1、14三角函数的图象与性质14.1正弦函数、余弦函数的图象内容标准学科素养1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法,能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.应用直观想象发展逻辑推理授课提示:对应学生用书第20页基础认识知识点一正弦函数、余弦函数及图象画法阅读教材P3032,思考并完成以下问题如果以x为自变量,正弦函数、余弦函数的解析式怎么写?如何用图象来表示?(1)在单位圆中,x表示任意角,y表示函数值(正弦值、余弦值),y与x用什么关系式来表示?提示:ysin x,ycos x(xR)(2)通过“简谐运
2、动的图象”的试验,能直观地体会正弦函数、余弦函数怎样的图象特征?提示:波浪型,周而复始的特征(3)课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的?其基本步骤是什么?提示:用正弦线精准刻画,将0,2内各角的正弦线平移到x轴相应位置,最后将点用光滑曲线连接(4)如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象?提示:将正弦函数的图象向左平移个单位长度而得到知识梳理(1)任意给定一个实数x,有唯一确定的值sin x(或cos x)与之对应,由这个对应法则所确定的函数ysin_x(或ycos_x)叫做正弦函数(或余弦函数),其定义域为R(2)利用正弦线画函数ysin x,x0,2的图象,是把角x的
3、正弦线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合,再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来,函数ysin x,x0,2的图象如图将函数ysin x,x0,2)的图象向左、右平行移动(每次2个单位长度),就可以得到正弦函数ysin x,xR的图象,如图(3)根据诱导公式cos xsin,把正弦函数ysin x的图象向左平移个单位长度即得余弦函数ycos x的图象,如图(4)正弦函数ysin x,xR和余弦函数ycos x,xR的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线知识点二“五点法”作图思考并完成以下问题正弦0,2的图象可否描出几个特殊点得到?(1)对于ysin x,x0,2,利用三角函数定义计算sin 0
4、,sin,sin ,sin,sin 2的值提示:分别为0,1,0,1,0.(2)描出的点(0,0),(,0),(2,0),符合ysin x,x0,2内的特征吗?提示:符合ysin x,x0,2内的特征(3)对于ycos x,x0,2,可选哪些点?提示:(0,1),(,1),(2,1)知识梳理(1)用“五点法”作函数ysin x,x0,2的图象的步骤:列表: x02ysin x01010描点:在平面直角坐标系中描出五点:(0,0),(,0),(2,0)用光滑的曲线顺次连接这五个点,得正弦曲线在0,2上的简图(2)余弦函数ycos x,x0,2的图象中,五个关键点是(0,1),(,1),(2,1)
5、思考由作图可看出ysin x(xR),ycos x(xR)的图象形状相同,能否认为两者是相同的函数吗?提示:ysin x与ycos x不是相同的函数自我检测1用“五点法”作y2sin 2x的图象时,首先描出的五个点的横坐标是()A0,2B0,C0,2,3,4 D0,答案:B2下列图象中,ysin x在0,2上的图象是()答案:D授课提示:对应学生用书第21页探究一“五点法”作图的应用教材P3233例1方法步骤:列表、描点(或平移)例1作出下列函数的图象(1)y1cos x,x2,2;(2)y.解析(1)描点,连线可得函数在0,2上的图象,关于y轴作其对称图形可得函数在2,2上的图象,如图所示(
6、2)y可化为y|sin x|,则y如图象如图所示方法技巧1.作正弦曲线要理解几何法作图,掌握五点法作图“五点”即ysin x或ycos x的图象在0,2内的最高点、最低点和与x轴的交点“五点法”是作简图的常用方法2平移法、翻折法:首先作出ysin x,ycos x的图象,作ysin(x)图象根据左右平移:“左右”作ysin xb的图象,根据上下平移“上下”作y|sin x|的图象,将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方作ysin x的图象,将ysin x的图象关于x轴对称跟踪探究1.用“五点法”作函数y1cos x(0x2)的简图解析:列表:x02cos x101011cos x01210描点,
7、并用光滑的曲线连接起来,如图2利用正弦或余弦函数图象作出y的图象解析:由于y|cos x|,因此只需作出y|cos x|的图象即可,而y|cos x|可由ycos x将x轴下方的图象翻折到x轴上方,图象如下:探究二利用正弦、余弦函数图象解不等式教材P40练习1观察正弦曲线,写出满足sin x0的区间提示:(2k,2k),kZ.角度1解三角不等式例2利用正弦曲线,求满足sin x的x的集合解析首先作出ysin x在0,2上的图象如图所示,作直线y,根据特殊角的正弦值,可知该直线与ysin x,x0,2的交点横坐标为和;作直线y,该直线与ysin x,x0,2的交点横坐标为和.观点图象可知,在0,
8、2上,当x,或x时,不等式sin x成立所以sin x的解集为.角度2求与三角函数有关的定义域例3求函数f(x)lg sin x的定义域解析由题意,得x满足不等式组即作出ysin x的图象,如图所示结合图象可得x4,)(0,)方法技巧1.用三角函数图象解三角不等式的方法(1)作出相应正弦函数或余弦函数在0,2上的图象;(2)写出适合不等式在区间0,2上的解集;(3)根据公式一写出不等式的解集2与三角函数有关的定义域,一般要构造三角不等式或其他代数不等式,结合图象求交集跟踪探究3.使不等式2sin x0成立的x的取值集合是()A.B.C.D.答案:C4求函数y的定义域解析:为使函数有意义,需满足即01sin x,此时两图象无交点;当0x,从而当4x0时,有3个交点由对称性知,当x0时,有3个交点加上x0处的交点,一共有7个交点答案72利用三角函数图象位置求参数典例方程sin在0,上有两实根,求实数m的取值范围解析作出y1sin,y2的图象,如图,由图象可知,要使y1sin,y2在区间0,上有两个不同的交点,应满足1,即m2.故m的取值范围为,2)