1、微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125381/50学科网（北京）股份有限公司第 4 讲 复合二次型和镶嵌函数的零点 11 类【题型一】一元二次复合型基础型：可因式分解【典例分析】已知函数 =ln，若关于的方程 2+1=0 有且仅有三个不同的实数解，则实数的取值范围是()A 2e,1 eB 1 e,0C,1 eD 1 e,2e【答案】C【分析】首先利用导函数求()的单调性，根据其单调性作出()的大致图像，然后结合已知条件将方程解的问题转换成交点问题即可求解.【详解】因为 =ln，所以 =ln1ln 2，当 0,1 1,e，0，所以 在
2、0,1 和 1,e 单调递减，在 e,+单调递增，且当 0 时，0，e=e，故 的大致图象如图所示：关于的方程 2+1=0 等价于 +1 +1=0，即 =1 或 =1 ，由图知，方程 =1 有且仅有一解，则 =1 有两解，所以 1 e，解得 1 e，故选:C.【变式演练】1.已知()是定义在上的偶函数，且满足()=2+3,0 1 2ln,1，若关于的方程()2+1()=0 有 10 个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A 1,2B 2,1 2ln2 2C 2,2ln2 2D 2,2ln2 2【答案】B【分析】求导分析()的单调性、极值、边界情况，画出函数=()在0,+)的图象，数形结合即得解
3、微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125382/50学科网（北京）股份有限公司【详解】当 1 时，()=2ln，()=1 2，当 1 2 时，()2 时，()0，所以()在 1,2 上单调递减，在 2,+上单调递增，当=2 时，()取得极小值 2=2 2ln2，且 1=1，当+时，()+；当 0 1 时，()=2+3单调递增，且此时 0 ()2.函 数=()在0,+)的图象如下图所示：方程()2+1()=0 即()1()+=0，由图象可知，()1=0 在0,+)有 3 个实数解，由于=()为偶函数，故在 R 上有 6 个实数解所以只需要
4、()+=0 有 4 个不同的实数解，可得=2ln2 2 或2 1，故选：B.2.函数()=,=1(12)|1|+1,1若关于的方程 22()(2+3)()+3=0 有五个不同的实数解，则的取值范围是（）A(1,2)B(1,32)(32,2)C32,2)D(1,32)【答案】B【分析】首先根据题意得到 =32或 =，再根据函数 图象即可得到答案.【详解】因为 22()(2+3)()+3=0，所以 2 3 =0，即 =32或 =，由 图象可知：=32有 2 个解，所以 =有 3 个解，所以 1 32或32 2.故选：B微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ
5、群：4575125383/50学科网（北京）股份有限公司3.已知函数 =2 1,1ln,1，若关于的方程 2+1 2 2=0 有 4 个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A13,1B13,12C 0,1D 0,12【答案】D【解析】【分析】令 2+1 2 2=0，得 =2或 =1，将问题等价转化为直线=2和直线=1 与函数=的图象共有 4 个交点，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】令 2+1 2 2=0，即 2 +1=0，得 =2或 =1，则直线=2和直线=1 与函数=的图象共有 4 个交点.当 1 时，=ln，=1ln2，令 =0，得=.当 1 0，此时函数=单调递增；当 时，1 时，
6、=ln 0，如下图所示：由于关于的方程 2+1 2 2=0 有 4 个不同的实数解，由图象可知，直线=1 与函数=的图象只有一个交点，所以，直线=2与函数=的图象有 3 个交点，所以 0 2 1，解得 0 12.因此，实数的取值范围是 0,12.故选：D.【题型二】一元二次复合型：根的分布型【典例分析】已知函数 =，若关于的方程2 22=0 有三个不同的实数解，则的取值范围是（）A 0,12 1,0B 1,12C 1,1D,12微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125384/50学科网（北京）股份有限公司【答案】A【分析】根据函数的单调
7、性，作出=大致图象，设 =，则 2 22=0 有三个不同的实数解，对方程2 22=0 进行分析，当=0 时，不符合题意，当 0 时，2 22=0 必有两根，其中1 0,1,2 ,0，再根据二次函数的性质，即可求出结果【详解】由 的定义域为，=2=1，所以在(1，+)上，0，单调递增，所以 max=1=1，0=0，若关于的方程2 22=0 有三个不同的实数解，令=，则关于的方程2 22=0 等价于关于的方程2 22=0，作出函数=的草图，如下：由图像可知，当=0，方程为 =0，此时只有=0 一个根，不合题意，当 0 时，即=2+82 0，设方程2 22=0 有两根，分别为1,2，又1 2=22
8、0 0 022 0解得，1 12，又 0，所以的取值范围是 1,0 0,12.故选：A【变式演练】1.已知函数()=1|1，若关于的方程2()+()+=0 恰有 6 个不同的实数解，则,的取值情况不可能的是（）A1 0，0C1+0D1+=0，0 1【答案】B【分析】根据函数()=1|1 的图像，令()=，则2+=0，则方程有1,2两解，必有 0 1 1,2 1，或者 0 1 1,2=0，利用一元二次方程的性质与二次函数的图像性质分别分析，即可得解.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125385/50学科网（北京）股份有限公司【详解】如图
9、，若要2()+()+=0 有 6 个不同实数解，令()=，则2+=0，则有=1,=2两解，必有 0 1 1,2 1，或者 0 1 1,2=0，若，0 1 1,2=0，则=0，此时2+=0，得=，满足 0 1，即1 0，此时为A；若，0 1 1,2=1，此时 1+=0,12=，则 0 1，此时为 D；若，0 1 1，此时12=0，1+0 若关于 x 的方程2 (+2)+3=0 恰好有六个不同的实数解，则实数 a 的取值范围为A(2 32，32B(2 32，2 32)C(32，)D(2 32，)【答案】A【分析】画出 的图像，利用 图像，利用换元法，将方程2 (+2)+3=0 恰好有六个不同的实数
