1、第三节 三角函数的图象与性质(1)基础梳理 1.周期函数(1)周期函数的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都有_，那么函数f(x)就叫做周期函数，_叫做这个函数的周期f(x+T)=f(x)非零常数T (2)最小正周期 对于一个周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个 _ _，那么这个_ _就叫做f(x)的最小正周期 最小的正数 最小的正数 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 值域 单调性 在_上递增，kZ；在_上递减，kZ 在_ _上递增，kZ；_ _上递减，kZ 在_ _
2、上递增，kZ R R ,2x xRxkkZ且y|-1y1 y|-1y1 R 2,222kk32,222kk(21),2kk2,(21)kk22kk函数 y=sin x y=cos x y=tan x 最值 x=_时，ymax=1(kZ)；x=_时，ymin=-1(kZ)x=_时，ymax=1(kZ)；x=_时，ymin=-1(kZ)_ 奇偶性 对称性 对称中心：_ 对称中心：_ 对称中心：_ 对称轴l：_ 对称轴l：_ _ 周期 _ _ _ 22k22k2k2k无最值 奇 偶 奇 ,0,kkZ,0,2kkZ,0,2kkZ无 ,2xkkZ,xkkZ22基础达标1.(必修4P45第1题改编)函数y
3、=5tan(2x+1)的最小正周期是_44x2.函数y=tan 的定义域是_ 解析：由已知得x 4k+1，kZ，原函数的定义域为x|x 4k+1，kZ,442xkkZ2解析：形如的三角函数的最小正周期是，则该函数的最小正周期是.tan()yAx3x3.(必修4P45第4题改编)函数y=3-cos 的最大值是_，此时x=_.3x解析：当cos =-1时，函数有最大值，最大值为4，当且仅当 =2k -，即x=6k -3 ，kZ时取得 3x4.(必修4P45第7题改编)函数y=3sin 24x的单调递 减区间是_ 解析：3sin23sin 2,44yxx 则求函数的单调递 减区间等价于求函数 的单调
4、递增区间，3sin 2,4yx解得 222,242kxk.88kxk故函数的单调递减区间是 3,.88kkkZ5.函数 的值域是_.2sin()63yxx当 时，2x1;y 解析：当 时，6x 1;2y 当 时，23x3;2y 当 时，,62x 1,1;2y y=sinx是增函数，当 时，2,23x3,1;2y y=sinx是减函数，综上，时，2,63x 1,1;2y 经典例题题型一 求三角函数的定义域【例1】求下列函数的定义域 (1)1 2lg(2sin1);(2).ycosxxysinxcosx分析：求定义域的关键：(1)注意所有函数本身的定义 域，如偶次根式的被开方数非负，对数函数的真数
5、应大 于0；(2)求三角函数的定义域，常常有两种思路：借 助于三角函数的图象和周期，借助于单位圆中的三角 函数线 解：(1)由题意得 1 20,210,cosxsinx 即 1,21,2cosxsinx分别由三角函数线得522,33522,66kxkkxk522,.36kxkkZ(2)要使函数有意义，必须使sinx-cosx0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2 上y=sinx和y=cosx的 图象，如图所示 在0,2 内，满足sinx=cosx的x为 ，再结合正 弦、余弦函数的周期是2 ，所以定义域为 544522,.44xkxkkZ 题型二 三角函数的最值和值域【例2】求下列函数的值域(1
6、)y=sin2x-cosx+2；2(2).1sinxysinx分析：(1)解析式中只有sin2x，cosx，可以考虑转化为 关于cosx的二次函数形式；(2)分离常数，利用单调性 求值域或反解sinx，利用sinx的有界性(|sinx|1)构 造关于y的不等式求解 解：(1)y=sin2x-cosx+2=1-cos2x-cosx+2=-cos2x-cosx+3 2113.24ycosx-1cosx1，1y 13,4函数值域为 131.4yy21 111,111sinxsinxysinxsinxsinx (2)方法一：当sinx=-1时，y有最小值 3.2函数的值域为 3,.2方法二：由 21s
7、inxysinx得sinx=2,1yy又-1sinx1，21,113211,21yyyyyyy，或即y 3.2函数的值域为 3,.2变式2-1 (1)求y=sin2x-sinxcosx+2()的值域；,4 4x (2)求函数 的最值及值域 12sinxycosx解析：(1)y=sin2x-sinxcosx+2=121152522(22)sin 2.2222242cos xsin xsin xcos xx 32,2,2,sin 21,442244424xxxx2215225sin 2,sin 23,22422242xx 函数的值域为 52,3.21(2)2sinxycosx为单位圆上的点与 点(
8、-2,1)连线所成直线的斜率 由题意可知，过Q点且与圆有交点的直线一定存在斜 率，设过Q的直线方程为y-1=k(x+2)，即y=kx+2k+1.当直线与圆相切时，存在最值 即 =1，整理得3k2+4k=0，解得k=0或k=2|21|1kk4.34.3最大值为0，最小值为 函数的值域为 4,0.3题型三 三角函数的单调性 【例3】求下列函数的单调区间(1)2sin4yx 的递减区间；(2)tan23x 的递减区间；分析：(1)把x-先作为一个整体代入y=sin x的相 应单调区间内，求出x的范围即为y的单调区间 4(2)先把 化为 ，再把 作为一个整体代入y=tan x的相应单调区间内，即可相应
9、 求出 的单调区间 tan23yxtan 23yx 23xtan23yx2sin4yx解：(1)由 322,242kxkkZ得 3722,44kxkkZ函数 的单调减区间为372,2().44kkkZtan23yx(2)把函数 变为 tan 2,3yx 由 2,232kxkkZ得 552,66212212kkkxkkZxkZtan23yx函数 的单调减区间为 5,.212212kkkZ变式3-1 (2011 启东期中考试)函数y=|sinx|+|cosx|(xR)的 单调减区间为_ 解析：y=|sinx|的单调递区间为 ,2kkkZ|sin2x|的单调减区间为 ,.2422kkkZy=|sin
10、x|+|cosx|的单调减区间为 ,.24 22kkkZ题型四 三角函数的周期性与对称性()2sincos3 cos.442xxxf x【例4】已知函数 (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)令g(x)=f ，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由 3x分析：(1)先由三角恒等变形把f(x)化成 的形式，再求周期；(2)求出g(x)，利用定义判断g(x)的奇偶性 sin()yAx解：()sin3 cos2sin()2223xxxf xf(x)的最小正周期 24.12T(2)由(1)知 ()2sin(),23xf x又 ()(),3g xf x1()2sin()2sin()2cos.233222
11、xxg xx()2cos()2cos().22xxgxg x函数g(x)是偶函数 变式4-1 (2011 广东深圳调研)已知函数 为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2 .(1)求f(x)的解析式；()sin()(0,0)f xx(2)若 求 的值 1,3 233f 5sin 23解析：(1)图象上相邻的两个最高点之间的距离为2 ，22,1,()sin().Tf xxT f(x)是偶函数，又 ().2kkZ0,()cos.2f xx5,(0,),3 236 (2)由已知得 1cos(),33 则 2 252sin,sin 2sin 23333 4 22sincos.339 易错警示【例】求函数y=cos2x+4sinx-3的值域 错解 y=cos2x+4sinx-3=-sin2x+4sinx-2=-(sinx-2)2+22，故函数的值域为(-，2 正解 y=cos2x+4sinx-3=-sin2x+4sinx-2=-(sinx-2)2+2.-1sinx1，-3sinx-2-1，-7-(sinx-2)2+21，函数的值域为-7,1
