【解析】选D.由新定
2、义可得f(x)=即f(x)=其图象如图所示，所以由y=f(x)+k恰有三个零点可得，-1-k2，所以-2k1.3.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)0，f(0.68)0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为()A.0.64B.0.74C.0.7D.0.6【解析】选C.已知f(0.64)0，则函数f(x)的零点的初始区间为0.64，0.72，又0.68=，且f(0.68)0，所以零点在区间0.68，0.72上，因为|0.68-0.72|=0.040.1，因此函数的一个正实数零点的近似值约为0.7.4.用二分法研究函数f(x)=x3-2x-1的零点时，若零
3、点所在的初始区间为(1，2)，则下一个有根区间为()A.(1，2)B.(1.75，2)C.(1.5，2)D.(1，1.5)【解析】选C.函数f(x)=x3-2x-1，满足f(1)=1-2-1=-20，取区间(1，2)的中点，有f=-3-1=-0，ff(2)0.所以零点所在区间为(1.5，2).5.用二分法求关于x的方程ln x+2x-6=0的近似解时，能确定为解所在的初始区间的是()A.(2，3)B.(0，2)C.(1，2)D.(0，+)【解析】选A.令函数f(x)=ln x+2x-6，可判断在(0，+)上单调递增，所以f(1)=-4，f(2)=ln 2-20，所以根据函数的零点判断方法可得：
4、零点在(2，3)内，所以利用二分法求方程ln x+2x-6=0的近似解的初始区间是(2，3).二、填空题(每小题5分，共15分)6.用二分法求方程x2=2的正实根的近似解(精确度为0.001)时，如果选取初始区间是1.4，1.5，则达到精确度要求至少需要计算_次.【解析】设至少需要计算n次，则n满足100，因为nN*，且27=128，故要达到精确度要求至少需要计算7次.答案：77.某方程有一无理根在区间D=(1，3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分n次后，所得近似值可精确到0.1，则n的值为_.【解析】由10，所以n-14，即n5.答案：58.已知函数f(x)是定义在(-，0)(0，+)
5、上的偶函数，当x0时，f(x)=则函数g(x)=4f(x)-1的零点个数为_.【解析】函数g(x)=4f(x)-1有零点即4f(x)-1=0有解，即f(x)=，由题意可知，当02时，f(x)=f(x-2)，所以当2x4时，f(x)=2|x-3|，此时f(x)的取值范围为；当4x6时，f(x)=2|x-5|，此时f(x)的取值范围为，x=5时，f(5)=；当6x8时，f(x)=2|x-7|，此时f(x)的取值范围为，x=8时，f(8)=；当80时，f(x)=有两解，即当x0时函数g(x)=4f(x)-1有两个零点，因为函数f(x)是定义在(-，0)(0，+)上的偶函数，所以当x0时，f(x)=也
6、有两解，所以函数g(x)=4f(x)-1共有四个零点.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)9.函数f(x)=x2+ax+a2-a-有零点，但不能用二分法求出，求a的值.【解析】因为函数f(x)=x2+ax+a2-a-有零点，但不能用二分法求出，所以=a2-4=0，解得a=3，或a=-.10. 已知函数f(x)=3x+在(-1，+)上为增函数，求方程f(x)=0的正根(精确度0.01).【解析】由于函数f(x)=3x+在(-1，+)上为增函数，故在(0，+)上也单调递增，因此f(x)=0的正根最多有一个.因为f(0)=-10，所以方程的正根在(0，1)内，取(0，1)为初始区间，用二分法
7、逐次计算，列出下表：区间中点的值中点函数近似值(0，1)0.50.732(0，0.5)0.25-0.084(0.25，0.5)0.3750.328(0.25，0.375)0.312 50.124(0.25，0.312 5)0.281 250.021(0.25，0.281 25)0.265 625-0.032(0.265 625，0.281 25)0.273 437 5-0.005 43(0.273 437 5，0.281 25)因为|0.273 437 5-0.281 25|=0.007 812 50.01，所以方程的根的近似值为0.273 437 5，即f(x)=0的正根约为0.273 43