10、解的问题，转化为一元二次方程在给定区间内有两个不同的实数根，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】画出 的图像如下图所示，令 =，则方程2 (+2)+3=0 转化为2 +2 +3=0，由图可知，要使关于的将方程2 (+2)+3=0 恰好有六个不同的实数解，则方程2 +2 +3=0 在 1,2 内有两个不同的实数根，所以=+2 2 12 01+22 022 +2 2+3 0，解得 2 3 2 32.故选：A微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125386/50学科网（北京）股份有限公司3.设定义域为的函数 =5 1 1,02+4
11、+4,4 时，函数图象有 2 个交点，当=4 时，函数图象有 3 个交点，当 0 4 时，函数图象有 4 个交点，当=0 时，函数图象有两个交点，当 0，函数图象无交点要使方程2 2+1 +2=0 有 7 个不同的实数解，则要求对应方程2 (2+1)+2=0中的两个根1=4 或 0 2 4，且1+2 (4,8)42 (2+1)4+2=04 2+1 8=2 故选 B【题型三】一元二次复合型：参变分离与判别式、求根公式型【典例分析】已知()=ln，若关于的方程()2+()2+1=0 恰有 3 个不同的实数解（为自然对数的底数），则实数的取值范围是（）A 1B 1C 1D 1【答案】C【分析】求导得
12、()=ln1(ln)2，(0，1)(1，+)，分析导数的正负，()单调性，最值，作出()的图象，令=()，0 或 ，方程()2+()2+1=0，转化为=2+21，令()=2+21，0 或 ，分析()单调性，作出()图象，分两种情况：当 1，分析=与=()交点个数，进而可得的取值范围微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4575125387/50学科网（北京）股份有限公司解：()=ln1(ln)2=ln1(ln)2，(0，1)(1，+)，令()=0，得=，在(1,)上，()0，()单调递增，所以()极小值=()=ln=，在(0,1)上，()0，()单
13、调递减，且()0，在(0,1)上，当 0 时，()0，当 1 时，()，在(1,+)上，当 1 时，()+，当+时，()+，作出()的大致图象：令=()，0 或，方程()2+()2+1=0，即为2+2+1=0，则=2+21，令()=2+21，0 或，()=22(2+21)2=22+12 0 所以在(,0)，(,+)上单调递减，()=1,()=1，在 (,0)上，当 0 时，()，当 时，()+，作出()的大致图象如下：当 1 时，=与=()有两个交点，不妨设交点的横坐标为1，2，当 1 时，结合图象可 1 ，当 1 0，则方程1=()有一个根 0 1 ，则方程2=()有两个根 1 2 ，符合题
14、意；当=1 时，1 1 时，=与=()有一个交点，不妨设交点横坐标3，结合图象可得3 0，则方程3=()有一个根 0 1 1，不合题意；综上所述，的取值范围为 63或=2时，有唯一实根；（2）当 0 63时，有三个实根；（3）当2 0 或=63时，有两个实根；（4）当 63，符号情况（1），此时原方程有 1 个根，由2=2+1222，而2 3 2 0，符号情况（3），此时原方程有 2 个根，综上得共有 3 个根；当 0 时，由 0 1 63，符号情况（1）或（2），此时原方程有 1 个或三个根，由2 3，又2 3 0，得1 3，()递增；由()3 或 0，方程有两个不等实根，12=122 63
15、，则2 2 0，此时=1和()的图象有 1 个交点，=2与()的图象有 2 个交点，此时共有 3 个交点，当 0 1 63，则2 2，此时=1和()的图象有 3 个交点，=2与()的图象有 0 交点，此时共有 3 个交点，当2 1 63，此时=1和()的图象有 2 个交点，=2与()的图象有 1 个交点，此时共有 3 个交点，当1=2，则2=63，此时=1和()的图象有 1 个交点，=2与()的图象有 2 个交点，此时共微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253810/50学科网（北京）股份有限公司有 3 个交点，当1 2，则 0 2
16、0，若方程 2 +=0 0 有 7 个不同的实数解,则2+3的取值范围（）A(2,6)B(6,9)C(2,12)D(4,13)【答案】C【分析】先画出 的图象,设=,由图象可转化问题为 =1有 3 个解,=2有 4 个解,则分别讨论1=0,2 0,1；1 1,2,2 0,1；1=1,2 0,1,再利用线性规划求解.【详解】由题,当 0 时,=,1 0+2,2 0 时,=ln 2=1ln 2,当 0,1 时,0；当 1,+,0 1 0,即 01 +0,则可行域如图所示,设=2+3,即=23 +13,平移直线=23 +13,与点相交时截距最小,与点相交时截距最大,因为点 1,0,点 3,2,所以
17、2+3 2,12；1=1,2 0,1,则 0 0 1=00 2 01 +=00 2,则可行域如图所示,即为线段,平移直线=23 +13,与点相交时截距最小,与点相交时截距最大,因为点 1,0,点 2,1,所以 2+3 2,7,综上,2+3 2,12,故选:C【变式演练】1.已知函数()=2+1,01 +0，其对应的平面区域如下图所示：故当=3，=2 时，3+取最大值 11，当=1，=0 时，3+取最小值 3，则 3+的取值范围是 3，11。故选 D2.已知函数()=|ln|,02+4+1,0，若关于 x 的方程()2 ()+=0(,)有 8 个不同的实数根，则 b+c 的取值范围是（）A(,3
18、)B(0,3C0,3D(0,3)【答案】D微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253814/50学科网（北京）股份有限公司函数 f（x）的图像如上图所示，显然直线 y=1 与图像有 4 个交点，且函数图像与 x 轴有 3 个交点设 t=f（x）,则当该方程无解时，显然关于 x 的方程()2 ()+=0(,)无实数解；当该方程有 1 个解时，显然关于 x 的方程()2 ()+=0(,)最多有 4 个解；当该方程有两个不等的实数解时，关于 x 的方程()2 ()+=0(,)可能会出现 8 个实数解，但需有（*）将 b 看作自变量、c 看作因
