1、1.3二项式定理1.3.1二项式定理学 习 目 标核 心 素 养1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式(重点)3.能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点)1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养.2.借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算素养.1二项式定理(ab)nCanCan1bCan2b2CankbkCbn(nN*)(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理(2)展开式：等号右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，展开式中一共有n1项(3)二项式系数：各项的系数C(k0,1,2，n)叫做二项式系数2二项展开式的通项公式(ab)n展开式
2、的第k1项叫做二项展开式的通项，记作Tk1Cankbk.思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗，为什么？提示二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指C，C，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关思考2：二项式(ab)n与(ba)n展开式中第k1项是否相同？提示不同(ab)n展开式中第k1项为Cankbk，而(ba)n展开式中第k1项为Cbnkak.1(x1)n的展开式共有11项，则n等于()A9B10C11D12B由二项式定理的公式特征可知n10.2C2nC2n1C2nkC等于
3、()A2nB2n1C3nD1C原式(21)n3n.3(12x)5的展开式的第3项的系数为_，第3项的二项式系数为_4010T3C(2x)2C22x240x2，第3项的系数为40，第3项的二项式系数为C10.二项式定理的正用和逆用【例1】(1)求的展开式；(2)化简：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.解(1)法一：C()4C()3C()2CCx22x.法二：(2x1)4(16x432x324x28x1)x22x.(2)原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nk(1)kC(1)n(x1)(1)nxn.二项式定理的双向功能1正用：
4、将二项式(ab)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开2逆用：将展开式合并成二项式(ab)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律1(1)求二项式的展开式；(2)化简(x2)55(x2)410(x2)310(x2)25(x2)解(1)C(3)4C(3)3C(3)2C(3)C81x2108x54.(2)原式C(x2)5C(x2)4C(x2)3C(x2)2C(x2)C(x2)01(x2)151(x1)51.求展开式中的特定项【例2】已知展开式中第3项
5、的系数比第2项的系数大162.(1)n的值；(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数解(1)因为T3C()n24Cx，T2C()n12Cx，依题意得4C2C162，所以2CC81，所以n281，n9.(2)设第r1项含x3项，则Tr1C()9r(2)rCx，所以3，r1，所以第二项为含x3的项：T22Cx318x3.二项式系数为C9.1(变结论)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的常数项解通项公式为：Tk1(2)kCx.由0得k3.展开式中的常数项为(2)3C672.2(变结论)在本例不变的条件下，求二项展开式的所有有理项解由题意可得故k可取1,3,5,7,9.故二项展开式的所有有
6、理项为T2(2)Cx318x3；T4(2)3Cx0672；T6(2)5Cx34 032x3；T8(2)7Cx64 608x6；T10(2)9Cx9512x9.1求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项，TkCank1bk1.(2)求含xk的项(或xpyq的项)(3)求常数项(4)求有理项2求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的
7、指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致二项式定理的灵活应用探究问题1(abc)2的展开式共有几项？提示(abc)2a2b2c22ab2ac2bc，故其展开式共6项2你能借助计数原理的知识说明一下(abc)2的展开过程吗？提示(abc)2相当于2个(abc)相乘，即(abc)2(abc)(abc)，故按分步乘法原理及分类加法原理可知：要出现a2，只有两个括号同时出a；要出现ab，只有1个括号出a，另一个括号出b，即Cab；同理可得其他展开项【例3】(1)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10B20C30D60(2)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案)思
8、路点拨(1)(x2xy)5相当于5个x2xy相乘；(2)(xy)(xy)8x(xy)8y(xy)8，结合题意求解即可(1)C(2)20(1)(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC30.故选C.(2)(xy)(xy)8x(xy)8y(xy)8，所以展开式中含有x2y7的项为xCxy7yCx2y620x2y7，故x2y7的系数为20.1两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点(2)找到构成展开式中特定项的组成部分(3)分别求解再相乘，求和即得2三项或三项以上的展开问题应根据式子的
9、特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性2(1)(1x)6展开式中x2的系数为()A15B20 C30D35(2)求(x23x2)5的展开式中x的系数(1)C(1)(1x)6展开式的通项Tr1Cxr，所以(1x)6的展开式中x2的系数为1C1C30，故选C.(2)解把(x23x2)5看成5个(x23x2)相乘，每个因式各取一项相乘得到展开式中的一项，x项可由1个因式取3x,4个因式取2得到，即C3xC24240x，所以(x23x2)5的展开式中x的系数为240.1二项式系数与项的系数是两个不同的概念
10、，前者仅与二项式的指数及项数有关，后者与二项式的指数、项数及字母的系数均有关2要牢记Cankbk是展开式的第k1项，而非第k项3对于非二项式的展开式问题可借助其原理求解1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)(ab)n展开式中共有n项()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响()(3)Cankbk是(ab)n展开式中的第k项()(4)(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同()答案(1)(2)(3)(4)2(x)10展开式中x6项的二项式系数为()ACBCC4CD4CB含x6项为展开式中第5项，所以二项式系数为C.3在(1x3)(1x)10的展开式中，x5的系数是_207x5应是(1x)10中含x5项、含x2项分别与1，x3相乘的结果，其系数为CC(1)207.4求的展开式的第3项的系数和常数项解T3C(x3)3Cx5，所以第3项的系数为C.通项Tk1C(x3)5kCx155k，令155k0，得k3，所以常数项为T4C(x3)2.
