1、课时提升作业(二十四)一、填空题1.线段AB外有一点C,ABC=60,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则运动开始小时后,两车的距离最小.2.某水库大坝的外斜坡的坡度为,则坡角的正弦值为.3.(2013常州模拟)在ABC中,AB=,AC=1,B=30,SABC=.4.(2013淮安模拟)在ABC中,已知BC=1,B=,ABC的面积为,则AC的长为.5.据新华社报道,强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上,大风、降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成45的角,树干
2、也倾斜为与地面成75的角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是.6.在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=,则SABC=.7.地面上有两座塔AB,CD,相距120米,一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍,在两塔底连线的中点O处测得塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为,.8.(2013连云港模拟)设ABC的内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且三角形面积为b2sin A,若cos(A-C)+cos B=1,则B=.9.某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔的高度,测得塔顶C的仰角为30,
3、塔底B的俯角为15,已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上,则电视塔的高为米.10.如图,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15,向山顶前进100米到达B后,又测得C对于山坡的斜度为45,若CD=50米,山坡对于地平面的坡角为,则cos=.二、解答题11.(2012山东高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin B(tan A+tan C)=tan Atan C.(1)求证:a,b,c成等比数列.(2)若a=1,c=2,求ABC的面积S.12.(2013盐城模拟)已知函数f(x)=msin x+cos x(m0)的最大值为2.(1)
4、求函数f(x)在0,上的单调减区间.(2)ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且C=60,c=3,求ABC的面积.13.在海岸A处,发现北偏东45方向、距离A处(-1)海里的B处有一艘走私船;在A处北偏西75方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.同时,走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?最少要花多少时间?答案解析1.【解析】如图所示,设过x h后两车距离为y km,则BD=200-80x,BE=50x,y2=(200-80x)2+(50x)2-2(200-80x)50xcos 60,整理得y
5、2=12 900x2-42 000x+40 000(0x2.5),当x=时y2最小,即y最小.答案:2.【思路点拨】坡角的正切值是坡度,故利用此关系可解.【解析】由tan=,得sin=cos,代入sin2+cos2=1,得sin=.答案:3.【解析】在ABC中,c=AB=,b=AC=1,B=30,由正弦定理可得bB=30,C=60,或C=120.答案: 4.【解析】由已知BC=a=1,B=,SABC=,即acsin B=1c=,解得c=4.又AC=b,从而b2=a2+c2-2accos B=1+16-214=13.故AC=.答案:5.【解析】如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则
6、ABO=45,AOB=75,OAB=60.由正弦定理知,AO=米.答案:米6.【思路点拨】由角A,B,C成等差数列可得B,由正弦定理得A,从而得C,再用面积公式求解即可.【解析】角A,B,C成等差数列,A+C=2B,B=60.答案:【变式备选】在ABC中三条边a,b,c成等比数列,且b=,B=,则ABC的面积为.【解析】由已知可得b2=ac,又b=,则ac=3,又B=, SABC=acsin B=3=.答案:7.【解析】设高塔高H,矮塔高h,在矮塔下望高塔仰角为a,在O点望高塔仰角为b.因为分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的2倍,所以在高塔下望矮塔仰角为,即根据倍角公式有在塔底连线的
7、中点O测得两塔顶的仰角互为余角,所以在O点望矮塔仰角为-b,即tanb=,tan(-b)=,根据诱导公式有=, 联立得H=90,h=40.即两座塔的高度分别为40米,90米.答案:40米 90米【方法技巧】测量高度的常见思路解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形,准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应;分清已知和待求的关系,正确地选择定理和公式,特别注意高度垂直地面构成的直角三角形.8.【解析】由SABC=acsin A=b2sin A得b2=ac,即sin2B=sin Asin C 又cos(A-C)+cos B=1,即cos Acos C+sin Asin C-cos
8、(A+C)=1,即cos Acos C+sin Asin C-cos Acos C+sin Asin C=1,即sin Asin C= 由可得,sin2B=,0B0,于是m=,f(x)=2sin(x+).f(x)为单调减函数,则x满足2k+x+2k+(kZ),即2k+x2k+(kZ).所以f(x)在0,上的单调减区间为,.(2)设ABC的外接圆半径为R,由题意,得化简得sin A+sin B=2sin Asin B.由正弦定理,得2R(a+b)=2ab,a+b=ab 由余弦定理,得a2+b2-ab=9,即(a+b)2-3ab-9=0 将式代入,得2(ab)2-3ab-9=0.解得ab=3,或a
9、b=-(舍去).SABC=absin C=.13.【解析】如图,设缉私船t小时后在D处追上走私船,则有CD=10t,BD=10t. 在ABC中,AB=-1,AC=2,BAC=120.利用余弦定理可得BC=.由正弦定理,得得ABC=45,即BC与正北方向垂直.于是CBD=120.在BCD中,由正弦定理,得得BCD=30,BDC=30.又所以缉私船沿北偏东60的方向能最快追上走私船,最少要花小时.【方法技巧】测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离.(2)用正弦定理或余弦定理解三角形.(3)将解得的结果转化为实际问题的解.同时注意把所求量放在有关三角形中,有时直接解此三角形解不出来,需要先在其他三角形中求解相关量.【变式备选】如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(已知sin 41,角度精确到1)?【解析】连结BC,由余弦定理得BC2=202+102-22010cos 120=700.所以乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援.关闭Word文档返回原板块。