19、变量，于是设，则 z 可看作是直线在 c 轴上的截距不等式组（*）表示的平面区域如下图所示曲边三角形 OPQ 的内部且包含线段 OQ（除端点）显然当直线过点 O 时截距最小即 z 最小，当过点 P（2，1）时，截距最大即 z最大，但因为不等式组表示的区域不包含点 O，点 P，所以,故选 D【题型五】一元二次复合型：函数性质综合型【典例分析】已知偶函数()满足(3+)=(3 )，且当 0,3时，()=2+2+1，若关于的方程2()()3=0 在 150,150上有 300 个解，则实数的取值范围是（）A 2,12B 12,12C 2,+D,12【答案】B【解析】【分析】根据偶函数和(3+)=(3
20、 )得出函数的周期为 6，作出函数在 3,3内的图象，根据周期性可知关于的方程2()()3=0 在 3,3上有 6 个解，结合图象分析可得关于的方程2 3=0 在区间(2,1)和(1,2)内各有一个实根，根据二次方程实根的分布，列不等式组即可解得结果.【详解】因为偶函数()满足(3+)=(3 )，所以(3+)=(3)，所以函数()是周期为 6 的周期函数，因为当 0,3时，()=2+2+1，所以当 3,0时，0,3，所以()=()=()2+2()+1=2 2+1，即当 3,0时，()=2 2+1，作出函数在一个周期 3,3内的图象如图：微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376w
21、ord 版下载 QQ 群：45751253815/50学科网（北京）股份有限公司因为关于的方程2()()3=0 在 150,150上有 300 个解，所以关于的方程2()()3=0 在 3,3上有 6 个解，结合图象可知()必有两个值，一个大于 1 小于 2，另一个大于2 且小于 1，等价于关于的方程2 3=0 在区间(2,1)和(1,2)内各有一个实根，令()=2 3，则(2)0(1)0，所以4+2 3 01 3 0，解得12 12.故选：B.【变式演练】1.已知函数()是定义在 100,100的偶函数，且(+2)=(2).当 0,2时，()=(2)，若方程()2 ()+1=0 有 300
22、个不同的实数根，则实数 m 的取值范围为（）A 1,52B 1,52C(,2)D 1,2【答案】A【解析】首先由已知确定函数()的周期是 4，利用导数研究()在 0,2上的性质，单调性、极值，结合偶函数性质作出()在 2,2上的图象，()的定义域是 100,100含有 50 个周期，方程()2 ()+1=0有 300 个不同的实数根，那么在()的一个周期内有 6 个根，令()=，可知方程2 +1=0 有两个不等实根 1,2，且1 (,2)，2 (2,0)，由二次方程根的分布知识可得解【详解】由(+2)=(2)知函数的周期为 4，当 0,2时，()=(2)，则()=(1)，当 0 微信公众号：数
23、学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253816/50学科网（北京）股份有限公司 1 时，()0，()递减，当 1 0，()递增，()极小值=(1)=，又()是偶函数，作出()在 2,2上的图象，如图函数()的周期是 4，定义域为 100,100，含有 50 个周期，方程()2 ()+1=0 有 300 个不同的实数根，因此在一个周期内有 6 个根（这里(2)=0，2不是方程的根）令()=，方程2 +1=0 有两个不等实根 1,2，且1 (,2)，2 (2,0)，设()=2 +1，则()0(2)0，解得 1 52故选：A2.设 max,表示，两者中较
24、大的一个，已知定义在0,2的函数()=max2sin,2cos，满足关于的方程2()+(1 2)()+2 =0 有 6 个不同的解，则的取值范围为A(1,2)B(1,1+2)C(2,2)D(1+2,2 2)【答案】C【分析】根据题干得到()=或()=1，画出函数()=max2sin,2cos的图像，找()=和()=1 与()=max2sin,2cos的交点个数使得交点有 6 个即可.【详解】由2()+(1 2)()+2 =0，可得()=或()=1.函数()=max2sin,2cos的图像如图所示，所以2 22 1 2，解得 2 2,若关于的方程2()+()+=0（，）有且只有 6 个不同的实数
25、根，则实数的取值范围是A(52,94)(94,1)B(52,1)C(52,94)(1,0)D(94,1)【答案】A【详解】由题设可知函数是偶函数，其图像关于轴对称，画出其函数图像如图，容易算得当 0 2 0 2 1 (12)+1 0，2=1 2 0，由零点的存在性定理可知，在 0,2 上存在零点，所以方程有解，故选项 C 正确；对于 D，当 ln(|+1)=时，=0 为方程的解，所以方程有解，故选项 D 正确.故选：ACD.2.已知两函数()和()都是定义在上的函数，且方程 ()=0 有实数解，则()有可能是（）A2+1B2+1C2 1D22 +1【答案】C【解析】先设0是方程 ()=0 的一
26、个根，得到0=(0)，(0)=(0)，再令=(0)，得到=()，进而得到方程=()有解，再逐项判断，即可得出结果.【详解】解：设0是方程 ()=0 的一个根，则0=(0)，故(0)=(0)再令=(0)，则=()，即方程=()有解；A 选项，方程=2+1 可化为2 +1=0，=3 0，故有实数解；D 选项，方程=22 +1 可化为 22 2+1=0，=4 0【答案】C【分析】由题设令为原方程的解：()=可得()=，即可将问题转化为()=是否有实数解，根据各选项函数，应用数形结合确定正确选项.【详解】设为 ()=0 的实数解，即()=，令()=，则()=.()=()=，即为()=的实数解，()=有
27、实数解，结合各选项的函数，判断与=是否有交点即可，如下图示：由图知：当()=|+1 时无交点，()=无实数解，故选：C.【题型七】嵌套函数常规型：无参双坐标系换元转换法【典例分析】已知函数21,1()|ln(1),1xxf xxx，则方程()1f f x 的根的个数为（）A7B5C3D2【答案】A【分析】令 uf x，先求出方程 1fu的三个根11u ，211ue，31ue，然后分别作出直线1u ，11ue，1ue与函数 uf x的图象，得出交点的总数即为所求结果.【详解】令 uf x，先解方程 1fu.（1）当1u 时，则 211fuu，得11u ；微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 ji
