1、第22讲数列的单调性与最值问题 一选择题（共19小题）1（2021甲卷）等比数列的公比为，前项和为设甲：，乙：是递增数列，则A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解答】解：若，则，则是递减数列，不满足充分性；，则，若是递增数列，则，满足必要性，故甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选：2（2021春绍兴期末）已知等比数列和公差不为零的等差数列都是无穷数列，当时，则A若是递增数列，则数列递增B若是递增数列，则数列递增C若数列递增，则数列递增D若数列递增，则数列递增【解答】解：若，公比，可得在时递增，但不递增，比如
2、，即，故错误；若，公差，则在时递增，但不递增，比如，即有，故错误；若，即在时递增，但不递增，故错误；若数列递增，即有恒成立，则，即数列递增，故正确故选：3（2021春浙江期中）已知数列满足，且，则ABCD【解答】解：由，可得，又，可得，则，相加可得，则，故选：4（2021浙江模拟）已知数列满足：，（1）数列是单调递减数列；（2）对任意的，都有；（3）数列是单调递减数列；（4）对任意的，都有则上述结论正确的个数是A1B2C3D4【解答】解：由题可知，故（1）不正确；由题意得，则，故数列为单调递减数列，故（3）正确；因为所以当时，则，故，故（2）正确；因为，所以，故（4）正确综上，正确结论的个数为
3、3，故选：5（2021浙江）已知，成等比数列，且，若，则A，B，C，D，【解答】解：，成等比数列，由等比数列的性质可知，奇数项符号相同，偶数项符号相同，设公比为，当时，令，即，故，不成立，即：，不成立，排除、当时，等式不成立，所以；当时，不成立，当时，并且，能够成立，故选：6（2021浙江模拟）已知是等差数列，为数列的前项和，且，则的最大值为A66B56C46D36【解答】解：因为是等差数列，且，所以，所以即，因为，则的最大值为故选：7（2021上城区校级开学）设数列满足，对任意的恒成立，则下列说法不正确的是AB是递增数列CD【解答】解：因为且，设，则，当时，故在上为单调递增函数，即在上为增函
4、数，故，所以，故，即，所以，故选项正确，选项错误；由在上为单调递增函数，所以数列是递增数列，故选项正确；因为，所以，因此，故，故选项正确故选：8（2021宁波二模）设，无穷数列满足：，则下列说法中不正确的是A时，对任意实数，数列单调递减B时，存在实数，使得数列为常数列C时，存在实数，使得不是单调数列D时，对任意实数，都有【解答】解：当时，则对任意实数，数列单调递减，故正确当时，存在实数，使得数列为常数列，故正确；当时，取，可得不是单调数列，故正确；当时，取，则，故错误故选：9（2021浙江模拟）设等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的是A，B，C，D，【解答】解：设，则为奇函数且单调递增，因
5、为，所以，且，即，故选：10（2014辽宁）设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则ABCD【解答】解：数列为递减数列，即，故选：11（2021路南区校级模拟）设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是A若，则数列有最大项B若数列有最大项，则C若数列是递增数列，则对任意均有D若对任意均有，则数列是递增数列【解答】解：由等差数列的求和公式可得，选项，若，由二次函数的性质可得数列有最大项，故正确；选项，若数列有最大项，则对应抛物线开口向下，则有，故正确；选项，若数列是递增数列，则对应抛物线开口向上，但不一定有任意，均有，故错误选项，若对任意，均有，对应抛物线开口向上，可得数列是递增数列，
6、故正确故选：12（2021秋怀仁市期末）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是A，BC，D【解答】解：根据题意：数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，由于数列满足，所以对任意的都成立，故数列单调递增，且满足，所以，解得故选：13（2021秋鼓楼区校级期末）设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为A1008B1009C1010D1011【解答】解：由，可得，且，对任意正整数，都有，故故选：14（2021春城厢区校级期中）设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为A1009B1010C1011D1012【解答】解：
7、由，可得，且，对任意正整数，都有，故故选：15（2021春宜宾期末）设等差数列的前项和为，若，则满足的最小正整数的值为A1010B1011C2021D2021【解答】解：根据题意，等差数列中，若，则，故满足的最小正整数的值为2021；故选：16（2021上城区校级模拟）已知数列满足，且，记为数列的前项和，数列是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式成立的最小整数为A7B6C5D4【解答】解：，当为偶数时，可得，即，是以为首项，以为公比的等比数列；当为奇数时，可得，即，是以为首项，以2为公差的等差数列，数列是首项和公比都是2的等比数列，则等价为，即，即，作出函数与，的图象如图：则当时，当时，不成
8、立，当时，不成立，当时，不成立，当时，成立，当时，恒成立，故使不等式成立的最小整数为5，故选：17（2021江岸区校级模拟）已知函数，数列满足，数列的前项和为，若，使得恒成立，则的最小值是A2B3C4D5【解答】解：函数，数列满足，可知数列为递增数列，且，使得恒成立整数的最小值是2，故选：18（2021秋龙岩期末）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是ABCD【解答】解：，前项和为，可得为递增数列，且有取得最小值；且，当为偶数时，对任意正整数恒成立，即为对任意正整数恒成立，由，可得当为奇数时，对任意正整数恒成立，即为对任意正整数恒成立，由，可得，即由解
