1、1多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR34.常用结论(1)与体积有关的几个结论一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(2)几个与球有关的切、接常用
2、结论a正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.b若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.c正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和()(2)锥体的体积等于底面积与高之积()(3)球的体积之比等于半径比的平方()(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差()(5)长方体既有外接球又有内切球()(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积
3、是2S.()1(教材改编)已知圆锥的表面积等于12cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A1cmB2cmC3cmD.cm答案B解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm)2(2015陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A3B4C24D34答案D解析由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：S212212222434.3(教材改编)一个棱长为2cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为_cm3.答案4解析由题意知正方体的体对角线为其外接球的直径，所以其外接球的半径r2(cm)，所以V球r334(cm3)4某几何体的三视图如图
4、所示，则该几何体的体积为_答案解析依题意得，该几何体是由两个相同的圆锥将其底面拼接在一起所形成的组合体，其中该圆锥的底面半径与高均为1，因此题中的几何体的体积等于2121.5(2015天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案解析由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1m，圆锥的高为1m，圆柱的高为2m，所以该几何体的体积V2121122 (m3).题型一求空间几何体的表面积例1(1)(2015安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A1B12C2D2(2)(2015课标全国)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r
5、)组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r等于()A1B2C4D8(3)(2014山东)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_答案(1)C(2)B(3)12解析(1)由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示其表面积S表2212()22，故选C.(2)由主视图与俯视图想象出其直观图，然后进行运算求解如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S4r2r24r2r2r(54)r2.又S1620，(54)r21620，r24，r2，故选B.(3
6、)设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h.由题意，得62h2，h1，斜高h2，S侧62212.思维升华空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用(2014安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A21B18C21D18答案A解析由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示因此该几何体的表面积为6(4)2()221.故选A.题型二求空间几何体的体积命题点1求以三视图为背景的几何体的体积例2
7、(2015课标全国)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C.D.答案D解析如图，由题意知，该几何体是正方体ABCDA1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥AA1B1D1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为.选D.命题点2求简单几何体的体积例3(2015山东)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.B.C.D2答案C解析过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所
8、在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BCCE2DE122121，故选C.思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解(1)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到
9、的最大球的体积等于()A.B.C36D.(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为()A.B.C.D.答案(1)B(2)A解析(1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12，如图所示，其中AC6，BC8，ACB90，则AB10.由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大即r2，故能得到的最大球的体积为r38，故选B.(2)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，SAGDSBHC
10、1，VVEADGVFBCHVAGDBHC2VEADGVAGDBHC21.故选A.题型三与球有关的切、接问题例4已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为()A.B2C.D3答案C解析如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA.引申探究1本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为R，内切球的半径为r.又正方体的棱长为4，
11、故其体对角线长为4，从而V外接球R3(2)332，V内切球r323.2本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少？解设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14a2a2，其内切球半径r为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为S24r2，则.3本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是3的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为36，高为3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、
12、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解如图，直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，ABAC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为()A.B1C.D.答案C解析由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为ABC所在圆面的直径，BAC90，ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同