28、aoyu376word 版下载 QQ 群：45751253821/50学科网（北京）股份有限公司（2）当1u 时，则 ln11f uu，即ln11u，解得211ue，31ue.如下图所示：直线1u ，11ue，1ue与函数 uf x的交点个数为 3、2、2，所以，方程 1ff x 的根的个数为 3227，故选 A.【变式演练】1.已知定义在 0，+上的单调函数 满足对 0,+,()log2=3,则方程()()=2的解所在区间是A 0,12B12,1C 1,2D 2,3【答案】C【解析】【分析】利用函数的单调性及()log2=3 可得()=+log2，再利用 =3 可求函数的解析式，求出 后可估
29、计()()=2 的解所处的区间.【详解】因为 为单调函数且()log2=3，则 log2必是常数，故设 log2=，其中为常数，故 =+log2，因为 =+log2=3，令=+log2，故=1+1ln2 0，故=+log2为 0,+上的增函数，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253822/50学科网（北京）股份有限公司因为=2 时，=3，故方程+log2=3 有且仅有一个解=2，故 =2+log2，而方程 =2 可化为 2+log2 1ln2=2，整理得到log2=1ln2，令 =log2 1ln2，故 为 0,+上的单调增函数，而
30、 1=1ln2 0，故方程的根在区间 1,2 中，故选 C.2.已知函数 f(x)=x3 3x2+3,24(x2 5+6),2，则函数 f(f(x)的零点的个数为（）A6B7C8D9【答案】C当 2 时，()=3 32+3，则()=32 6=3(2).当 0 2 时，()0；当 0.()在=0 时取得极大值为 3(1)0，(2)=23 3 22+3=1 0 两种情况，结合函数的零点性质分别进行求解【详解】解：由题意可得0 时，在上单调递增，显然方程 =0 有 8 个不同的实数解不成立；当 0 时，令()=，则由()=0 得，1=2，2=0，3=，又方程()=0 有 8 个不同的实根，由题意结合
31、可得，即 0 24，解得 8，故选：ABC微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253824/50学科网（北京）股份有限公司2.已知函数323,0()31,0 xxtxf xxx，若函数()yf f x恰好有 4 个不同的零点，则实数 t 的取值范围是_【答案】313|42tt 或0t【分析】令()sf x，则()yf s，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求s的值，再求 x 的值，对t分 5 种情况进行讨论，结合函数图象，即可得答案；【详解】因为2()360fxxx 在0 x 上恒成立，所以()fx 在,0上单减，令()sf x，则
32、()yf s（）当0t 时，只有13s，显然不成立（）当0t 时，10s，213s，此时如图：有四个交点，满足题意（）当10t 时，如图 1，由()0f s 得10s，213s 由213s 得3xx或4x，由10s 且321130sst，知32113tss要使()yf s有 4 个不同的零点，必须由1()f xs得1xx或2x，此时321113tsss，解得13132s，1332s（舍去），又211360tss 在313,2恒成立，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253825/50学科网（北京）股份有限公司所以2113tss在313
33、,2上为增函数，所以31312t （）当1t 时，由(1)0f，(0)0f，得110s，此时满足题意（）当1t 时，如图 2，由()0f s 得10s，213s 要使()yf s有 4 个不同的零点，必须110s，此时32113(4,0)tss，所以41t 综上，实数 t 的取值范围是31342tt 或0t 3.已知0a，设函数2(2 2),(02)(),(2)xa xxaf xax xa ，存在0 x 满足00ff xx，且00fxx，则 a的取值范围是_.【答案】112a【分析】求得2xaxay 关于 yx对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得 a 的取值范围
34、.【详解】由于 fx 存在0 x 满足00ff xx，且00fxx，所以 fx 图象上存在关于 yx对称的两个不同的点.（1）对于2,2yax x ay a a，交换,x y 得 xay，即12,2yx xa ayaa，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253826/50学科网（北京）股份有限公司构造函数 22111222222g xxa xxxaxxxaaaa （22a axa ），所以 g x 的零点122aa满足 12222a aaaa，由1222aaa得21111001aaaaaaaa，由 1222a aaa得321 0aa，
35、即 31111aaaa aaa 21515111022aaaaaa ，由于 01a，所以解得5112a .（2）设(,)()M x y yx，则 M 关于 y=x 对称的点(,)N y x 在()fx 上，由2(22)yxaxx，得21xa，则 212aa，当(21,2)xaa时，2(22)yxax，2(22)xyay，两式相减，得()()(22)()yxyx yxayx，所以23yxa，将代入，得2(23)230 xaxa，又 yx，所以322axa，令2()(23)23g xxaxa，则(2)0g a，3()02g a，即2210304aaaa，解得 15122a，综上，a 的取值范围为
36、112a.故答案为：112a【题型九】嵌套函数含参型：参数在方程【典例分析】已知函数 2221,2log2,2xxxf xxx，则方程114fxax恰好有 6 个不同的解，则实数 a 的取值范围为【答案】(0,1微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253827/50学科网（北京）股份有限公司【分析】令114xtx ，114fxaf tax，作出 fx 图象，作出114txx 图像，通过图象分析解的各种情况【详解】令114xtx ，114fxaf tax，作出 fx 图象，作出114txx 图像，12a 时，fta有两根，设为1t，2t，