8、7 5.(35分钟65分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x0123f(x)3.10.1-0.9-3那么函数f(x)一定存在零点的区间是()A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，+)【解析】选B.因为f(1)f(2)1时，如图，此时存在实数0mf(a)，使得函数g(x)=f(x)-m有两个零点，此时不存在实数m，使得函数g(x)=f(x)-m有3个零点.当0a1时，如图，此时存在实数a3ma2，使得函数g(x)=f(x)-m有3个零点，合乎题意.当a0时，不存在实数m，使得函数g(x)=f(x)-m有3个零点
9、.综上所述，所求的实数a的取值范围为(0，1).4.已知函数f(x)=ax3-3x+1，用二分法求函数f(x)的一个零点时，第一次取的区间为，第二次取的区间为，第三次取的区间为，则实数a的取值范围为()A.-16a2B.-4a4C.-16a4D.-16a2【解析】选D.因为f(0)=1，所以由二分法求零点的依据可得f(1)0，即a-3+10，所以a2， 因为第二次取的区间为，所以f0，即-+10，所以a0，即-+10，所以a-16，所以实数a的取值范围为-16a2.5.定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)0，用二分
10、法求x0时，当f=0时，则函数f(x)的零点是()A.(a，b)外的点B.C.区间或内的任意一个实数D.a或b【解析】选B.由二分法的思想，采用二分法得到的零点可能是准确值，也可能是近似值.二、填空题(每小题5分，共20分)6.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)-0.984f(1.375)-0.260f(1.437 5)0.162f(1.406 25)-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度0.1)为_.【解析】由于精确度是0.1，而|1.437 5-1.
11、375|=0.062 50.1，故可得方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解为1.437 5.答案：1.437 5(答案不唯一)【延伸探究】用二分法求函数零点应注意的两个问题(1)求函数的近似零点时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.(2)求函数零点的近似值时，由于所选取的起始区间不同，最后得到的结果可以不同，但它们都是符合所给定的精确度的.7. 关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的有_.“二分法”求方程的近似解一定可将y=f(x)在a，b内的所有零点得到“二分法”求方程的近似解有可能得到f(x)=0在a，b内的重根“二分法”求方程的近似解有可能y=f(x)在a，b内没有零点“
12、二分法”求方程的近似解可能得到f(x)=0在a，b内的精确解【解析】利用二分法求函数y=f(x)在a，b内的零点，那么在区间a，b内肯定有零点存在，而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是a，b内的精确解.答案：8.某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)=lg x+x-2，算得f(1)0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出方程的近似解.那么他所取的x的4个值中最后一个值是_.【解析】根据“二分法”的定义，最初确定的区间是(1，2)，故后4个区间分别是(1.5，2)，(1.75，2)，(1.75，1.875)
13、，(1.75，1.812 5)，故他取的4个值分别为 1.5，1.75，1.875，1.812 5，最后一个值是1.812 5.答案：1.812 59.定义在R上的奇函数f(x)满足条件f(1+x)=f(1-x)，当x0，1时，f(x)=x，若函数g(x)=|f(x)|-ae-|x|在区间-2 020，2 020上有4 036 个零点，则实数a的取值范围是_.【解析】因为f(x)满足条件f(1+x)=f(1-x)且为奇函数，则f(x)的图象关于x=1对称，且f(x)=f(2-x)，f(x)=-f(-x)，所以-f(-x)=f(2-x)，即-f(x)=f(2+x)，所以f(x+4)=f(x)，令
14、m(x)=|f(x)|，n(x)=ae-|x|，可知m(x)与n(x)为偶函数，且要使m(x)与n(x)图象有交点，需a0，画出m(x)、n(x)的图象如图，当a=0时，g(x)在-2 020，2 020上有2 021个零点，不合题意，由题意知要满足g(x)在区间-2 020，2 020上有4 036个零点，只需m(x)与n(x)的图象在0，4上有两个交点，则，解得eae3.答案：(e，e3)三、解答题(每小题10分，共20分)10. 如图，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子.(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，