13、理A1B1C1的外心M是B1C1的中点设正方形BCC1B1的边长为x，RtOMC1中，OM，MC1，OC1R1(R为球的半径)，()2()21，即x，则ABAC1，1.16巧用补形法解决立体几何问题典例如图：ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5.则此几何体的体积为_思维点拨将所求几何体补成一个直三棱柱，利用棱柱的体积公式即可求得该几何体的体积解析用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，所以V几何体V三棱柱SABCAA24896.答案96温馨提醒(1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几
14、何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法方法与技巧求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法(2)求体积的两种方法：割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几
15、何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值失误与防范求空间几何体的表面积应注意的问题(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错A组专项基础训练(时间：45分钟)1(2015浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A8cm3B12cm3C.c
16、m3D.cm3答案C解析由三视图可知该几何体是由棱长为2cm的正方体与底面为边长为2cm正方形、高为2cm的四棱锥组成，VV正方体V四棱锥8cm3cm3cm3.故选C.2用平面截球O所得截面圆的半径为3，球心O到平面的距离为4，则此球的表面积为()A.B.C75D100答案D解析依题意，设球半径为R，满足R2324225，S球4R2100.3(2015课标全国)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放
17、的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A14斛B22斛C36斛D66斛答案B解析由题意知：米堆的底面半径为(尺)，体积VR2h(立方尺)所以堆放的米大约为22(斛)4一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为()A.B.C.D.答案C解析由三视图还原为空间几何体，如图所示，则有OAOB1，AB.又PB平面ABCD，PBBD，PBAB，PD，PA，从而有PA2DA2PD2，PADA，该几何体的侧面积S212.5(2015课标全国)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥O-ABC体积的最大值为3
18、6，则球O的表面积为()A36B64C144D256答案C解析如图，要使三棱锥O-ABC即COAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥COAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VO-ABC最大VC-OAB最大SOABRR2RR336，所以R6，得S球O4R2462144.选C.6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_答案解析原几何体是由圆柱的一半和球的四分之一组成的，其体积为Shr3.7(2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则
19、新的底面半径为_答案解析设新的底面半径为r，由题意得r24r28524228，解得r.8已知四棱锥PABCD的三视图如图所示，则四棱锥PABCD的四个侧面的面积中最大的值为_答案6解析四棱锥的直观图如图所示，其中面PCD面ABCD，PCPD，取AB、CD的中点M、N，连接PN、MN、PM，由三视图知ABCD4，ADBCMN2，又易知PN，所以PM3，因为SPDC42，SPBCSPAD233，SPAB436.所以SPAB最大9.如图所示的三个几何体，一个是长方体，一个是直三棱柱，一个是过圆柱上、下底面圆心切下圆柱的四分之一部分，若这三个几何体的主视图和俯视图是相同的正方形，求它们的表面积之比解由
20、题意可知这三个几何体的高都相等，设长方体的底面正方形的边长为a，高也等于a，故其表面积为S16a2.直三棱柱的底面是腰长为a的等腰直角三角形，高为a，故其表面积为S2aaaa(aaa)a(3)a2.圆柱的底面是半径为a的圆的，高为a，故其表面积为S3a2a2a2a22aa(2)a2.所以它们的表面积之比为S1S2S36a2(3)a2(2)a26(3)(2)10(教材改编)已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20cm和30cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高解如图所示，三棱台ABCA1B1C1中，O、O1分别为两底面中心，D、D1分别为BC和
21、B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高由题意知A1B120，AB30，则OD5，O1D1，由S侧S上S下，得3(2030)DD1(202302)，解得DD1，在直角梯形O1ODD1中，O1O4，所以棱台的高为4cm.B组专项能力提升(时间：30分钟)11已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB，ASCBSC30，则棱锥SABC的体积为()A3B2C.D1答案C解析如图，过A作AD垂直SC于D，连接BD.由于SC是球的直径，所以SACSBC90，又ASCBSC30，又SC为公共边，所以SACSBC.由于ADSC，所以BDSC.由此得SC平面ABD.所以VSABCVSABDVCABDSAB
22、DSC.由于在RtSAC中，ASC30，SC4，所以AC2，SA2，由于AD.同理在RtBSC中也有BD.又AB，所以ABD为正三角形，所以VSABCSABDSC()2sin604，所以选C.12某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A286B306C5612D6012答案B解析由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中AE平面BCD，CDBD，且CD4，BD5，BE2，ED3，AE4.AE4，ED3，AD5.又CDBD，CDAE，则CD平面ABD，故CDAD，所以AC且SACD10.在RtABE中，AE4，BE2，故AB2.在RtBCD中，BD5，CD4，故SBCD10，
23、且BC.在ABD中，AE4，BD5，故SABD10.在ABC中，AB2，BCAC，则AB边上的高h6，故SABC266.因此，该三棱锥的表面积为S306.13(2015四川)在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，其主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P-A1MN的体积是_答案解析由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，又AA1平面PMN，VA-PMN1，故14(2015课标全国)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE
24、平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥E-ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积(1)证明因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)解设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥E-ACD的体积VE-ACDACGDBEx3.故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三
25、棱锥E-ACD的侧面积为32.15.如图，ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC，AB2，EB.(1)求证：DE平面ACD；(2)设ACx，V(x)表示三棱锥BACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值(1)证明四边形DCBE为平行四边形，CDBE，BCDE.DC平面ABC，BC平面ABC，DCBC.AB是圆O的直径，BCAC，且DCACC，BC平面ADC.DEBC，DE平面ADC.(2)解DC平面ABC，BE平面ABC.在RtABE中，AB2，EB.在RtABC中，ACx，BC(0x2)，SABCACBCx，V(x)VEABCx(0x2)x2(4x2)()24，当且仅当x24x2，即x时，取等号，x时，体积有最大值.