37、则123t，23t，即1114xtx，此时有 2 个根，2114xtx，此时有 2 个根，共 4 个根，不满足条件.22a 时，fta，解得1t 或 94 或 6，即1114xx ，无解，19144xx，2 解，1164xx，2 解，共 4 个解，不满足条件.3 12a时，f xa，有四个根，设为3t，4t，5t，6t，其中301t，412t，59542t，646t，即3114xtx，无解，4114xtx，无解，5114xtx，2 解，6114xtx，2 解，共 4 个解，不满足条件.41a 时，()f ta有 4 个根，0，2，m，n（23,3mn），1104xx，1 解，1124xx，1
38、解，114xmx，2 解，114xnx，2 解，共 6 解，满足条件.5 01a 时，fta，有 3 个根，设为 7t，8t，9t，其中 90t，8532t，934t，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253828/50学科网（北京）股份有限公司即7114xtx有 2 解，8114xtx有 2 解，9114xtx有 2 解，共 6 解，满足条件.60a 时，0f t，有两根 12 和 3，11124xx 有 2 个根，1134xx 有 2 个根，共 4 个根，不满足条件，综上 01a.故答案为(0,1.【变式演练】1.已知函数 221
39、,0143,0 xxf xxxxx，若方程11fxax恰有 4 个实根，则实数 a 的取值范围是（）A1,2B 5,24C51,0,24D51,0,24【答案】D【分析】利用基本不等式计算得出11,31,xx ，由题意可知，关于t的方程 fta有两个不等的实根 1t、2t，且 1t、23,1t ，然后作出函数 yf t的图象，数形结合可得出实数 a 的取值范围.【详解】2132132111xxxxx ，221,0143,0 xxf xxxxx，设11txx.当0 x 时，由基本不等式可得111211txxxx ，当且仅当1x 时，等号成立，当0 x 时，由基本不等式可得11111213txxx
40、xxx ，当且仅当1x 时，等号成立.所以，11,31,txx .当3t -时，21321213221111tttf ttttt.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253829/50学科网（北京）股份有限公司作出函数11txx 的图象如下图所示：由于方程11fxax恰有 4 个实根，则关于t的方程 fta有两个实根 1t、2t，设 12tt.若 13t ，则54a，此时关于t的方程 fta的另一实根 23t，直线1tt 与函数11txx 的图象只有一个交点，直线2tt 与函数11txx 的 图象有两个交点，此时，关于 x 的方程11f
41、xax恰有 3 个实根，不合乎题意；若 11t ，则0a，则关于t的方程 fta的另一实根 23t，直线1tt 与函数11txx 的图象有且只有一个交点，直线2tt 与函数11txx 的 图象有两个交点，此时，关于 x 的方程11fxax恰有 3 个实根，不合乎题意；所以，关于t的方程 fta有两个不等的实根 1t、2t，且 1t、23,1t ，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253830/50学科网（北京）股份有限公司由图象可知，10a或 524a.故选：D.2.已知()=2+sin,()=12 +1,0ln+1,0，若()=0
42、有四个不同的解，则实数的取值集合为（）A(0,1+sin1B(0,1C1,1+sin1D1+sin1【答案】D【分析】根据导函数分别讨论两个函数的单调性，将问题转化为讨论()=0,=()的根的个数.【详解】()=2+sin是定义在 R 上的偶函数，讨论当 x0 时，()=2+sin+cos=(1+cos)+sin，当 0 0，,+sin 1 0，所以()=2+sin+cos=(1+cos)+sin0，即函数()=2+sin在 0,+)单调递增，(,0单调递减，(0)=0，()=ln+1,0()=(1+1)(ln+1)(+1)()2=(+1)(ln)()2，0考虑()=ln 在 (0,+)单调递
43、减，(1)=1 1,(1)=1所以必存在0使得(0)=0，0=ln0,0=10，则()=ln ，(0,0),()=ln 0，(0,+)，()=ln 0，()=,两根1,2，设1=2()=1,()=1一共有四个根，当1 1,()=1，无解，当1=1,()=1，()=1，一共四个不同实根，此时=(1)=1+sin1，0 1 1,()=1三个实根，()=1两个实根，不合题意，综上所述=1+sin1.故选：D3.已知函数 f(x)xsin x212+1，且方程 f(|f(x)|a)0 有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是()A0，)B(0，)C1,2)D(1,2)【答案】B【解析】【详解】由于
44、 f(x)f(x)，所以函数 f(x)为奇函数，图象关于原点对称由于(xsin x)1cosx0，且212+1122+1为增函数故 f(x)为 R 上的增函数，且 f(0)0.所以|f(x)|a0，即|f(x)|a 有两个不同的实数根，|f(x)|的图象是由 f(x)图象的将 x0 部分保持不变所得，所以 a(0，)选 B.【题型十】嵌套函数含参型：双函数型【典例分析】已知 mR，函数231,1()log(1),1xxf xxx，2()221g xxxm，若函数()yf g xm有 4 个零点，则实数m的取值范围是_.【答案】5,107【分析】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu
45、376word 版下载 QQ 群：45751253832/50学科网（北京）股份有限公司画出函数 fx 的图像，对m分成55 50,0,0,1,177 7mmmmmm，14,4,4mmm等 9 种情况，研究()yf g xm零点个数，由此求得m的取值范围.【详解】令 22221122tg xxxmxm，画出函数 fx 的图像如下图所示，由图可知，（1）当0m 或4m 时，存在唯一1t，使 10f tm，而 1tg x至多有两个根，不符合题意.（2）当0m 时，由 0f t 解得 121,13tt ，由 1tg x化简得22203xx，其判别式为正数，有两个不相等的实数根；由 2tg x化简得2