9、得故选：19（2021秋浙江月考）已知数列满足，则下列选项正确的是ABCD【解答】解：（1）下面先证明由，则，化为：，时，又，可得，时，因此，得，（2）下面证明，化为：，化为：，可得综上可得：故选：二多选题（共1小题）20（2021秋9月份月考）已知数列满足：，前项和为（参考数据：，则下列选项正确的是A是单调递增数列，是单调递减数列BCD【解答】解：由，可得，即有，令，即，则，作出和的图像，由图像可得，是单调递增数列，是单调递减数列，故正确；因为，所以，所以，则，故正确；因为，所以，故错误；由不动点，可得，可得，所以，故正确故选：三填空题（共10小题）21已知数列中，若存在，使得关于的不等式成
10、立，则实数的最小值为【解答】解：，时，相减可得：化为：，时，解得数列从第二项起为等比数列，公比为3，可得综上可得：不等式成立，即时，时，令则单调递增，（2）综上可得：实数的最小值为故答案为：22（2012岳阳楼区校级二模）已知等差数列的首项及公差均为正数，令（1）若等差数列的首项为20，公差为1，则50；（2）当是数列的最大项时，【解答】解：（1）等差数列的首项为20，公差为1，则；（2）【特值法】不妨令，则，于是，时取得最大值，故【直接法】由于，且；当且仅当，即，也即时取“”故故答案为：（1）50；（2）100623（2021春海淀区校级期中）设等差数列满足，公差，若当且仅当时，数列的前项和
11、取得最大值，则首项的取值范围是【解答】解；等差数列满足，由于，所以又当且仅当时，数列的前项和取得最大值，故有，即有，故答案为：24（2014秋淮北期末）已知等差数列的前项和能取到最大值，且满足：，对于以下几个结论：数列是递减数列；数列是递减数列；数列的最大项是；数列的最小的正数是其中正确的序号是【解答】解：等差数列的前项和能取到最大值，数列是递减数列，且，故正确；，数列先增后减，故错误；由，得，数列的最大项是，故正确；由，得数列的最小的正数是，故正确正确的序号是故答案为：25（2021台州模拟）在等差数列中，若，则数列前10项和的最大值为25【解答】解：由题意：，可设，那么：公差则前10项和，
12、其中所以数列前10项和的最大值为25故答案为：2526（2021春河南月考）设等差数列的前项和为，若，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是，【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，由题意得，解得，又，所以当或5时，取得最小值，最小值为，所以取得最大值，最大值为10，由任意的恒成立，所以，解得或，所以实数的取值范围是，故答案为：，27（2021江西三模）设等差数列满足：，公差，其前项和为若数列也是等差数列，则的最小值为3【解答】解：由题意可得：，即，公差，解得数列是等差数列，则，当且仅当时取等号，的最小值为3故答案为：328（2021春东湖区校级月考）设等差数列的前项和为，若，则的取值范围为【
13、解答】解：，又，故答案为：29（2021新建区校级模拟）已知数列的前项和满足：，则数列中最大项等于【解答】解：已知得时，则，即：，令，又，数列是首项，公差为1的等差数列，则，所以，又因为，所以，故数列中且最大故答案为：30（2021秋镇海区校级期中）已知数列中，若数列单调递增，则实数的取值范围为，【解答】解：由可知，数列的奇数项和偶数项分别递增，若数列单调递增，则必有，数列奇数项的通项公式为：，数列偶数项的通项公式为：，当为奇数时，解得，当为偶数时，解得，综上，的取值范围为故答案为：；四解答题（共6小题）31（2021秋浙江期末）已知数列满足：，设数列的前项和为证明：（）；（）；（）【解答】证
14、明：（）当时，所以，命题成立；假设时命题成立，即则由，知所以故对于都有（4分）（）先利用证明，即，故，因此（6分）要证明，即证，构造函数（8分），在，单调递减故，（10分）（）由（）可知成立，则累加可得，故（12分）构造函数，在单调递增故，得，进一步有，则累加可得，故因此原命题成立（15分）32（2021春武侯区校级期末）已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项；（2）设数列满足，记的前项和为求；若对任意恒成立，求实数的取值范围【解答】解：当时，当时，由，得，得，又，是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，两式相减得，所以由，得恒成立，即恒成立，当时，不等式恒成立；当时，有，得；当时
15、，有，得；综上，实数的取值范围为，33（2021温岭市校级模拟）正项等差数列和等比数列满足，（）求数列，的通项公式；（）若数列，求最大整数，使得【解答】解：设正项等差数列的公差为，等比数列的公比为，时，又，可得时，相减可得：，3时，解得：，令，化为：，令，在，上单调递增，而（9），最大整数，使得34（2021宁波二模）设为等差数列的前项和，其中，且（）求常数的值，并写出的通项公式；（）设为数列的前项和，若对任意的，都有，求实数的取值范围【解答】解：，且，时，解得，时，解得，数列为等差数列，解得，公差，由恒成立，即，由，得，可得实数的取值范围是，35（2021春禅城区校级期中）设为等差数列的前项和，其中，且（1）求常数的值，并写出的通项公式；（2）记，数列的前项和为，若对任意的，都有，求常数的最小值【解答】解：（1）由，及，得，是等差数列，即，公差，；（2）由（1）知，有，得，要使，即记，则，又，当时，恒有故存在时，对任意的，都有成立36（2021浙江模拟）已知数列满足，数列满足，（）数列，的通项公式；（）若，求使成立表示不超过的最大整数）的最大整数的值【解答】解：（）由得，数列是等比数列，公比为，解得（5分）由，得，解得（10分）（）由得，记，为单调递减且，所以，因此，故由得的最大值为44（15分）