15、并讨论这个函数的定义域.(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少(精确度为0.1 cm)？【解析】(1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式是y=(15-2x)2x，其定义域为x|0x7.5.(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(15-2x)2x=150.下面用二分法来求方程在(0，7.5)内的近似解.令f(x)=(15-2x)2x-150，函数图象如图所示.由图象可以看到，函数f(x)在定义域内分别在区间(0，1)和(4，5)内各有一个零点，即方程(15-2x)2x=150分别在区间(0，1)和(4，5)内各有一个解.下面
16、用二分法求方程的近似解.取区间(0，1)的中点x1=0.5，用计算器可算得f(0.5)=-52.因为f(0.5)f(1)0，所以x0(0.5，1).再取(0.5，1)的中点x2=0.75，用计算器可算得f(0.75)-13.31.因为f(0.75)f(1)0，所以x0(0.75，1).同理可得x0(0.75，0.875)，x0(0.812 5，0.875)，此时区间的长度小于0.1，所以方程在区间(0，1)内精确度为0.1 cm的近似解可取为0.85.同理可得方程在区间(4，5)内精确度为0.1 cm的近似解为4.7.所以如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长大
17、约是0.85 cm或4.7 cm.【补偿训练】 已知函数f(x)=2x3-x2-3x+1.(1)求证：f(x)在区间(1，2)上存在零点.(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f(x)=0的一个近似解(精确度0.1).f(1)=-1f(1.5)=1f(1.25)=-0.406 25f(1.375)0.183 59f(1.312 5)-0.138 18f(1.343 75)0.015 81【解析】(1)因为f(x)=2x3-x2-3x+1，所以f(1)=-10，所以f(1)f(2)=-70，且f(x)=2x3-x2-3x+1在(1，2)内连续，所以f(x)在区间
18、(1，2)上存在零点.(2)由(1)知，f(x)=2x3-x2-3x+1在(1，2)内存在零点，由表知，f(1)=-1，f(1.5)=1，所以f(1)f(1.5)0，所以f(x)的零点在(1，1.5)上，因为f(1.25)=-0.406 25，所以f(1.25)f(1.5)0，所以f(x)的零点在(1.25，1.5)上，因为f(1.375)0.183 59，所以f(1.25)f(1.375)0，所以f(x)的零点在(1.25，1.375)上，因为f(1.312 5)-0.138 18，所以f(1.312 5)f(1.375)0，所以f(x)的零点在(1.312 5，1.375)上，因为f(1.
19、343 75)0.015 81，所以f(1.312 5)f(1.343 75)0，所以f(x)的零点在(1.312 5，1.343 75)上，由于|1.343 75-1.312 5|=0.031 250.1，所以f(x)=0的一个精确度0.1的近似解可以是1.343 75.11.方程2x3-6x2+3=0有几个解？求最小一个解的近似值.(精确度0.01)【解析】设函数f(x)=2x3-6x2+3，因为f(-1)=-50，f(1)=-10，f(2)=-50且函数f(x)=2x3-6x2+3的图象是连续的曲线，所以方程2x3-6x2+3=0有三个实数解.因为f(-1)f(0)0.因为f(-1)f(
20、-0.5)0，所以x0(-1，-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75，用计算器可算得f(-0.75)0.因为f(-0.75)f(-0.5)0，所以x0(-0.75，-0.5).同理，可得x0(-0.75，-0.625)，x0(-0.687 5，-0.625)，x0(-0.656 25，-0.625)，x0(-0.656 25，-0.640 625)，x0(-0.648 437 5，-0.640 625)，x0(-0.644 531 25，-0.640 625).由于|(-0.640 625)-(-0.644 531 25)|0.01，所以原方程最小值的近似值可取为-0.640 625.