46、220 xx ，其判别式为正数，有两个不相等的实数根.由于上述四个实数根互不相等，故0m 时，符合题意.（3）当4m 时，由 4f t 解得 125,173tt，由 1tg x化简得226203xx，其判别式为负数，没有实数根；由 2tg x化简得22100 xx，其判别式为正数，有两个不相等的实数根.故当4m 时，不符合题意.（4）当 04m时，由 f tm，根据图像可知有三个解，不妨设12311,11,23ttt .即 21122223232313165313165log1log123f ttxmmf ttxmmf ttxmm 即22223175031550log123xmxmxmm.i）
47、当507m时，750550230mmm ，故三个方程都分别有 2 个解，共有 6 个解，不符合题意.ii)当57m 时，750550230mmm ，有1个解，分别有 2 个解，共有 5 个解，不符合题意.iii）当 517m 时，750550230mmm ，无解，分别有 2 个解，共有 4 个解，符合题意.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253833/50学科网（北京）股份有限公司iv）当1m 时，750550230mmm ，无解，有1个解，有两个解，共有 3 个解，不符合题意.v）当14m时，750550231,5mmm ，无解，
48、无解，至多有 2 个解，不符合题意.综上所述，m的取值范围是 5,107.【变式演练】1.设函数 2210230 xxf xxxg xxxx ，若函数 h xg f xa有六个不同的零点，则实数 a 的取值范围为_【答案】2 3，【分析】利用数形结合即求.【详解】函数 h x 的零点即为方程 0h x 的解，也即 g f xa的解，令 tf x，则原方程的解变为方程组 tf xg ta，的解，作出函数 yf x和直线 yt 的图象如图所示由图可知，当1t 时，有两个不同的 x 与之对应；微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253834/
49、50学科网（北京）股份有限公司当1t 时，有一个 x 与之对应，当1t 时，没有 x 与之对应由方程组 tf xg ta，有六个不同的 x 解知，需要方程有三个不同的 t，且都大于1，作出函数 yg t和直线 ya的图象如图所示，由图可知当2 3a，时满足要求，综上，实数 a 的取值范围为2 3，故答案为：2 3，2.已知函数 =|12，=12 +1,0 1 ln,0若关于 x 的方程 =0 有四个不同的解，则实数 m 的取值集合为（）A 0,ln22Bln22,1Cln22D 0,1【答案】A【分析】设=()，根据()的解析式，可得()的单调性、奇偶性，即可作出()的图象，即可求得 t的最小
50、值，利用导数判断()的单调性，结合 t 的范围，作出()的图象，数形结合，可得 0,ln22 时，=(),12的图象与=图象有 2 个交点，此时=1与=2分别与=()有 2 个交点，即即 =0 有四个不同的解，满足题意，即可得答案.【详解】设=()，则()=0 有四个不同的解，因为()=|12=|12=()，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253835/50学科网（北京）股份有限公司所以=()为偶函数，且当 0 时，()=12为增函数，所以当 0 时，=()为减函数，所以min=(0)=0 12=12，即 12，当 0 时，()=1
51、 ln，则()=ln+1 1=ln 1+1，令()=0，解得=1，所以当 (0,1)时，()0，()为增函数，又12=12 ln12=ln22，作出 0 时()的图象，如图所示：所以当 0,ln22 时，=(),12的图象与=图象有 2 个交点，且设为1,2，作出=()图象，如下图所示：此时=1与=2分别与=()有 2 个交点，即 =0 有四个不同的解，满足题意.综上实数 m 的取值范围为 0,ln22.故选：A3.已知函数 f(x)xsin x212+1，且方程 f(|f(x)|a)0 有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是()A0，)B(0，)C1,2)D(1,2)微信公众号：数学讲
52、义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253836/50学科网（北京）股份有限公司【答案】B【解析】【详解】由于 f(x)f(x)，所以函数 f(x)为奇函数，图象关于原点对称由于(xsin x)1cosx0，且212+1122+1为增函数故 f(x)为 R 上的增函数，且 f(0)0.所以|f(x)|a0，即|f(x)|a 有两个不同的实数根，|f(x)|的图象是由 f(x)图象的将 x0 部分保持不变所得，所以 a(0，)选 B.4.已知 ，函数()=+1,0，()=2 4+1+2，若关于的方程()=有 6 个解，则的取值范围是（）A(0,23)B(1
53、2,23)C(25,12)D(0,25)【答案】A令()=，画出=()与=的图象，则方程()=的解有 3 个，由图象可得，0 1且三个解分别为1=1 ，2=1+，3=10再由()=，应用判别式大于 0，分别求解，最后求交集即可解：令()=，则方程()=的解有 3 个，由图象可得，0 0，且2 0，且3 0，即 16 4(2+3)0 且 16 4(2+)0，解得 0 23，当 0 0，即 3 2+10 0 恒成立，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253837/50学科网（北京）股份有限公司故的取值范围为(0,23)故选：A【题型十一】
54、嵌套函数双复合型【典例分析】已知函数 =2 1log2 1 1,则函数 =1 的零点个数是(）A7B6C5D4【答案】A【解析】分析：令（）=，函数 =1 的零点个数问题（）1=0 的根的个数问题结合图象可得（）1=0 的根1=0，2=1,3 （1，2），方程（）=0 有 1 解，（）=1 有 3 解，（）=3有 3 解.从而得到函数 =1 的零点个数详解：令（）=，函数 =1 的零点个数问题（）1=0 的根的个数问题即=（），=+1 的图象如图，结合图象可得（）1=0 的根1=0，2=1,3 （1，2）方程（）=0 有 1 解，（）=1 有 3 解，（）=3有 3 解.综上，函数（）1=0
55、的零点个数是 7【变式演练】1.已知函数()=2+22,1|log2(1)|,1，则函数()=()2()32的零点个数是（）A4B5C6D7微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253838/50学科网（北京）股份有限公司【答案】A【解析】令 t=f(x),F(x)=0，则 f(t)2t32=0，分别作出 y=f(x)和直线 y=2x+32，由图象可得有两个交点,横坐标设为 t1,t2，则 t1=0,1t22，即有 f(x)=0 有一根；1f(x)2 时,t2=f(x)有 3 个不等实根，综上可得 F(x)=0 的实根个数为 4，即函数
56、F(x)=ff(x)2f(x)32的零点个数是 4.本题选择 A 选项.2.已知函数1,0()ln,0 xf xxxx x，则方程()()1 0ef f xf x（e是自然对数的底数）的实根个数为_.【答案】6【分析】令()tf x，原方程可得 1tf te，利用数形结合判断 yf t与1 tye交点个数及交点横坐标的范围，再根据横坐标判断()tf x时交点的个数，即为实根的个数.【详解】令()tf x，方程为：1 0ef tt ，即 1tf te，yf t与1 tye的性质如下：1、yf t：在(,0)上单调递增，值域为(0,)；1(0,)e 上递增,1(,1e上递减，值域为10,e 且11
57、()f ee、(1)0f；(1,)上单调递增，值域为(0,)；2、1 tye：过定点(1,0)，定义域上单调递减；可得函数图象如下图示，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253839/50学科网（北京）股份有限公司共有三个交点，横坐标分别为 123,t t t，且 123101ttte，当 1()tf x，显然无解；当 2()tf x时，有四个实根；当 3()tf x时，有两个实根，如下图示：一共有 6 个实根.故答案为：6【课后练习】1.已知函数()=2 1,0，函数为增函数，当 (,+)时，0，若方程()2 (+1)()+=0 恰
58、有 5 个不同的实数解，则实数的取值范围为（）A 1,5B 1,5 5,9C(1,5D(0,1)5【答案】A【分析】先根据题意求导判断()的单调性,作出()的简图,由题意可得方程可化简为()1)()=0 即()=1 或()=.由图像可知=()与=1 有两个公共点,结合图象只需只需=()与=有 3 个公共点即可.【详解】当 0 时，()=32 12+9=3(1)(3)，易知函数()在(,1),(3,+)上单调递增，在(1,3)上单调递减，(1)=5,(3)=1.由()2 (+1)()+=0，可得()1)()=0，即()=1 或()=.由图像可知=()与=1 有两个公共点，所以只需=()与=有 3
59、 个公共点，所以 1 0,若关于的方程2()(+2)()+3=0 恰好有六个不同的实数解,则实数的取值范围为A(2 3 2，2 3 2)B(2 3 2，32 C32,+D(2 3 2,+)【答案】B【详解】作出函数 =3+1,0log4,0 的图象如图，令 =，则方程2 +2 +3=0 化为2 +2 +3=0，要使关于的方程2 +2 +3=0，恰好有六个不同的实数根，则方程2 +2 +3=0 在 1,2 内有两个不同实数根，=+2 2 12 01+22 022 +2 2+3 0，解得 2 3 2 0(0)0(1)0，解得 2，所以实数的取值范围为 2,+故答案为：2,+5.函数 =ln,0,1
60、121 1,1,+，关于的方程 2 2 4 +5 2=0）有 4 个不同的实数解，则的取值范围是_【答案】25,12【解析】令 =，则方程 2 2 4 +5 2=0 有 4 个不同的实数解等价于方程 22 4+5 2=0 有两个根且两个都在区间 0,1 上，再作出实根分布知识即可求解【详解】作出函数 =ln,0,1121 1,1,+的图象，如图所示：令 =，则关于的方程 2 2 4 +5 2=0 有 4 个不同的实数解等价于方程 22 4+5 2=0 有两个不等根且两个根都在区间 0,1 上，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：457512538
61、43/50学科网（北京）股份有限公司设 =22 4+5 2，由图有0 0 0 0 0，若关于的方程 +1=1 有且仅有三个不同的整数解，则实数的取值范围是（）A 32,2719B 0,8C 47,1819D 12,0【答案】A【分析】作出函数=的图象，由 +1=1 可得出 +1，即函数=位于直线=和=+1 的图象上有三个横坐标为整数的点，数形结合可得实数的取值范围.【详解】+1=2+1 2 ,+1，函数=位于直线=和=+1 的图象上有三个横坐标为整数的点.当 0 时，=22+3=2+3且 0，由双勾函数的单调性可知，函数=在区间,3 上单调递减，在区间 3,0 上单调递增，当 3 2，如下图所
62、示：要使得函数=位于直线=和=+1 的图象上有三个横坐标为整数的点，则 3 +1 4，即12 +1 819，解得32 0）的函数=和=图象如图所示，给出下列四个命题，那微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253844/50学科网（北京）股份有限公司么，其中正确命题是（）A方程 =0 有且仅有三个解B方程 =0 有且仅有三个解C方程 =0 有且仅有九个解D方程 =0 有且仅有一个解【答案】AD【分析】通过利用=或=，结合函数=和=的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析外层零点对应的直线与内层函数图象的交点个数，即可得出结论.解：对于
63、 A 中，设=()，则由 =0，即()=0，由图象知方程()=0 有三个不同的解，设其解为1，2，3，由于=()是减函数，则直线=0 与函数=只有 1 个交点，所以方程1=()，2=()，3=()分别有且仅有一个解，所以 =0 有三个解，故 A 正确；对于 B 中，设=()，则由 =0，即()=0，由图象可得()=0 有且仅有一个解，设其解为 b，可知 0 ，则直线=与函数=只有 2 个交点，所以方程()=只有两个解，所以方程 =0 有两个解，故 B 错误；对于 C 中，设=()，若 =0，即()=0，方程()=0 有三个不同的解，设其解为1，2，3，设1 2 3，则由函数=图象，可知 1 2
64、 0，3=，由图可知，直线=1和直线=2分别与函数=有 3 个交点，直线=3=与函数=只有 1 个交点，所以 =1或 =2或 =3共有 7 个解，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253845/50学科网（北京）股份有限公司所以 =0 共有七个解，故 C 错误；对于 D 中，设=()，若 =0，即()=0，由图象可得()=0 有且仅有一个解，设其解为 b，可知 0 0”是“方程()=0 有两个不同实数解且方程()=0恰有两个不同实数解”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据二次函数
65、的图象与性质，求得(2)0，反之若()=0 有两个正根1 2，当1 2 0，要使得方程()=0 恰有两个不同实数解，设两解分别为1,2，且1 2，则满足1 ()max 0，所以(2)0，所以必要性成立；反之，设=(2)0，即()0，当()=0 有两个正根，且满足1 2，若1 2 0”是“方程()=0 有两个不同实数解且方程()=0 恰有两个不同实数解”的必要不充分条件.故选：C.9.已知定义在0，上的单调函数 fx，若对任意0 x ，都有 12log3ff xx，则方程 2f xx 的解集为_【答案】416，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：4
66、5751253846/50学科网（北京）股份有限公司【分析】由题可求 122logf xx，再利用数形结合即求.【详解】定义在0，上的单调函数 fx，对任意0 x ，都有 12log3ff xx，令 12logf xxc，则 3f c ，在上式中令 xc，则 1122loglog3f ccccc，解得2c，故 122logf xx，由 2f xx 得，122log2xx即2log xx，在同一坐标系中作出函数2logyx和 yx的图像，可知这两个图像有 2 个交点，即4 2，和16 4，则方程 2f xx 的解集为416，故答案为：416，.10.已知函数31,0()log,0kxxf xx
67、x，下列关于函数1()2yff x零点个数的四个判断，正确的是_.当0k 时，有 3 个零点；当0k 时，有 2 个零点；当0k 时，有 4 个零点；当0k 时，有 1 个零点.【答案】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253847/50学科网（北京）股份有限公司【分析】由1()02yff x可得1()2ff x，利用换元法将函数分解为 f xt 和 12f t，作出函数 fx 的图象，利用数形结合即可得结论.【详解】1()02yff x可得：1()2ff x，设 f xt，则方程1()2ff x等价于 12f t，若0k，作出函数
68、fx 的图象如图，此时方程 12f t 有两根，其中 11t ，20t 由 1 1f xt 有一解，由 20f xt 有两解，此时共有 3 个解，即函数1()2yff x有 3 个零点，当0k 时，有 3 个零点；当0k 时，作出函数 fx 的图象如图，此时方程 12f t 有一根 31t，由 31f xt 有两解，即函数1()2yff x有 2 个零点，所以当0k 时，有 2 个零点；故答案为：.微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253848/50学科网（北京）股份有限公司11.函数()=+1,12+4+3,1，则关于 x 的方程
69、=0 的实数解最多有（）A7 个B10 个C12 个D15 个【答案】C【解析】【分析】判断()的单调性，作出()的大致函数图象，求出 =0 的解，再根据()的图象得出()=的解得个数即可得出结论【详解】当 1 时，()=+1 2()在 1,0 上单调递减，在 0,+上单调递增当=0 时，()取得极小值 0=+1当 1 时，由二次函数性质可知()在,2 上单调递减，在 2,1 上单调递增，当=2 时，()取得极小值 2=1当 1+0 时，则()=0 有 4 个解，不妨设从小到大依次为1,2,3,4，则1=3,2=1，1 3 0再令 1+3，作出()的函数图象如图所示：微信公众号：数学讲义试卷囡
70、囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253849/50学科网（北京）股份有限公司 =0，则()=，（=1，2，3，4）由图象可知 =3 有 2 解，=1 有 3 解，=3有 4 解，=4有 3 解，此时 =0 有 12 解当3 1+0则 =4有 3 解，=1 至多 3 解，=3 至多 1 解，=3至多 4 解.此时方程 =0 至多 11 解.当 1+0 时，则()=0 有 2 个解，1=3,2=1，由上可知 =3 无实数根，=1 有 1 解，所以 =0 有 1 解.当 1+=0 时，则()=0 有 3 个解，1=3,2=1,3=0，由上可知 =3 无实数根，=1
71、 有 1 解,=3有 4 解.所以此时 =0 有 5 解.综上所述：=0 至多 12 解.故选：C12.()是定义在（0，）上单调函数，且对 (0,+)，都有()ln)=+1，则方程()()=的实数解所在的区间是A（0，1）B（1，1）C（1，e）D（e，3）【答案】C【解析】微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信 jiaoyu376word 版下载 QQ 群：45751253850/50学科网（北京）股份有限公司【详解】试题分析：因为()是定义在(0,+)上的单调函数，且对于 (0,+)，都有()ln)=+1，设()ln=，则()=+1，即()=ln+，令=，则()=ln+=+1，则=，即()=ln+，函数的导数为()=1，又由于()()=，得 ln+1=，即 ln 1=0，设，则(1)=ln1 1=1 0，所以函数()在(1,)上存在一个零点，即方程()()=的实数解所在的区间是(1,)，故选 C
